等周長屈服準則求解三維鍛壓力

李寅雪，章順虎，鄧磊

（蘇州大學 沙鋼鋼鐵學院，江蘇 蘇州 215021）

近些年來金屬鍛壓成形相關的研究主要集中于FEM[1—4]和 BET[5]等數(shù)值模擬[6]。遺憾的是，近二十年來鮮有關于含外端影響的三維鍛壓力的解析報道。由于求解鍛壓力依賴的Mises 屈服準則是非線性的[7—8]，因而獲得相應力學參數(shù)解析解十分困難，因此，如何用線性屈服準則代替非線性的Mises 屈服準則，進而求得鍛壓力的解析解是一個值得研究的方向。

Tresca[9]首先提出了一個線性屈服準則，但該屈服準則只考慮了兩個主應力的影響，通常給出力學參數(shù)的下限解。Hill[10]在1950 年通過對Mises 屈服準則進行逼近，提出了一個線性屈服準則，該屈服準則與Mises 屈服準則的相對誤差僅為8%。20 世紀，Yu[11]，Huang 和Zeng[12]等提出了雙剪應力屈服準則。該準則通常給出力學參數(shù)的上限解。最近，章順虎等[13]開發(fā)了一個高度逼近Mises 屈服準則的線性屈服準則，稱為EP 屈服準則（等周長屈服準則），該準則為求解復雜的成形力學問題創(chuàng)建了良好條件。

為解決Mises 準則難以獲得三維鍛壓力解析解的問題，文中將采用EP 屈服準則對三維鍛壓過程進行分析，推導鍛壓力解析解，并討論鍛壓過程塑性變形規(guī)律，包括鍛壓工件初始寬厚比b0/h0、初始長厚比l0/h0、摩擦因數(shù)m以及寬展與壓下的比值a對應力狀態(tài)系數(shù)nσ的影響。

1 傳統(tǒng)屈服準則及比塑性功率

Tresca 屈服準則[9,14]（1864）及其比塑性功率數(shù)學表達式為：

式中：σs為材料的屈服應力；為比塑性功率；為應變速率分量。

Mises 屈服準則[7]（1913）及其比塑性功率數(shù)學表達式為：

俞茂宏1983 年提出的TSS（雙剪應力）屈服準則及其比塑性功率為[9—10]：

圖1 π 平面上的各種屈服軌跡Fig.1 Various yield loci on the π-plane

上述屈服準則在π 平面的屈服軌跡如圖1 所示，Mises 屈服準則的軌跡是一個圓，Tresca 屈服準則的軌跡是Mises 圓的內(nèi)接正六邊形，而TSS 屈服準則的軌跡則是Mises 圓的外接正六邊形。

一般來說，為了建立總功率泛函的表達式，必須對進行積分，而通常很難得到非線性被積函數(shù)的解析解。式（3）在金屬成形能量分析中的一些應用表明[15—16]，使用式（3）得到的計算結果通常比使用式（2）得到的結果要大。

2 EP 屈服準則及其比塑性功率

如圖1 和圖2 所示，Tresca 屈服軌跡上的偏應力矢量沿著直線B'F由OB'向OF移動，TSS 屈服軌跡上的偏應力矢量沿著直線B'B由OB'向OB移動，而在Mises 屈服軌跡上的偏應力矢量則是沿著弧線B'D由OB'向OD移動。EP 屈服準則的軌跡滿足以下條件：在直角三角形FB'B中B'E是一條直線，并且與圓弧B'D相交；直線B'E的長度與Mises 弧長B'D相等。

圖2 EP 屈服準則的屈服軌跡在π 平面上的幾何關系Fig.2 Geometrical relationship of EP yield criterion’s yield loci on the π-plane

根據(jù)上述條件，可以得到EP 屈服準則的數(shù)學表達式為[13]：

與式（3）的比塑性功率相比，其相對誤差為：

式（6）很好解釋了使用TSS 屈服準則得到的計算結果偏大的原因。同時，通過對比式（2）和式（6）可見，式（6）的比塑性功率因其具備線性的特點而容易進行積分求解，因而為變形功率解析式的獲得提供了條件。

