具有集間良好互相關(guān)性的多子集無碰撞區(qū)跳頻序列集

許成謙，徐 琪，李偉杰

(燕山大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004)

0 引言

跳頻碼分多址系統(tǒng)具有抗干擾、安全、多址等特點，在軍事無線電通信、移動通信以及現(xiàn)代雷達和回聲定位系統(tǒng)中有著廣泛的應(yīng)用。跳頻序列在跳頻通信系統(tǒng)中扮演著十分重要的角色。跳頻序列的性能直接影響到跳頻通信系統(tǒng)的性能[1-2]。在這樣的系統(tǒng)中，每個跳頻序列分配給一個用戶，如果任意兩個用戶同時占用相同的載波頻率，就會發(fā)生信號碰撞。因此，我們希望這些碰撞盡可能少發(fā)生。碰撞程度由漢明相關(guān)函數(shù)來評估。為了減少互相碰撞的干擾，無碰撞區(qū)(No-hit-zone, NHZ)跳頻序列集由此被提出。無碰撞區(qū)跳頻序列集的漢明相關(guān)特性在整個周期內(nèi)不再要求是理想的，而只是要求序列在一定的延遲范圍內(nèi)有理想的漢明相關(guān)性就可以了。目前，關(guān)于無碰撞區(qū)跳頻序列集的設(shè)計已有廣泛的研究[3-7]。然而這些構(gòu)造出的單集合無碰撞區(qū)跳頻序列集只能消除同一小區(qū)用戶帶來的干擾，在多小區(qū)環(huán)境下，相鄰小區(qū)用戶信號造成的干擾難以消除。為降低小區(qū)之間用戶的干擾，一個有希望的解決方案是構(gòu)造的集合應(yīng)包含多個子集，每個小區(qū)分配一個子集。同一小區(qū)內(nèi)的干擾通過子集內(nèi)序列優(yōu)良的漢明自相關(guān)性與互相關(guān)性予以消除，不同小區(qū)間的干擾由子集間序列的漢明互相關(guān)性予以消除。

本文提出一種多子集NHZ跳頻序列集的構(gòu)造方法，基于一次碰撞的非重復(fù)跳頻序列集經(jīng)過移位序列交織構(gòu)造出多子集NHZ跳頻序列集。交織得到的序列集包含多個子集，每個子集是NHZ跳頻序列集，集間具有良好的低互相關(guān)性。

1 基本概念

定義1設(shè)F={f0,f1,…,fq-1}是一個包含q個頻隙的頻率集合，x=(x0,x1,…,xN-1)和y=(y0,y1,…,yN-1)分別為頻率集合F上的兩個跳頻序列，其中xi,yi∈F,i=0,1,…,N-1。跳頻序列x和y的周期漢明相關(guān)函數(shù)的定義為

(1)

定義2S為F上M個長度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，若跳頻序列集合S上任意序列x=(x0,x1,…,xN-1)和y=(y0,y1,…,yN-1)的周期漢明相關(guān)函數(shù)滿足

(2)

則稱跳頻序列集S為(N,M,q,Zn)無碰撞區(qū)跳頻序集，簡稱NHZ跳頻序列集，稱Zn為無碰撞區(qū)長度。

定義3對于跳頻序列x=(x0,x1,…,xN-1)，任意i,j∈{0,1,…,N-1},i≠j,若xi≠xj，則稱序列x為無重復(fù)跳頻序列。若跳頻序列集S中序列都是無重復(fù)跳頻序列，則稱S為無重復(fù)跳頻序列集。

定義4S為F上M個長度為N的無重復(fù)跳頻序列集，若無重復(fù)跳頻序列集合S上任意序列x=(x0,x1,…,xN-1)和y=(y0,y1,…,yN-1)的周期漢明相關(guān)函數(shù)滿足

(3)

則稱S為一次碰撞的無重復(fù)跳頻序列集。

定義5[8]設(shè)兩個跳頻序列a=(a0,a1,…,aN-1)和b=(b0,b1,…,bN-1)，如果對于0≤i≤N-1, 0≤τ≤N-1有ai=bi+τ成立，則稱序列a和b移位等價，否則稱為移位不等價。

定義6設(shè)S表示一個序列集，包含l個子集，S={S0,S1,…,Sl-1},每個子集是一個參數(shù)為(N,M,q,Zn)無碰撞區(qū)跳頻序列集。若Hs(i,n),s(j,m)(τ)=δ,δ?N,s(i,n)∈Si，s(j,m)∈Sj，0≤i,j≤l-1，i≠j,0≤n,m≤M-1, 0≤τ

