立方星陀螺/雙星敏感器組合定姿方法*

馬海寧，陸正亮，張 翔，廖文和

(南京理工大學 機械工程學院， 江蘇 南京 210094)

立方星具有質(zhì)量輕、體積小、制造周期短、功能密度高等特點，在軍用和民用領域具有廣闊的應用前景[1-2]。姿態(tài)確定系統(tǒng)提供實時的姿態(tài)信息，其精度直接影響立方星的姿態(tài)控制精度，從而影響衛(wèi)星的工作性能[3]。陀螺/星敏感器組合的姿態(tài)確定系統(tǒng)是現(xiàn)代高精度衛(wèi)星的主要定姿方式，隨著低成本、小型化的微機電系統(tǒng)(Micro-Electro-Mechanical System, MEMS)陀螺和納型星敏感器的不斷發(fā)展，其在立方星上的應用正逐步普及[4-5]。

近年來，國內(nèi)外很多學者基于陀螺/星敏感器的配置，采用不同的定姿方法對衛(wèi)星的姿態(tài)確定進行了深入研究。文獻[6-8]基于陀螺和星敏感器，利用擴展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter, EKF)算法估計衛(wèi)星的姿態(tài)并對陀螺偏置進行補償。文獻[9]基于陀螺和星敏感器，采用實時的滾動時域估計方法獲取衛(wèi)星姿態(tài)和陀螺校準參數(shù)，該方法對于較大的初始姿態(tài)誤差具有更快的收斂速度。文獻[10]基于陀螺和星敏感器，提出利用容積卡爾曼濾波(Cubature Kalman Filter, CKF)算法估計衛(wèi)星姿態(tài)，結果表明該方法在處理姿態(tài)確定系統(tǒng)的強非線性問題時比EKF算法和無跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter, UKF)算法擁有更高的精度和穩(wěn)定性。文獻[11]針對陀螺和星敏感器噪聲頻率特性不同的特點，提出利用互補濾波算法獲得姿態(tài)融合數(shù)據(jù)，將其引入UKF算法的測量更新過程，最終獲得衛(wèi)星姿態(tài)的最優(yōu)估計。

上述研究均是針對單星敏感器配置的情況，然而由于星敏感器視場角較小，導致姿態(tài)解算時滾轉(zhuǎn)軸的精度低于俯仰軸和偏航軸精度1～2個數(shù)量級[12]。因此，有關學者開展了多星敏感器姿態(tài)測量的研究：文獻[13]提出利用基于UKF的聯(lián)邦濾波算法融合雙星敏感器的測量數(shù)據(jù)以實現(xiàn)衛(wèi)星的姿態(tài)估計，并采用故障檢測和隔離算法規(guī)避敏感器測量故障，但實際上仍是主要利用主星敏感器的測量數(shù)據(jù)，副星敏感器只是作為備份；文獻[14]提出了基于星敏感器觀測姿態(tài)角的誤差建模，研究了多星敏感器組合的最優(yōu)安裝構型，利用陀螺加星敏感器組合的EKF算法對衛(wèi)星姿態(tài)和陀螺漂移進行估計，但姿態(tài)估計精度不高；文獻[15]提出利用基于EKF的聯(lián)邦濾波算法融合三星敏感器的測量數(shù)據(jù)以實現(xiàn)衛(wèi)星的姿態(tài)估計，該方法提高了定姿精度和系統(tǒng)魯棒性，保證了定姿任務的持續(xù)性，但其采用的星敏感器是應用于傳統(tǒng)大衛(wèi)星的高精度、昂貴的大型星敏感器，不適用于低成本、低功耗要求的立方星平臺。

鑒于此，本文結合某型號立方星研制任務的需要，提出了陀螺/雙星敏感器的組合定姿方法。該方法在硬件層面，采用兩個同時工作的低成本、低精度的皮型星敏感器以及三軸MEMS陀螺作為姿態(tài)敏感器；在算法層面，基于平均四元數(shù)的思想，構建了兩種姿態(tài)估計方案：一種是先對雙星敏感器輸出的姿態(tài)四元數(shù)進行平均，再結合陀螺的測量，利用傳統(tǒng)的MEKF算法實現(xiàn)衛(wèi)星姿態(tài)和陀螺漂移的最優(yōu)估計，即集中式定姿；另一種是先利用傳統(tǒng)的MEKF算法分別融合陀螺/星敏感器1和陀螺/星敏感器2的測量，再對兩者獲得的姿態(tài)四元數(shù)和陀螺漂移進行平均，得到衛(wèi)星姿態(tài)和陀螺漂移的最優(yōu)估計，即分散式定姿。最后通過數(shù)值仿真實驗對所提出的定姿方法進行了驗證。

