采用混合算法優(yōu)化的四桿機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性研究*

郭永鳳

（陜西國(guó)防工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 西安 710300）

1 引言

四桿機(jī)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)、擺動(dòng)和空間復(fù)雜運(yùn)動(dòng)［1］。具有以下優(yōu)點(diǎn)：1）結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單；2）承載能力強(qiáng)；3）接觸部分方便潤(rùn)滑；4）磨損較小等。因此，廣泛應(yīng)用于儀表、機(jī)器人及汽車等許多領(lǐng)域。但是，四桿機(jī)構(gòu)也有缺點(diǎn)，比如：四桿機(jī)構(gòu)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，慣性力較大，難以保持平衡，會(huì)產(chǎn)生較大的沖擊，通常只能用于低速場(chǎng)合。四桿機(jī)構(gòu)還可以演化成曲柄搖桿機(jī)構(gòu)、雙曲柄機(jī)構(gòu)、雙搖桿機(jī)構(gòu)及多連桿機(jī)構(gòu)等［2］。隨著四桿機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)的優(yōu)化，對(duì)四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度的要求也在逐步升高。因此，研究四桿機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性對(duì)于提高定位精度具有重要意義。

當(dāng)前，研究者從不同角度對(duì)四桿機(jī)構(gòu)展開了研究。例如：文獻(xiàn)［3］研究了平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)軌跡產(chǎn)生的誤差，采用歐幾里得距離誤差構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，定義四桿機(jī)構(gòu)橫向和縱向誤差函數(shù)，給出四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)約束條件。采用Matlab 軟件對(duì)四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)輸出誤差進(jìn)行仿真，從而降低了四桿機(jī)構(gòu)輸出橫向和縱向誤差。文獻(xiàn)［4］研究平面四桿機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)性能問題，采用數(shù)值分析得到最小傳動(dòng)角，四桿機(jī)構(gòu)三維模型采用參數(shù)化設(shè)計(jì)方法，在ADAMS 軟件中進(jìn)行裝配和運(yùn)動(dòng)仿真，得到四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)角度、角速度及角加速度變化曲線，為四桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)制造提高理論依據(jù)。文獻(xiàn)［5］研究平面四桿機(jī)構(gòu)軌跡和速度問題，建立誤差和速度最小化目標(biāo)函數(shù)，采用差分進(jìn)化算法優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，通過仿真驗(yàn)證軌跡誤差和速度的穩(wěn)定性，為進(jìn)一步提高四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性提供參考。以前研究的四桿機(jī)構(gòu)沒有綜合考慮輸出力和運(yùn)動(dòng)速度，致使四桿機(jī)構(gòu)輸出速度和沖擊力較大。對(duì)此，本文以四桿機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，推導(dǎo)出四桿機(jī)構(gòu)連桿橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)方程式。采用B 樣條曲線，確定四桿機(jī)構(gòu)連桿尺寸外形輪廓，構(gòu)造多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)。采用混合算法優(yōu)化四桿機(jī)構(gòu)目標(biāo)函數(shù)，通過Matlab 軟件對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行仿真，并且與優(yōu)化前進(jìn)行比較和分析，為提高四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度提供參考價(jià)值。

2 四桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

2.1 四桿機(jī)構(gòu)平面簡(jiǎn)圖

本文研究的是四桿機(jī)構(gòu)平面簡(jiǎn)圖，如圖1 所示。四桿機(jī)構(gòu)輸出沖擊力方程式［6］為

式中：F1代表機(jī)架支點(diǎn)O1和連桿1 之間相互作用力；F3代表機(jī)架支點(diǎn)O3和連桿3 之間相互作用力；l0代表機(jī)架支點(diǎn)O1到機(jī)架支點(diǎn)O4的距離。

在圖1 中，l1、l2、l3代表連桿1、連桿2、連桿3 的長(zhǎng)度；C1、C2、C3代表連桿1、連桿2、連桿3 的質(zhì)心；θ1、θ2、θ3代表連桿1、連桿2、連桿3 與質(zhì)心位置夾角；d1、d2、d3代表連桿1、連桿2、連桿3 質(zhì)心到支點(diǎn)距離。

2.2 四桿機(jī)構(gòu)外形輪廓設(shè)計(jì)

四桿機(jī)構(gòu)外形輪廓尺寸采用B 樣條曲線設(shè)計(jì)，其方程式［7］為

式中：Pi代表樣條曲線變化調(diào)整點(diǎn)；K代表樣條曲線階數(shù)；Ni，k（λ）代表樣條曲線分段組合函數(shù)；λ代表調(diào)整參數(shù)。

圖1 四桿機(jī)構(gòu)平面模型

在四桿機(jī)構(gòu)第i段上某點(diǎn)，其平面方程式為

式中：（xi-1，yi-1）代表點(diǎn)Pi-1二維坐標(biāo)；（xi，yi）代表點(diǎn)Pi二維坐標(biāo)；（xi+1，yi+1）代表點(diǎn)Pi+1二維坐標(biāo)；α1=-λ3+3λ2i-3λi2+i3；α2=3λ3+λ2（3-9i）+λ（9i2-6i-3）-3i3+3i2+3i+1；α3=-3λ3+λ2（9i-6）+λ（-9i2+12i）+3i3-6i2+4；α4=λ3+λ2（-3i+3）+λ（3i2-6i+3）-i3+3i2-3i+4。

采用B 樣條線確定四桿機(jī)構(gòu)連桿外形變化趨勢(shì)，其面積和質(zhì)心平面方程式為

xi（λ）和yi（λ）求導(dǎo)后，其方程式為

式中：β1=-3λ2+6λi-3i2；β2=9λ2+2λ（3-9i）+9i2-6i-3；β3=-9λ2+2λ（-6+9i）-9i2+12i；β4=3λ2+2λ（3-9i）+3i2-6i+3。