設(shè)a=(a0,a1,…,aN-1)為跳頻序列，ei=(ei,0,ei,1)，其中ei,0,ei,1∈{0,1,…,N-1}，則由序列a和序列ei可以構(gòu)成一個N×2的矩陣

(4)

其中下標(biāo)運算均為模N加法運算。將矩陣U中的元素按行首尾連接得到周期為2N的序列u=(u0,u1,…,u2N-1)，其中u2t1+t2=at1+ei,t2，0≤t1

引理1設(shè)a=(a0,a1,…,aN-1)和b=(b0,b1,…,bN-1)為兩個跳頻序列，ei=(ei,0,ei,1)和ej=(ej,0,ej,1)為兩個移位序列，ei,0,ei,1,ej,0,ej,1∈{0,1,…,N-1}，交織序列u=I(Lei,0(a)),(Lei,1(a))和v=I(Lej,0(b),Lej,1(b))，令τ=2τ1+τ2，t=2t1+t2，0≤t1,τ1≤N-1，t2,τ2∈{0,1}，則交織序列u和v的漢明互相關(guān)函數(shù)

Hu,v(τ)=

(5)

如果a=b，則交織序列u和v的漢明互相關(guān)函數(shù)

Hu,v(τ)=

(6)

證明令τ=2τ1+τ2，t=2t1+t2，0≤t1,τ1≤N-1，t2,τ2∈{0,1}，則交織序列u和v的漢明互相關(guān)函數(shù)

Hu,v(τ)=

Hab(τ1+ej,τ2-ei,0)+Hab(τ1+ej,1+τ2-ei,1)=

如果a=b，交織序列u和v的漢明互相關(guān)函數(shù)

引理得證。

引理2[10]設(shè)E={ei|0≤i

2)ei,ej∈E，ei≠ej時，有d0≠d1且d2≠d3，

其中，d0=ei,0-ej,0，d1=ei,1-ej,1，d2=ei,0-ej,1，d3=ei,1-ej,0-1，均為模N運算，則移位序列ei和ej是移位不等價的。

引理3[10]設(shè)a為基序列，ei=(ei,0,ei,1)和ej=(ej,0,ej,1)為移位序列，u=I(Lei,0(a),Lei,1(a))，v=I(Lej,0(a),Lej,1(a)),若移位序列ei和ej是移位不等價的，則交織序列u和v是移位不等價的。

引理4設(shè)a為頻隙集{0,1,…,N-1}上長度為N的無重復(fù)跳頻序列，E={ei|0≤i

2)對于任意ei≠ej∈E，有d0≠d1，且d2≠d3，其中d0，d1，d2，d3見引理2；

則序列集S={I(Lei,0(a),Lei,1(a))|0≤i

證明顯然序列集S中序列長度為2N，序列個數(shù)為M，頻隙個數(shù)為N。

下面證明無碰撞區(qū)長度為Zn。設(shè)u=I(Lei,0(a),Lei,1(a))，v=I(Lej,0(a),Lej,1(a)),τ=2τ1+τ2，t=2t1+t2，0≤t1,τ1≤N-1，t2,τ2∈ {0,1}。

由引理1可得u的漢明自相關(guān)函數(shù)Hu(τ)，

Hu(τ)=

綜上所述，序列集S中任意序列u的自相關(guān)函數(shù)有無碰撞區(qū)(0,Zn]，即碰撞區(qū)長度為Zn。

由引理1可得u和v的漢明互相關(guān)函數(shù)

綜上所述，序列集S中任意兩個序列u和v的互相關(guān)函數(shù)有無碰撞區(qū)[0,Zn]，即碰撞區(qū)長度為Zn。

由引理2和引理3可知，序列u和v是移位不等價的。

引理得證。

引理5[11]令F是頻隙數(shù)為q的頻隙集，S為F上M個長度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，Zn是序列集S的無碰撞區(qū)長度，則

(7)

使得上式等式成立的跳頻序列集稱為最優(yōu)無碰撞區(qū)跳頻序列集。

2 多子集跳頻序列集的構(gòu)造

構(gòu)造方法1：

步驟1:選取一個F上頻隙大小為q的l個長度為N的一次碰撞無重復(fù)跳頻序列集A。

步驟2：取Zn為正整數(shù)，1

ej=(ej,0,ej,1)=

(8)

1)當(dāng)(Zn+1)整除N時，

ej=(ej,0,ej,1)=

(9)