3 鍛壓速度場

兩個平行壓頭之間三維鍛壓如圖3 所示。壓頭視作剛體，工件為剛塑性材料?？紤]到鍛壓變形區(qū)的對稱性，以下只對變形區(qū)的1/8 進行分析。

圖3 三維鍛壓的變形區(qū)示意圖Fig.3 Deformation zone of three-dimensional forging

假設：

式中：a為寬展與壓下的比值。

式（8）兩邊同除以時間增量Δt，得到：

設速度分量vz隨z軸線性變化，則有：

設圖3 中自由邊界為拋物線形狀，寬度b表示為：

式中：Δb1=b1?b0為鍛壓前后軋件的寬度差值。

式（11）兩側除以Δt可以表示出軋件寬度的變化函數(shù)，即：

讓vy隨y坐標線性變化，得到

可以利用式（16）的值計算應變速率和速度場各分量的比值。應變率張量的特征方程只有當下面的行列式的值為零時才有唯一解，即：

3 總功率和鍛壓力

3.1 內(nèi)部變形功率

將式（18）代入式（6），并積分，可得：

式中：I1，I2，I3分別為應變率向量內(nèi)積的逐項積分。將式（16）的值代入以下分數(shù)的分母，積分得到：

3.2 摩擦功率

3.3 剪切功率

在變形區(qū)與工件外端交界面上，速度不連續(xù)量和和剪切功率分別為：

3.4 總功率和鍛壓力

令外功率與上界總功率相等，則有：

將式（20，23—24）代入式（25）后重新整理可得：

式（26）表明，應力狀態(tài)系數(shù)nσ是l/h0，b0/h0，m和偽獨立參數(shù)a的函數(shù)。

考慮到對稱性，因此總壓力表示為：

摩擦因數(shù)m的值可以用式（28）的Tarnovskii方程來計算：

式中：f為庫倫摩擦因數(shù)。

從式（8）易知，a的值表示為：

式中：Δb1=b1?b0為最大寬度點上所測得的寬展，而ε=Δh/h0為該道次的壓下率。

4 實驗驗證

在東北大學軋制技術與連軋自動化國家重點實驗室使用200 kN 的萬能材料試驗機進行了鍛壓試驗。以不同的壓頭和壓下量為變量對3 組純鉛試樣進行壓縮。壓頭速度為15～30 mm/min。樣本編號及其試驗數(shù)據(jù)如表1 所示，Pm為實測總壓。

根據(jù)式（29）得到的a值和根據(jù)式（26）得到的計算結果如表2 所示。

表1 樣品尺寸及測試數(shù)據(jù)Tab.1 Sample size and tested data

表2 通過測量a 值（m=0.3）得到的計算結果Tab.2 Calculated results by measured a (m=0.3)

以壓力測試的第二道次為例，具體計算過程如下：根據(jù)表1 可得，ε=(9.85?8.745)/9.85=11.22%，l/h0=1.5228，a=0.5144，f=0.23。根據(jù)式（28）可得m=0.3。將第二道次所有的數(shù)據(jù)代入式（26—27）易得nσ=1.3074，P=32.59 kN，它與Pm的相對誤差為Δ=(32.59?30)/30=8.6%。在以上的計算中，通過t=2Δh/v=4.42 s，可得ε˙=0.112/t=0.025 s?1，ε=11.2%，從而查得材料的屈服應力為σs=20.26 MPa[17]。其他試樣的計算過程同上。

從表2 可以看出，計算得到的總壓力值P大于測量的壓力值Pm，并且它們之間的相對誤差在8.6%～10.5%之間，小于工程允許誤差15%?？梢姡贓P 屈服準則和所提出的速度場得到的理論鍛壓力是可行的。

圖4 為初始寬厚比b0/h0=3 時不同軋件長厚比l/h0和摩擦因數(shù)m對應力狀態(tài)系數(shù)nσ的影響。nσ隨著m的增加而增加，隨著l/h0先減小后增加，并且在給定的m時都能獲得最小值。

圖5 為l/h0=3 時不同初始軋件寬厚比b0/h0和摩擦因數(shù)m對應力狀態(tài)系數(shù)nσ的影響。可見，nσ均隨著m和b0/h0的增大而增大。

圖4 不同m 值下l/h0 對nσ 的影響Fig.4 Effects of m and l/h0 on nσ

圖5 不同m 下b0/h0 對nσ 的影響Fig.5 Effects of m and b0/h0 on nσ

圖6 為b0/h0=3 時不同軋件長厚比l/h0和摩擦因數(shù)m對a的影響?？梢?，a隨著l/h0的增加而增加；隨著m的增加，a的值不斷減小，然而，隨著l/h0的增大，不同m時a值之間的差值逐漸減小。當l/h0≥2.5 時，所有曲線的a值均相等，此時，m對a的影響可以忽略不計。

圖6 不同m 下l/h0 對a 的影響Fig.6 Effects of m and l/h0 on a

圖7 為l/h0=3 時不同軋件寬厚比b0/h0和摩擦因數(shù)m對a的影響。隨著b0/h0值的增加，a值逐漸減小。當b0/h0≥1.5 時，m對a值的影響變大。

圖7 m 和b0/h0 對a 的影響Fig.7 Effects of m and b0/h0 on a

5 結論

1）基于EP 屈服準則和文中所構建的速度場，獲得了應力狀態(tài)系數(shù)nσ的解析解，它是關于初始長厚比l/h0、初始寬厚比b0/h0、摩擦因數(shù)m以及寬展-壓下比值a的函數(shù)。

2）對比鍛壓力的理論值和實測值后發(fā)現(xiàn)，理論值比實測值高 8.6%～10.5%，仍小于工程允許誤差15%，從而表明，基于EP 屈服準則和所提出的速度場得到的理論鍛壓力是可行的。

3）nσ隨著m的增加而增加，隨著l/h0的增加先減小再增加，并且在m給定時獲得最小值；a隨著l/h0的增大或者b0/h0的減小而增大，并且當l/h0≥2.5 或者b0/h0≤1.5 的時候，無論m為何值，a的值都趨于相等。