1 姿態(tài)運動學和敏感器模型

1.1 姿態(tài)運動學模型

由于四元數(shù)具有非奇異性，因此采用四元數(shù)來描述衛(wèi)星的姿態(tài)，定義姿態(tài)四元數(shù)為：

(1)

用姿態(tài)四元數(shù)表示的衛(wèi)星姿態(tài)運動學方程為：

(2)

式中，qbo為軌道系相對于衛(wèi)星本體系的姿態(tài)四元數(shù)，ωbo為衛(wèi)星本體系相對于軌道系的旋轉(zhuǎn)角速度在衛(wèi)星本體系中的表達，Ω(ωbo)為四元數(shù)右乘矩陣，即

(3)

1.2 MEMS陀螺測量模型

MEMS陀螺三個測量軸分別對準衛(wèi)星本體系的慣量主軸三個方向安裝，它能提供衛(wèi)星本體系相對于慣性系的角速度信息?？紤]陀螺漂移、隨機誤差和測量噪聲等因素的存在，構建離散測量模型為：

(4)

1.3 星敏感器

1.3.1 安裝方位分析

本研究選用的星敏感器為國內(nèi)某公司生產(chǎn)的型號為PST-3的皮型星敏感器，其雜光抑制角θl<35°。對于雙星敏感器配置，為了獲得較高的測量精度以及完整的可觀測性，通常呈垂直關系安裝[16]。立方星本體共有6個體裝面，分別為對天面、對地面、迎風面、背風面、向陽面和背陰面。星敏感器在軌運行時主要受到太陽光和地氣光的干擾，其中太陽光主要照射面為對天面、對地面、迎風面、背風面和向陽面，次要照射面為背陰面；地氣光照射面為對地面。因此，考慮將雙星敏感器垂直安裝于衛(wèi)星本體的背陰面，并通過系統(tǒng)工具包(Systems Tool Kits, STK)的建模仿真驗證此種安裝方式能夠有效避免太陽光對星敏感器視場的干擾。圖1為在STK中建立的衛(wèi)星在軌飛行模型。

圖1 衛(wèi)星在軌飛行模型Fig.1 Flight model of satellite in orbit

衛(wèi)星進入太陽陰影區(qū)后，星敏感器不受太陽光的照射，故視場分析不必考慮該區(qū)間。根據(jù)衛(wèi)星的軌道參數(shù)和初始歷元時間2018年1月19日12:13:39.790 UTCG，利用STK獲取其在軌運行一年內(nèi)地日連線與軌道平面的夾角(即太陽入射角)的變化情況，如圖2所示。

圖2 衛(wèi)星在軌一年內(nèi)太陽入射角Fig.2 Solar incident angles of satellite within one year in orbit

由圖2可見，太陽入射角在第3192 h達到最小，對應的日期約為2018年6月1日12時15分。此時星敏感器視軸和太陽矢量的夾角最小，太陽光對星敏感器的影響最大。因此，本文在分析太陽光對星敏感器視場的影響時僅考慮光照區(qū)最為惡劣的情況，仿真時間設置為2018年6月1日12:13:52.862 UTCG至2018年6月1日13:14:17.117 UTCG。圖3所示為上述光照區(qū)內(nèi)，星敏感器視軸與太陽矢量夾角的變化情況。

圖3 星敏感器視軸與太陽矢量夾角Fig.3 Angles between star sensors and sun vector

由圖3可見，2個星敏感器與太陽矢量的最小夾角均大于雜光抑制角θl，這說明本文雙星敏感器的安裝方式使得衛(wèi)星整個在軌壽命期間能有效地避免太陽光對星敏感器視場的干擾。

1.3.2 測量模型

雙星敏感器的安裝示意如圖4所示。

圖4 雙星敏感器安裝示意圖Fig.4 Double star sensors installation diagram

單星敏感器能測量出慣性系相對于星敏本體系的姿態(tài)四元數(shù)，其測量模型為：

(5)