2)當(dāng)(Zn+1)不整除N時，

ej=(ej,0,ej,1)=

步驟3：取序列集A中的序列為基序列，序列集E中的序列為移位序列構(gòu)成交織跳頻序列集，構(gòu)造的跳頻序列集如下，

Si={I(Lej,0(ai),Lej,1(ai))|ai∈A,ei=(ej,0,ej,1)∈E,0≤j

S={Si|0≤i

定理1構(gòu)造方法1中構(gòu)造的多子集跳頻序列集S中的子集Si為參數(shù)為(2N,M,N,Zn)的最優(yōu)無碰撞區(qū)跳頻序列集，Si中序列是移位不等價的，0≤i

證明由步驟2構(gòu)造移位序列集E知，對任意的ei,ej∈E均滿足以下3個條件：

2)對于任意ei≠ej∈E，有d0≠d1，且d2≠d3，其中d0，d1，d2，d3見引理2；

由引理2可知，構(gòu)造的E={ei=(ei,0,ei,1)|0≤i

由引理4知，序列集Si為參數(shù)為(2N,M,N,Zn)的無碰撞區(qū)跳頻序列集，并且序列集Si中任意兩個序列是移位不等價的。

由引理5知，序列集Si是最優(yōu)的。

對于s(i,n)∈Si，s(j,m)∈Sj，τ=2τ1+τ2，0≤τ1

Hs(i,n),s(j,m)(τ)=2Hab(τ1)=2。

同理，當(dāng)0≤τ<2N,τ2=1時，0≤τ1≤N-1，可得

Hs(i,n),s(j,m)(τ)=2Hab(τ1)=2。

綜上所述，子集間的漢明相關(guān)值為2。

3 構(gòu)造實例

例1選取參數(shù)為(7,6,7,1)一次碰撞非重復(fù)跳頻序列集A，其中

a0=(0,1,2,3,4,5,6)，

a1=(0,2,4,6,1,3,5)，

a2=(0,3,6,2,5,1,4)，

a3=(0,4,1,5,2,6,3)，

a4=(0,5,3,1,6,4,2)，

a5=(0,6,5,4,3,2,1)。

e0=(0,6)，e1=(4,2)。

以ai作為基序列，利用交織理論可得包含6個子集的序列集合S={S0,S1,S2,S3,S4,S5},如下：

S0={s(0,0)=(0,6,1,0,2,1,3,2,4,3,5,4,6,5)，

s(0,1)=(4,2,5,3,6,4,0,5,1,6,2,0,3,1)}，

S1={s(1,0)=(0,5,2,0,4,2,6,4,1,6,3,1,5,3)，

s(1,1)=(1,4,3,6,5,1,0,3,2,5,4,0,6,2)}，

S2={s(2,0)=(0,4,3,0,6,3,2,6,5,2,1,5,4,1)，

s(2,1)=(5,6,1,2,4,5,0,1,3,4,6,0,2,3)}，

S3={s(3,0)=(0,3,4,0,1,4,5,1,2,5,6,2,3,6)，

s(3,1)=(2,1,6,5,3,2,0,6,4,3,1,0,5,4)}，

S4={s(4,0)=(0,2,5,0,3,5,1,3,6,1,4,6,2,4)，

s(4,1)=(6,3,4,1,2,6,0,4,5,2,3,0,1,5)}，

S5={s(5,0)=(0,1,6,0,5,6,4,5,3,4,2,3,1,2)，

s(5,1)=(3,5,2,4,1,3,0,2,6,1,5,0,4,6)}。

通過計算，每個子集內(nèi)的漢明相關(guān)函數(shù)值如下：

Hs(i,0),s(i,0)(τ)=
(14,0,0,7,0,0,0,0,0,0,0,7,0,0)，

Hs(i,1),s(i,1)(τ)=

(14,0,0,0,0,7,0,0,0,7,0,0,0,0)，

Hs(i,0),s(i,1)(τ)=

(0,0,0,7,0,0,7,0,7,0,0,7,0,0)。

子集間的漢明相關(guān)函數(shù)值如下：

Hs(i,0),s(j,0)(τ)=

(2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2)，

Hs(i,0),s(j,1)(τ)=

(2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2)，

Hs(i,1),s(j,0)(τ)=

(2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2)，

Hs(i,1),s(j,1)(τ)=

(2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2)。

4 結(jié)論

本文提出了具有集間低互相關(guān)多子集無碰撞區(qū)跳頻序列集的概念，通過一次碰撞的非重復(fù)序列集和不等價的移位序列交織得到了多個最優(yōu)的無碰撞區(qū)跳頻序列集，無碰撞區(qū)長度在滿足一定條件下可靈活選取，其集合間具有優(yōu)良的漢明互相關(guān)性。構(gòu)造出的多子集可以應(yīng)用到多個小區(qū)間環(huán)境中，降低了小區(qū)間用戶干擾。