一類雙參數(shù)Rayleigh方程的攝動增量解法

陳 章,汪海玲,李祖雄

(1.湖北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北 恩施 445000;2.廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣西 桂林 541004;3.重慶三峽學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶 萬州 404199)

攝動增量法作為一種研究非線性振動的方法,將攝動法和增量法巧妙地結(jié)合起來,通過攝動法得到的初值,經(jīng)過增量法迭代后,徹底突破了攝動法必須假設(shè)某些參數(shù)必須為小參數(shù)的局限.這個方法在1996年Chan提出來之后[1],許多專家學(xué)者對其進(jìn)行了研究,應(yīng)用到了各個領(lǐng)域,也得到了許多成果.如運(yùn)用在振動系統(tǒng)中的半穩(wěn)定極限環(huán)[2-4]和同宿異宿軌線[5-8]中,并討論了其分岔值的計(jì)算問題.經(jīng)過長時間的研究,最終實(shí)現(xiàn)了攝動增量法運(yùn)用的一般化,如平面微分方程極限環(huán)的計(jì)算[9-10]乃至一般動力系統(tǒng)的極限環(huán)計(jì)算[11-12]問題,攝動增量法都可以有效的解決.同時,這些成果也證明了攝動增量法的實(shí)用性,提高了攝動增量法的使用深度和廣度.

而Rayleigh方程是一類在自動化、通信工程、非線性動力系統(tǒng)等等領(lǐng)域中較為常見的非線性方程,近些年也有許多好的研究成果.張永新[13]用Brouwer不動點(diǎn)定理研究了一類Rayleigh方程解的有界性和周期性,康璽[14]對一類Rayleigh方程的hopf分岔進(jìn)行研究,這些研究主要是針對Rayleigh方程的極限環(huán)的一些性質(zhì)進(jìn)行討論，未在定量的角度對Rayleigh方程進(jìn)行研究.而在一些工程實(shí)際應(yīng)用上,人們更希望能得到解析表達(dá)式,黃迪雙等[15]利用攝動理論和方法研究了一類Rayleigh方程的奇攝動問題,黃鈺淳等[16]用多重尺度法研究了一類Rayleigh方程的奇異攝動初值問題并得到了方程的一階漸進(jìn)解,但攝動法和多重尺度法的參數(shù)必須為小參數(shù),使用起來具有一定的限制.而運(yùn)用攝動增量法來研究這類方程恰好可以解決這個問題.

1 攝動增量法

1.1 前期準(zhǔn)備

Rayleigh方程為:

(1)

(2)

因?yàn)間(-x)=-g(x),f(-x)=f(x),所以系統(tǒng)(1)關(guān)于原點(diǎn)對稱.

因此,引入時間變量:

(3)

極限環(huán)表達(dá)式可以寫為:

(4)

(5)

當(dāng)φ=π和φ=2π時,分別有：

(6)

(7)

1.2 攝動法

設(shè)當(dāng)λ≈0時,方程(5)、(6)、(7)的解為:

a=a0+Ο(λ),μ=μ0+Ο(λ), Φ(φ)=Φ0(φ)+Ο(λ).

根據(jù)方程(5)、(6)、(7),解得:

1.3 參數(shù)增量法

當(dāng)λ=λ0+Δλ時,方程(5)、(6)、(7)有解為:

a=a0+Δa,μ=μ0+Δμ, Φ(φ)=Φ0(φ)+ΔΦ(φ),

(8)

將式(8)帶入方程(5)、(6)、(7),再進(jìn)行泰勒展開,略去高階項(xiàng),得到增量方程:

(9)

(10)

(11)

因?yàn)棣?(φ)是周期函數(shù),所以可以展開成傅里葉級數(shù)形式:

(12)

通過調(diào)整M值的大小,來控制精度.同樣,ΔΦ(φ)也可有傅里葉級數(shù)形式:

(13)

將方程(9)、(10)、(11)中的周期函數(shù)全部進(jìn)行傅里葉級數(shù)展開,將式(12)和式(13)帶入其中,可以得到一組以Δa、Δμ、ΔP2j、ΔQ2j為未知數(shù)的線性方程組:

(14)

其中n=0,1,2,…,2M+1.將得到的Δa、Δμ、ΔP2j、ΔQ2j帶入得到一組新的數(shù)值,將這新的數(shù)值作為初始值再進(jìn)行上述迭代,直至得到想要的結(jié)果.

表1 不同的λ對應(yīng)的μ的值(算例1)Tab.1 Values of λ corresponding to different μ for example 1

2 數(shù)值模擬

2.1 算例1

現(xiàn)取Δλ=0.01,M=2,通過方程組(14),經(jīng)過10次增量迭代后,得到的極限環(huán)解析近似解為:

由攝動增量法第一步,可以得到初始解.圖1為λ=0時,用攝動增量法與數(shù)值積分法畫出的對比圖.圖2為迭代10次后,攝動增量法與數(shù)值積分法的對比圖,表1表示在對λ進(jìn)行增量時,μ的值也相應(yīng)變化.可以看出,攝動增量法得到的相圖與數(shù)值積分法得到的相圖基本重合.

圖1 λ=0時極限環(huán)相圖(算例1)圖2 λ=0.1時極限環(huán)相圖 Fig.1 The phase diagram of the limit cycle when λ=0 for example 1 Fig.2 The phase diagram of the limit cycle whe λ=0.1

2.2 算例2

現(xiàn)取Δλ=0.02,M=2,通過方程組(14),經(jīng)過10次增量迭代后,得到的極限環(huán)解析近似解為:

0.054 84cos4φ+0.067 17sin2φ-0.009 23sin4φ)sinφ

圖3為λ=0時,攝動增量法與數(shù)值積分法得到的結(jié)果對比圖.圖4為迭代10次后,攝動增量法與數(shù)值積分法的對比圖,表2表示在對λ進(jìn)行增量時,μ的值也相應(yīng)變化.從以上兩個例子可以看出,攝動增量法得到的相圖與數(shù)值積分法得到的相圖基本重合,但增量的取值大小還是會對結(jié)果產(chǎn)生影響.

表2 不同的λ對應(yīng)的μ的值(算例2)Tab.2 Values of λ corresponding to different μ for example 2

圖3 λ=0時極限環(huán)相圖(算例2)圖4 λ=0.2時極限環(huán)相圖 Fig.3 The phase diagram of the limit cycle when λ=0 for example 2 Fig.4 The phase diagram of the limit cycle when λ=0.2

3 結(jié)語

在考慮雙參數(shù)的情況下,運(yùn)用攝動增量法研究了一類Rayleigh方程的極限環(huán).通過攝動法得到方程的初始解,再經(jīng)過迭代,得到了極限環(huán)的解析近似表達(dá)式.最后利用Matlab等數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行數(shù)值模擬,得到較吻合的結(jié)果.此結(jié)果表明在研究此類方程的極限環(huán)時,攝動增量法是一種行之有效的方法.