(6)

(7)

式中，ψbs、φbs、θbs為星敏感器在衛(wèi)星本體中的安裝角度。

2 非線性濾波算法

考慮到穩(wěn)定狀態(tài)下立方星姿態(tài)運動學和動力學方程非線性較弱，且星載計算機運算能力有限，因此選用迭代速度快且估計精度較高的MEKF算法作為定姿濾波器。MEKF的基本思想是估計無約束的三分量姿態(tài)誤差參數(shù)并利用四元數(shù)乘法為航天器提供全局非奇異姿態(tài)描述[17]。

2.1 濾波狀態(tài)方程

(8)

(9)

對式(9)作線性化處理，得線性連續(xù)濾波狀態(tài)方程為：

(10)

對式(10)作離散化處理，得線性離散濾波狀態(tài)方程為：

(11)

2.2 濾波觀測方程

(12)

取出式(12)兩端的矢量部分：

(13)

由式(13)構建線性離散濾波觀測方程：

δZk=HkΔXk/(k-1)+Vk

(14)

2.3 姿態(tài)估計流程

2.3.1 狀態(tài)量預估

k-1時刻，利用姿態(tài)運動學方程和陀螺測量值，計算姿態(tài)四元數(shù)的預測值和陀螺漂移的預測值：

(15)

(16)

2.3.2 狀態(tài)偏差量更新

一步預測均方誤差方程：

(17)

濾波增益方程：

(18)

狀態(tài)估值方程：

(19)

最優(yōu)估計均方誤差方程：

(20)

2.3.3 狀態(tài)量修正

(21)

3 陀螺/雙星敏感器定姿

針對雙星敏感器的配置，需要考慮對兩者的輸出四元數(shù)進行融合，以獲得最終的測量數(shù)據(jù)并傳入MEKF濾波器的觀測方程中。由于四元數(shù)的非加性特點，常見的線性加權方法由于無法保證四元數(shù)歸一化約束以及非唯一性特性，并不能直接處理多個四元數(shù)的平均。針對此問題，文獻[18]給出了一種加權四元數(shù)方法；文獻[19]給出了一種優(yōu)良的四元數(shù)平均方法，可以直接用于平均兩個四元數(shù)：

(22)

基于文獻[19]的研究結果以及非線性加權平均的思想，融合雙星敏感器的輸出四元數(shù)，同時可延伸到對多個姿態(tài)四元數(shù)估計值的融合。由此提出兩種陀螺/雙星敏感器組合定姿方法，即集中式和分散式。

1)集中式：如圖5所示，先利用式(22)對雙星敏感器的姿態(tài)四元數(shù)測量值進行平均處理，再結合MEMS陀螺的測量，利用MEKF算法實現(xiàn)衛(wèi)星姿態(tài)和陀螺漂移的最優(yōu)估計。

圖5 集中式定姿方法Fig.5 Centralized attitude determination method

2)分散式：如圖6所示，先利用MEKF算法分別融合MEMS陀螺和星敏感器1以及MEMS陀螺和星敏感器2的測量數(shù)據(jù)，獲得各自的姿態(tài)四元數(shù)估計和陀螺偏置估計，再利用式(22)進行四元數(shù)加權平均處理，獲得姿態(tài)最優(yōu)估計，同時利用線性加權平均方法獲得陀螺偏置的最優(yōu)估計。

圖6 分散式定姿方法Fig.6 Decentralized attitude determination method

4 數(shù)值仿真及結果分析

利用數(shù)值仿真對本文提出的陀螺/雙星敏感器組合定姿方法進行驗證。

4.1 仿真參數(shù)設定

1) 軌道高度為500 km，軌道傾角為97.5°，軌道偏心率為0.001，軌道角速度ωo為0.001 1 rad/s。

3) 星敏感器視軸方向測量誤差Δva為50″，視平面方向測量誤差Δfp為5″；星敏感器1安裝角度為ψbs1=-90°,φbs1=45°,θbs1=-90°，星敏感器2安裝角度ψbs2=90°,φbs2=45°,θbs2=90°；星敏感器1測量權重w1=0.5，星敏感器2測量權重w2=0.5，采樣頻率為10 Hz。

