摩擦式提升機(jī)鋼絲繩魯棒縱向振動(dòng)抑制*

朱真才， 沈 剛， 丁興亞， 湯 裕， 李 翔

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 徐州，221116)

引 言

深井提升系統(tǒng)作為礦井生產(chǎn)的咽喉，其穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)影響著企業(yè)的生產(chǎn)效率和人員的安全。鋼絲繩是保障提升系統(tǒng)安全運(yùn)行的一個(gè)關(guān)鍵構(gòu)成單元，但在實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中，鋼絲繩由于重載長(zhǎng)距離提升，自身存在一定的彈性形變，同時(shí)鋼絲繩本身由于生產(chǎn)制造誤差、鋼絲繩與繩槽的磨損以及鋼絲繩在摩擦滾筒上的滑動(dòng)、蠕動(dòng)等因素會(huì)引起鋼絲繩的橫向及縱向振動(dòng)，加之提升容器與罐道之間的沖擊以及井內(nèi)的空氣干擾都會(huì)使得鋼絲繩的振動(dòng)變得更加劇烈，致使鋼絲繩承受強(qiáng)復(fù)變載荷，加劇其疲勞損傷程度，進(jìn)而減少使用壽命，也會(huì)影響乘坐人員舒適性[1-3]。

為了抑制提升鋼絲繩的振動(dòng)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已做了一定的研究。文獻(xiàn)[4]應(yīng)用Hamilton原理和有限差分法，研究了天輪軸向擺動(dòng)對(duì)提升鋼絲繩橫向振動(dòng)的影響。文獻(xiàn)[5]研究了一類存在外界干擾和參數(shù)不確定情況的柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)抑制問(wèn)題，提出了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)觀測(cè)器的主動(dòng)振動(dòng)抑制方法。文獻(xiàn)[6]針對(duì)鋼絲繩橫向振動(dòng)抑制存在的外界干擾問(wèn)題，設(shè)計(jì)了擾動(dòng)觀測(cè)器以消除邊界擾動(dòng)。文獻(xiàn)[7]在鋼絲繩的振動(dòng)模型中引入節(jié)點(diǎn)應(yīng)變率，并通過(guò)設(shè)計(jì)的線性二次調(diào)節(jié)控制器實(shí)現(xiàn)了鋼絲繩的振動(dòng)抑制。文獻(xiàn)[8]針對(duì)存在外部干擾和測(cè)量誤差的柔性航天器無(wú)慣性姿態(tài)控制問(wèn)題，通過(guò)設(shè)計(jì)一種新的中間觀測(cè)器已估計(jì)姿態(tài)和模態(tài)信息，實(shí)現(xiàn)了姿態(tài)穩(wěn)定和振動(dòng)抑制。文獻(xiàn)[9]通過(guò)設(shè)計(jì)一種基于觀測(cè)器的輸出反饋控制律抑制礦用鋼絲繩的軸向振動(dòng)。與礦用提升機(jī)相關(guān)，關(guān)于電梯提升鋼絲繩振動(dòng)問(wèn)題也有一定的研究[10-12]。

綜上，筆者以摩擦式提升機(jī)為研究對(duì)象，考慮到提升機(jī)動(dòng)力學(xué)模型的復(fù)雜性及參數(shù)不確定性，以自適應(yīng)魯棒控制理論設(shè)計(jì)提升鋼絲繩振動(dòng)抑制控制器，取得了較為理想的控制效果。

1 數(shù)學(xué)建模

筆者以摩擦式提升機(jī)為研究對(duì)象，為了對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，首先需要建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。因?yàn)槟Σ潦教嵘龣C(jī)的4根提升鋼絲繩具有類似的動(dòng)力學(xué)特性，因此將模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，以單根提升鋼絲繩為研究對(duì)象，該機(jī)構(gòu)的簡(jiǎn)化模型如圖1所示。

圖1 摩擦式提升機(jī)簡(jiǎn)化模型Fig.1 Simplified model of friction hoist

圖1中天輪下安裝有液壓作動(dòng)器。提升系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中，提升容器上安裝的加速度傳感器將容器的振動(dòng)加速度反饋回控制系統(tǒng)，并計(jì)算得到容器的振動(dòng)速度和振動(dòng)位移?？刂破骷纯筛鶕?jù)實(shí)時(shí)獲得的天輪端和容器端的振動(dòng)位移、振動(dòng)速度以及提升狀態(tài)參數(shù)，求解所需的控制輸入，并通過(guò)電液伺服系統(tǒng)完成振動(dòng)位移的補(bǔ)償，實(shí)現(xiàn)振動(dòng)抑制。

