Zygmund型空間上的加權(quán)微分復(fù)合算子

秦 春

（懷化學(xué)院初等教育部，湖南懷化 418008）

1 引言

設(shè)D為復(fù)平面C上的單位圓盤，H（D）表示D上的全純函數(shù)全體，S（D）表示D上的全純自映射全體.對任意的正實(shí)數(shù)α，定義

稱為Zygmund-型空間.易知Zygmund-型空間在范數(shù)

下為Banach空間.當(dāng)α=1時(shí)，Z1=Z稱為經(jīng)典的Zygmund空間.

令 φ∈S（D），u∈H（D），定義 H（D）上的加權(quán)微分復(fù)合算子為：

Cowen.C，Maccluer.B在文[1]中研究了解析函數(shù)空間上復(fù)合算子Cφ的相關(guān)內(nèi)容.葉善力在文[2]中研究了經(jīng)典的Zygmund空間上的微分復(fù)合算子DCφ的有界性.劉超、侯曉陽在文[3]中研究了經(jīng)典的Besov空間到經(jīng)典的Zygmund空間上的加權(quán)復(fù)合算子Cφ，u的有界性和緊性.陸恒與張?zhí)以谖腫4]中研究了α-Zygmund空間到β-Bloch空間上的加權(quán)復(fù)合算子Cφ，u的有界性和緊性.陳偉與許毅在文[5]中研究了經(jīng)典的Besov空間到Zygmund-型空間上的加權(quán)微分復(fù)合算子的有界性和緊性.劉永民和于燕燕在文[6]中研究了經(jīng)典的Hardy空間到Zygmund-型空間上的加權(quán)微分復(fù)合算子的有界性和緊性.更多不同空間上加權(quán)微分復(fù)合算子的相關(guān)結(jié)果見文[7-13].

2 主要結(jié)果

定理 1 令 0＜α，β＜∞，n∈N*，u∈H（D），φ∈S（D），則為有界算子的充分必要條件是

定理 2 令 0＜α，β＜∞，n∈N*，u∈H（D），φ∈S（D），則∶Zα→Zβ為緊算子的充分必要條件是為有界算子，并且

3 定理的證明

在證明之前，給出所需引理和相關(guān)推論.

引理 1[14]如果 f∈Bα，α＞0，那么

引理 2 如果 f∈Zα，那么 f′∈Bα.

推論 1 如果 f∈Zα，α＞0，那么

引理 3[15]設(shè) α＞1，β＞1，u，φ∈H（D），且如果

那么

定理2的論證：首先證明充分性.對Zα中任意有界序列｛fk｝，有fk在D的緊子集上一致收斂于0.由引理4可知，只23需證明‖Dnφ，ufk‖β→0，k→∞.下面不妨設(shè)‖fk‖α＜1.

由（4）式、（5）式及（6）式可知，?ε＞0，?δ∈（0，1），s.t.，當(dāng) 0＜|φ（z）|＜1 時(shí)，有：

從而｛fk（z ｝）在D的緊子集上一致收斂于0.結(jié)合引理2與（17）式，得到：

故

從而（4）式得證.對（5）式和（6）式，分別?。?2）式和（13）式定義檢測函數(shù)，采用同樣的方法，可知結(jié)論成立.