4) 三軸姿態(tài)角初始真值為[2° -2° 2°]，三軸角速度初始真值為[-0.5 (°)/s0.5 (°)/s0.5 (°)/s]。

5) 三軸姿態(tài)角初始估計值為[0° 0° 0°]°，三軸角速度初始估計值為[0 (°)/s0 (°)/s0 (°)/s]，陀螺偏置初始估計值：[0 (°)/h0 (°)/h0 (°)/h]。

6) 數(shù)值仿真步長為1 s，仿真時長為5000 s。

7) 仿真計算機配置：Intel Core i5-4590 3.3 GHz，四核；RAM 8 GB；MATLAB R2015a。

4.2 仿真結果及分析

根據(jù)上述參數(shù)設定，分別對陀螺/星敏感器1、集中式陀螺/雙星敏感器和分散式陀螺/雙星敏感器組合定姿方式進行數(shù)值仿真分析。

4.2.1 定姿精度分析

陀螺/星敏感器1組合定姿得到的穩(wěn)定階段姿態(tài)參數(shù)誤差變化曲線如圖7所示，三個方向的姿態(tài)角誤差的變化范圍分別為±0.020 4°(3σ)、±0.029 7°(3σ)、±0.020 4°(3σ)；三個方向的陀螺偏置誤差的變化范圍分別為±0.008 1 (°)/s(3σ)、±0.007 5 (°)/s(3σ)、±0.007 5 (°)/s(3σ)。

(a) 偏航角誤差(a) Error of yaw angle

(b) 滾動角誤差(b) Error of roll angle

(c) 俯仰角誤差(c) Error of pitch angle

(d) 陀螺X軸偏置誤差(d) Error of gyro bias in X axis

(e) 陀螺Y軸偏置誤差(e) Error of gyro bias in Y axis

(f) 陀螺Z軸偏置誤差(f) Error of gyro bias in Z axis圖7 陀螺/星敏感器1定姿結果(穩(wěn)定階段)Fig.7 Attitude determination results based on MEMS gyro and star sensor 1(stable stage)

集中式陀螺/雙星敏感器組合定姿得到的穩(wěn)定階段姿態(tài)參數(shù)誤差變化曲線如圖8所示，三個方向的姿態(tài)角誤差的變化范圍分別為±0.009 0°(3σ)、±0.018 3°(3σ)、±0.018 0°(3σ)；三個方向的陀螺偏置誤差的變化范圍分別為±0.007 5 (°)/s(3σ)、±0.006 9 (°)/s(3σ)、±0.007 2 (°)/s(3σ)。

分散式陀螺/雙星敏感器組合定姿得到的穩(wěn)定階段姿態(tài)參數(shù)誤差變化曲線如圖9所示，三個方向的姿態(tài)角誤差的變化范圍分別為±0.012 0°(3σ)、±0.018 9°(3σ)、±0.018 6°(3σ)；三個方向的陀螺偏置誤差的變化范圍分別為±0.007 5 (°)/s(3σ)、±0.007 2 (°)/s(3σ)、±0.007 2 (°)/s(3σ)。

(a) 偏航角誤差(a) Error of yaw angle

(b) 滾動角誤差(b) Error of roll angle

(c) 俯仰角誤差(c) Error of pitch angle

(d) 陀螺X軸偏置誤差(d) Error of gyro bias in X axis

(e) 陀螺Y軸偏置誤差(e) Error of gyro bias in Y axis

(f) 陀螺Z軸偏置誤差(f) Error of gyro bias in Z axis圖8 陀螺/雙星敏感器集中式濾波定姿結果(穩(wěn)定階段)Fig.8 Attitude determination results of centralized filter based on MEMS gyro and double star sensors(stable stage)

表1列出了三種組合定姿方式得到的姿態(tài)角均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)和平均絕對誤差(Mean Absolute Error, MAE)的統(tǒng)計結果。由表1可見，在定姿精度方面，陀螺/雙星敏感器集中式定姿得到的三個方向的姿態(tài)角RMSE值和MAE值均比分散式定姿得到的對應結果小，這表明集中式定姿的精度高于分散式定姿；集中式定姿和分散式定姿得到的三個方向的姿態(tài)角RMSE值和MAE值均比陀螺/星敏感器1定姿得到的對應結果小，這表明雙星敏感器定姿精度優(yōu)于單星敏感器。