采用閉合B 樣條曲線構(gòu)造四桿機(jī)構(gòu)連桿形狀，連桿質(zhì)量計(jì)算公式為

式中：A 代表連桿面積；t 代表連桿厚度；ρ代表連桿材料密度。

3 四桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 參數(shù)設(shè)計(jì)變量

采用矩陣方式表達(dá)四桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)變量，其表達(dá)式為

式中：mij代表任意連桿i 任意點(diǎn)j 的質(zhì)量；lij代表表任意連桿i 任意點(diǎn)j 長(zhǎng)度；θij代表表任意連桿i 任意點(diǎn)j的轉(zhuǎn)動(dòng)角度。

3.2 目標(biāo)函數(shù)

四桿機(jī)構(gòu)外形設(shè)計(jì)尺寸優(yōu)化后，盡可能降低四桿機(jī)構(gòu)輸出力和速度，其優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)如下所示：

式中：ω1代表沖擊力變化調(diào)整系數(shù)；F 代表沖擊力；ω2代表速度變化調(diào)整系數(shù)；v代表運(yùn)動(dòng)速度。

四桿質(zhì)量、尺寸變化設(shè)計(jì)范圍為

3.3 混合算法

粒子群算法是近代發(fā)展起來的迭代搜索算法，粒子通過不斷更新速度和位置來尋找最優(yōu)值，更新方程式［8～9］為

式中：vik代表粒子i 搜索更新k 次后的速度；ω代表慣性權(quán)重值；c1和c2代表學(xué)習(xí)因子；r1和r2代表隨機(jī)變化系數(shù)；Pi代表個(gè)體極值；G 代表群體極值；Xik代表粒子i更新k次后的位置。

慣性權(quán)重值會(huì)影響到全局搜索能力和局部搜索能力，為了更好地發(fā)揮粒子群搜索到全局最優(yōu)值能力，慣性權(quán)重值修改方式如下［8］：

式中：ω0代表粒子權(quán)重初始值；ω1代表粒子權(quán)重最終值；n代表當(dāng)前迭代次數(shù)；N代表迭代最大次數(shù)。

為了更好地搜索到全局最優(yōu)解，對(duì)粒子群算法添加遺傳算法的交叉和變異操作，其操作方式如下：

遺傳算法交叉操作方程式［10］為

式中：Ami和Ani代表任意兩個(gè)初始個(gè)體；Ami+1和Ani+1代表交叉后新的個(gè)體；r代表區(qū)間［0，1］之間的隨機(jī)數(shù)。

遺傳算法變異操作方程式［10］為

式中：Amin、Amax代表粒子個(gè)體最小值和最大值；a 代表可調(diào)參數(shù)；t 代表當(dāng)前迭代次數(shù)；T 代表迭代最大次數(shù)。

4 仿真與分析

本文采用混合算法優(yōu)化四桿機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)，混合算法初始參數(shù)設(shè)置為：種群數(shù)量設(shè)置為50，迭代最大次數(shù)為300，慣性權(quán)重初始值和最終值分別為ω0=0.95、ω1=0.5，學(xué)習(xí)因子為c1=c2=2.0，隨機(jī)數(shù)為r1=r2=1.0，交叉概率為0.02，變異概率為0.75。四桿機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)優(yōu)化前、后如表1所示。

表1 四桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化前、后幾何參數(shù)

優(yōu)化后的四桿機(jī)構(gòu)連桿外形輪廓如圖2 所示，優(yōu)化前的四桿機(jī)構(gòu)連桿外形輪廓如圖3。采用Mat?lab軟件對(duì)優(yōu)化前、后的四桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行仿真，輸出的沖擊力曲線如圖4所示，運(yùn)動(dòng)速度曲線如圖5所示。

圖2 四桿機(jī)構(gòu)形狀（優(yōu)化后）

對(duì)比圖4 可知：優(yōu)化前，四桿機(jī)構(gòu)輸出最大沖擊力為17.9N；優(yōu)化后，四桿機(jī)構(gòu)輸出最大沖擊力為9.1N。對(duì)比圖5 可知：優(yōu)化前，四桿機(jī)構(gòu)輸出的最大速度233mm/s，波動(dòng)幅度較大；優(yōu)化后，四桿機(jī)構(gòu)連桿輸出的最大速度為208mm/s，波動(dòng)幅度較小。因此，采用混合算法優(yōu)化四桿機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)，能夠延長(zhǎng)其使用壽命，降低噪聲污染。

圖3 四桿機(jī)構(gòu)形狀（優(yōu)化前）

圖4 沖擊力仿真結(jié)果

圖5 運(yùn)動(dòng)速度仿真結(jié)果

5 結(jié)語

本文采用混合算法優(yōu)化四桿機(jī)構(gòu)目標(biāo)函數(shù)，并對(duì)優(yōu)化后的參數(shù)進(jìn)行仿真驗(yàn)證，主要結(jié)論如下：

1）優(yōu)化后的四桿機(jī)構(gòu)，其連桿質(zhì)量較大，在運(yùn)動(dòng)過程中，致使連桿輸出沖擊力較小，能夠延長(zhǎng)連桿的使用壽命。

2）優(yōu)化后的四桿機(jī)構(gòu)，其連桿的輸出速度變化較小，產(chǎn)生的波動(dòng)幅度較小，運(yùn)動(dòng)更加平穩(wěn)。

3）混合算法結(jié)合了遺傳算法和粒子群算法的各自優(yōu)點(diǎn)，能夠避免產(chǎn)生局部最優(yōu)解，優(yōu)化效果更佳。