初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中隱含條件挖掘的有效途徑

（甘肅省和政縣第一中學(xué)，甘肅 和政 731200）

什么是隱含條件呢？通常隱含條件是隱藏在題目內(nèi)部的，出題者不會直接給出，需要解題者經(jīng)過一定的分析、推理、轉(zhuǎn)換才能獲得的解題條件，很多時候隱含條件往往是很多難題的突破口.廣義上來說解數(shù)學(xué)題的過程，不僅要能夠發(fā)現(xiàn)題目中可用的條件，更加需要從題干甚至是已知結(jié)果中不斷地挖掘和發(fā)現(xiàn)隱含條件，并利用隱含條件經(jīng)過推理、計算和論證并最終得到解題答案的過程.數(shù)學(xué)題中的隱含條件五花八門，種類繁多，但是隱含條件的存在還是有一定的規(guī)律性.為此我們分析具體的隱含條件挖掘的方法，希望能夠?qū)嶋H的教學(xué)活動提供幫助.

一、從已知條件推理挖掘隱含條件

很多隱含條件往往就存在于已知條件中，只需要經(jīng)過簡單的推理便能夠得出，但是由于很多學(xué)生不注意思考，著急做題，不僅費時也導(dǎo)致解題過程非常的麻煩.從已知條件挖掘隱含條件的方法有以下三類：奇偶分析法、特殊值分析法、特殊公式推理法.顯然奇偶分析法，是通過等式兩邊的奇偶性找出隱含條件.而特殊值分析法，指的是能夠從已知條件中用特殊化的思想，發(fā)現(xiàn)隱含條件，這類題中往往會出現(xiàn)一定的類似于恒成立之類的字樣，我們就能將題目中的關(guān)鍵變量進(jìn)行特殊化，例如設(shè)為1 或0 等容易計算的數(shù)值，從而大大地簡化解題過程.特殊公式推理法，則是指能夠從題面中發(fā)現(xiàn)觀察出特殊情況的存在.我們以題1 為例，重點分析特殊工時的隱含條件.

題1 已知一元二次方程x2-（k-2）x+（k2+3k+5）=0，x1 和x2 分別為它的兩個實根，求x21+x22 的最大值.

如果學(xué)生不仔細(xì)審視題目，直接解題的過程得出是19 的答案，但是這個解題過程中忽略了一個非常重要的情況，那就是這個方程既然存在實根，那么這個方程一定要滿足Δ ≥0，所以k 一定有一個取值范圍，這就是已知條件中隱含的公式和公理的發(fā)掘.

二、從結(jié)論或者公式逆推發(fā)現(xiàn)隱含條件

這種方式一般應(yīng)用于很多的證明題中，需要解題者靈活地看待已知條件和求證之間的關(guān)系，有一定的逆推思想.這種逆推的思想是挖掘證明題中隱含條件的關(guān)鍵所在，也是很多較難的證明題的重要的解題思想.為此我們通過以下題目分析這種發(fā)現(xiàn)隱含條件的方法.

題2 如果1a+1b+2c=0，求證：a2+b2+c2=（a+b+c）2.

分析這一道題目，我們既可以從論證的結(jié)果出發(fā)，將等式化簡得到ab+bc+ca=0 這一隱含的條件，然后通過逆推的思想，從論證出發(fā)探索如何得到這一答案.也可以直接順向的推理.當(dāng)然了這道題目難度不大，但是確是一個典型的代表，給很多類似的證明題目提供了一種解題思路，那就是能夠從論證的結(jié)果中發(fā)現(xiàn)隱含的條件，通過逆推的思想積極地與論證結(jié)合，分析發(fā)現(xiàn)兩者之間的聯(lián)系.

三、求值范圍和定義域隱含條件的挖掘

有時候，雖然題目中并沒有給出求解的范圍，但是所求的值的取值范圍是存在一定的隱含條件的，由于忽視了隱含條件中的求值范圍，所以常常會影響到解題的準(zhǔn)確性.它不像很多隱含條件那樣，會影響解題者發(fā)現(xiàn)解題方向和思路，此類隱含條件如果不被挖掘出來一樣能夠解題，但是往往會干擾解題的結(jié)果.而由于忽視定義域的存在導(dǎo)致解題錯誤也是忽視了隱含條件的挖掘過程，兩者具有一定的相似性.下面來實際的經(jīng)典題目解析.

題3 已知二次函數(shù)y=ax2+4x+a 的最大值是3，求a 的值.

如果不注意分析a 的取值范圍，那么盲目的解題過程是直接代入公式中，列出一個關(guān)于a 的二次方程，并化簡解答得到a=4 或者a=-1.但是實際上這個解答過程是錯誤的，原因在于題目明確地指出了二次函數(shù)的最大值，而當(dāng)a大于零的時候，二次函數(shù)的圖像開口向上，是不存在最大值的，所以正確的答案應(yīng)該是a=-1.

題4 已知二元二次方程3x2+2y2=6x，求x2+y2 的最大值.

如果不去分析已知條件的定義域，沒有發(fā)現(xiàn)題干中的隱含條件，粗心的學(xué)生解題的過程會是這樣的：由3x2+2y2=6x 化簡得到y(tǒng)2=6x-3x22，因此可以將x2+y2 化簡成一個關(guān)于x 的二次函數(shù)，但是這個過程明顯忽略了已知條件對于x 的限定范圍，所以解題的過程是錯誤的.由于y2 實際上是大于等于零的，這個時候x 有一個限定的取值范圍，上述解答忽視了這一點，因此導(dǎo)致錯誤的解題答案.

以上兩個例題的分析我們能夠發(fā)現(xiàn)，隱含條件的挖掘不僅僅出現(xiàn)在審題的初期，也有可能是隱含在解題過程中的，因此就需要培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察力和分析能力，著重在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生縝密的思維，不僅僅要細(xì)致地審題，也要在解題中不斷地思考和發(fā)現(xiàn).

四、數(shù)形結(jié)合挖掘隱含條件

利用數(shù)形結(jié)合的思想挖掘隱含條件，一般都能夠大大地簡化解題過程.幾何圖形是一種直觀的圖像化的數(shù)學(xué)公式，在初中的數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，教師應(yīng)該積極地引導(dǎo)學(xué)生從公式中發(fā)現(xiàn)典型的幾何圖形，能從圖形中發(fā)現(xiàn)公式的約束條件，進(jìn)而激發(fā)靈感，充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想發(fā)掘隱含條件.題5就是一道典型的數(shù)形結(jié)合挖掘隱含條件解題的過程，具體分析如下.

題5 求函數(shù)y=sinx4-cosx 的最值.

這一道題咋一看無從下手，但是如果能夠熟悉單位圓的公式，理解題目隱含的條件sin2x+cos2x=1，我們就能夠?qū)㈩}目大大的簡化.我們把（4，0）看作是一個定點的話，這道題目就轉(zhuǎn)化成了一個求一個定點到一個單位圓上任意一點連線斜率的最值問題.即k=0-sinx4-cosx，求k 值的最值問題，如圖1 所示.

初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中隱含條件非常的多，完全列舉出來是不太現(xiàn)實的，我們從幾類典型的題目著手，并在解題過程中穿插了挖掘隱含條件的思想和途徑，希望能夠?qū)嶋H的教學(xué)過程有所幫助，為此類隱含條件的講解提供一個思想.