(a) 偏航角誤差(a) Error of yaw angle

(b) 滾動角誤差(b) Error of roll angle

(c) 俯仰角誤差(c) Error of pitch angle

(d) 陀螺X軸偏置誤差(d) Error of gyro bias in X axis

(e) 陀螺Y軸偏置誤差(e) Error of gyro bias in Y axis

(f) 陀螺Z軸偏置誤差(f) Error of gyro bias in Z axis圖9 陀螺/雙星敏感器分散式濾波定姿結果(穩(wěn)定階段)Fig.9 Attitude determination results of decentralized filter based on MEMS gyro and double star sensors(stable stage)

表1 姿態(tài)角RMSE和MAE的統(tǒng)計結果比較

表2列出了三種組合定姿方式得到的陀螺偏置RMSE和MAE的統(tǒng)計結果。由表2可見，在陀螺偏置估計精度方面，陀螺/雙星敏感器集中式定姿得到的三個方向的陀螺偏置RMSE值和MAE值與分散式定姿得到的對應結果基本一致，這表明兩者對陀螺偏置的估計精度相當；集中式定姿和分散式定姿得到的三個方向的陀螺偏置RMSE值和MAE值均比陀螺/星敏感器1定姿得到的對應結果略小，這表明雙星敏感器對陀螺偏置的估計精度略優(yōu)于單星敏感器。

表2 陀螺偏置RMSE和MAE的統(tǒng)計結果比較Tab.2 Statistical results comparison of the RMSE and MAE of gyro bias

4.2.2 濾波收斂性分析

陀螺/星敏感器1組合定姿得到的初始階段姿態(tài)角誤差變化曲線如圖10所示，從圖中可以看出，濾波收斂時間約為23 s。

集中式陀螺/雙星敏感器組合定姿得到的初始階段姿態(tài)角誤差變化曲線如圖11所示，從圖中可以看出，濾波收斂時間約為20 s。

(a) 偏航角誤差(a) Error of yaw angle

(b) 滾動角誤差(b) Error of roll angle

(c) 俯仰角誤差(c) Error of pitch angle圖10 陀螺/星敏感器1定姿結果(初始階段)Fig.10 Attitude determination results based on MEMS gyro and star sensor 1(initial stage)

(a) 偏航角誤差(a) Error of yaw angle

(b) 滾動角誤差(b) Error of roll angle

(c) 俯仰角誤差(c) Error of pitch angle圖11 陀螺/雙星敏感器集中式濾波定姿結果(初始階段)Fig.11 Attitude determination results of centralized filter based on MEMS gyro and double star sensors(initial stage)

分散式陀螺/雙星敏感器組合定姿得到的穩(wěn)定階段姿態(tài)角誤差變化曲線如圖12所示，從圖中可以看出，濾波收斂時間約為15 s。

由以上仿真數(shù)據(jù)可以看出，陀螺/雙星敏感器集中式定姿的收斂速度與陀螺/星敏感器1定姿相當，而分散式定姿的收斂速度優(yōu)于二者。

(a) 偏航角誤差(a) Error of yaw angle

(b) 滾動角誤差(b) Error of roll angle

(c) 俯仰角誤差(c) Error of pitch angle圖12 陀螺/雙星敏感器分散式濾波定姿結果(初始階段)Fig.12 Attitude determination results of decentralized filter based on MEMS gyro and double star sensors(initial stage)

5 結論

本文提出了一種陀螺/雙星敏感器組合的立方星姿態(tài)確定方法，采用低成本、低精度器件作為姿態(tài)敏感器，并基于平均四元數(shù)的思想，構建了兩種定姿方案：一是先對雙星敏感器輸出的姿態(tài)四元數(shù)進行平均，再結合陀螺的測量，利用MEKF算法實現(xiàn)姿態(tài)最優(yōu)估計；二是先利用MEKF算法分別獲取陀螺/星敏感器1和陀螺/星敏感器2的姿態(tài)估計，再對得到的姿態(tài)四元數(shù)進行平均，實現(xiàn)姿態(tài)最優(yōu)估計。數(shù)學仿真結果表明，兩種定姿方案能夠提高立方星的定姿性能，其中集中式定姿獲得的姿態(tài)確定精度最高，而分散式定姿的收斂速度最快。因此，本文提出的定姿方法能夠為立方星實現(xiàn)低成本、高精度、高可靠性的姿態(tài)確定提供一種可行的工程應用參考方案。