假設(shè)該提升系統(tǒng)采用的是剛性罐道，則對(duì)提升容器振動(dòng)影響較大的只有鋼絲繩的縱向振動(dòng)，在建模過(guò)程中，筆者將橫向振動(dòng)進(jìn)行了忽略。在t時(shí)刻，位于垂直提升主繩空間位置x處某一質(zhì)點(diǎn)的縱向振動(dòng)位移為u(x,t)，該點(diǎn)的動(dòng)態(tài)張力P(x,t)為該點(diǎn)的準(zhǔn)靜態(tài)張力T(x,t)與彈性力EAε(x,t)之和，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

P(x,t)=T(x,t)+EAε(x,t)

(1)

其中：EA為鋼絲繩抗拉剛度；ε(x,t)為鋼絲繩在空間位置x處、t時(shí)刻的正應(yīng)變，且ε(x,t)=ux(x,t)。

以垂直提升主繩作為研究對(duì)象，在進(jìn)行系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模時(shí)先做以下假設(shè)：

1) 提升鋼絲繩和尾繩均為均值鋼絲繩；

2) 提升鋼絲繩的形變與張力服從胡克定律；

3) 不考慮空氣阻力對(duì)鋼絲繩和提升容器的影響。

然后，基于Hamilton原理推導(dǎo)垂直提升主繩縱向振動(dòng)方程。系統(tǒng)動(dòng)能為

(2)

假設(shè)尾繩為集中于提升容器底部的集中質(zhì)量，則ma的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(3)

系統(tǒng)勢(shì)能為

(4)

其中：T(x,t)為在t時(shí)刻垂直提升主繩空間位置x處質(zhì)點(diǎn)的準(zhǔn)靜態(tài)張力。

T(x,t)可表示為

T(x,t)=(ma(t)+ρ(l(t)-x))g

(5)

系統(tǒng)虛功為

(6)

其中：c1，c2分別為提升容器和天輪處的阻尼系數(shù)；f(t)為液壓作動(dòng)器施加給天輪的激振力。

應(yīng)用Hamilton原理

(7)

聯(lián)立式(2)、式(4)和式(6)，結(jié)合系統(tǒng)幾何邊界δW(0,t)=δW(l,t)=0，運(yùn)用變分理論與分部積分算法，可以求得提升鋼絲繩縱向振動(dòng)的自由振動(dòng)方程為

EAuxx+ρg=0 (0

(8)

T-f-c2(v+ut+vux)=0 (x=0)

(9)

EAux+mag-c1(v+ut+vux)=0 (x=l)

(10)

由式(5)可以得到

T(l,t)=mag

(11)

T(0,t)=(ma+ρl)g

(12)

Tx=-ρg

(13)

將式(11)～(13)代入式(8)～(10)進(jìn)行簡(jiǎn)化，可以得到

(0

(14)

(15)

式(14)～(16)即為筆者研究的摩擦式提升機(jī)動(dòng)力學(xué)模型，基于此進(jìn)行下面的控制器設(shè)計(jì)。

2 振動(dòng)抑制控制器設(shè)計(jì)

圖2所示為提升鋼絲繩振動(dòng)抑制的控制系統(tǒng)圖。

圖2 提升鋼絲繩振動(dòng)抑制控制原理Fig.2 Control principle of vibration suppression of hoisting wire rope

考慮系統(tǒng)模型參數(shù)不確定性，定義系統(tǒng)的未知參數(shù)

不同的移動(dòng)應(yīng)用類型在實(shí)現(xiàn)方式上對(duì)應(yīng)著不同的應(yīng)用開(kāi)發(fā)技術(shù)棧，主要包括傳統(tǒng)模式、Bridge模式和寄生模式等3種。

φ=[c1c2ma]

(17)

則未知參數(shù)的觀測(cè)值為

(18)

結(jié)合系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能，定義Lyapunov函數(shù)為

(19)

同時(shí)

由式(19)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)滿足條件α>2βl時(shí)，V(t)是正定的。為了進(jìn)行控制律的設(shè)計(jì)，首先對(duì)式(19)求導(dǎo)，同時(shí)結(jié)合系統(tǒng)狀態(tài)方程(14)～(16)可以得到

(v+ut+vux)((ma+ρl)g-f)|x=0-

c2(v+ut+vux)2|x=0

(21)

由式(5)可得

(22)

同時(shí)，基于分布積分法，可以得到

由此可以得到

(25)

其中

(27)

將控制律式(26)代入式(25)，可以得到

(28)

其中

(29)

定義參數(shù)自適應(yīng)律為

(30)

其中：λr為正常數(shù)。

將自適應(yīng)律式(29)代入式(27)，可以得到

(31)

(32)

由此可以證明，所設(shè)計(jì)的控制律能夠保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3 振動(dòng)抑制仿真研究

為了驗(yàn)證所提算法的有效性，運(yùn)用Matlab仿真軟件對(duì)所提的振動(dòng)抑制算法進(jìn)行仿真研究，并采用傳統(tǒng)的PID算法進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。PID控制律為

f=(z1u+z2(ut+vux))|x=0

(33)

仿真中摩擦式提升系統(tǒng)的物理參數(shù)如表1所示。

表1 摩擦式提升系統(tǒng)仿真物理參數(shù)Tab.1 Simulated physical parameters of frictional lifting system

提升系統(tǒng)的提升高度與提升速度曲線如圖3、圖4所示。當(dāng)系統(tǒng)處于開(kāi)環(huán)狀態(tài)下運(yùn)行時(shí)，提升容器的縱向振動(dòng)位移如圖5所示。

圖3 提升系統(tǒng)的提升高度曲線Fig.3 Lifting height curve of the lifting system

圖4 提升系統(tǒng)提升速度曲線Fig.4 Speed curve of the lifting system

圖5 無(wú)控制器時(shí)提升容器處的縱向振動(dòng)Fig.5 Longitudinal vibration at the lifting container without controller

由圖可以看出：提升過(guò)程中，提升容器有較大的縱向振動(dòng)；同時(shí)隨著提升高度的增加，即提升鋼絲繩的懸垂長(zhǎng)度逐漸減小，提升容器的振動(dòng)位移偏移量也在逐漸減小，而振動(dòng)頻率逐漸增加。在運(yùn)行的第13.3s和第72.7s，容器的振動(dòng)位移由于提升加速度的變化而出現(xiàn)了突變。這些現(xiàn)象都說(shuō)明了提升系統(tǒng)在運(yùn)行過(guò)程中，提升容器和提升鋼絲繩存在較為明顯的振動(dòng)，影響系統(tǒng)的安全性和舒適性。

接著，分別給系統(tǒng)施加傳統(tǒng)PID控制器、魯棒控制器和自適應(yīng)魯棒控制器。在仿真中，為了驗(yàn)證算法對(duì)未知系統(tǒng)參數(shù)下的控制效果，采用提升容器處阻尼系數(shù)和天輪處阻尼系數(shù)均為0.3，單根鋼絲繩容器及載物質(zhì)量為9 500 kg。

傳統(tǒng)PID控制器和筆者設(shè)計(jì)的自適應(yīng)魯棒控制器的控制參數(shù)如表2所示。

表2 摩擦式提升系統(tǒng)振動(dòng)抑制控制參數(shù)Tab.2 Control parameters for vibration suppression of the frictional hoisting system

當(dāng)系統(tǒng)處于閉環(huán)狀態(tài)下運(yùn)行時(shí)，即給系統(tǒng)分別施加PID控制器、魯棒控制器和自適應(yīng)魯棒控制器時(shí)，提升容器的縱向振動(dòng)位移如圖6所示。圖7所示為自適應(yīng)魯棒控制器的控制輸入曲線。由圖6可以看出，傳統(tǒng)的PID控制器對(duì)容器的縱向振動(dòng)已有較為明顯的補(bǔ)償和抑制，但是由于其沒(méi)有考慮提升鋼絲繩的彈性形變，容器的振動(dòng)位移在開(kāi)始階段還是有較大的偏移。當(dāng)采用魯棒控制器時(shí)，由于存在系統(tǒng)參數(shù)不一致的問(wèn)題，使得系統(tǒng)在加速度突變點(diǎn)具有較強(qiáng)烈的高頻振動(dòng)，且收斂較慢。采用筆者設(shè)計(jì)的自適應(yīng)魯棒控制器時(shí)，容器的振動(dòng)位移偏移可以得到很好的補(bǔ)償，同時(shí)在加速度變化的時(shí)間點(diǎn)，自適應(yīng)魯棒控制器也比PID控制器和魯棒控制器均有更快的收斂速度，總體控制效果最好。鋼絲繩載重觀測(cè)誤差及阻尼觀測(cè)值如圖8所示。

圖6 不同控制策略下提升容器處的縱向振動(dòng)Fig.6 Longitudinal vibration at the lifting container under different control strategies

圖7 自適應(yīng)魯棒控制策略控制輸入曲線Fig.7 Control input curve for adaptive robust control strategy

圖8 不確定參數(shù)觀測(cè)值及觀測(cè)誤差Fig.8 Uncertain parameter observations and observation errors

4 結(jié)束語(yǔ)

本研究針對(duì)深井提升系統(tǒng)鋼絲繩縱向振動(dòng)問(wèn)題，基于Lyapunov理論，提出了一種魯棒控制策略。通過(guò)對(duì)比仿真，驗(yàn)證了所提算法相較于傳統(tǒng)PID算法能更好地補(bǔ)償振動(dòng)偏移以及具有更快速的收斂性，整體效果良好。