錯(cuò)中尋因 變廢為寶

文 周連官

在“數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度”這一章，我們學(xué)習(xí)了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差的概念，利用好它們可以幫助我們更加有效地認(rèn)識(shí)、利用數(shù)據(jù)。但在實(shí)際應(yīng)用中，同學(xué)們會(huì)產(chǎn)生各種錯(cuò)誤。對(duì)待這些錯(cuò)誤，我們要分析原因，有效糾正，變廢為寶，提升能力。

易錯(cuò)點(diǎn)1：基本概念掌握不到位

例1小紅連續(xù)5天的體溫?cái)?shù)據(jù)如下（單位：℃）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3。關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（ ）。

A.中位數(shù)是36.5℃

B.眾數(shù)是36.2℃

C.平均數(shù)是36.4℃

D.極差是0.3℃

【錯(cuò)解】A、C、D。

【錯(cuò)解原因】錯(cuò)選A是對(duì)中位數(shù)的概念理解不到位，沒有把數(shù)據(jù)按要求重新排列，誤認(rèn)為最中間的數(shù)就是中位數(shù)；錯(cuò)選C 是計(jì)算出錯(cuò)，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)=36.36；錯(cuò)選D 是對(duì)極差的概念理解不到位，誤認(rèn)為是第1個(gè)數(shù)據(jù)減去最后一個(gè)數(shù)據(jù)。

【分析】把這組數(shù)據(jù)按由小到大的順序排列：36.2，36.2，36.3，36.5，36.6，它的中位數(shù)是36.3。由于眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，由此可看出這組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)是36.2。極差是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差（極差=最大值-最小值）。根據(jù)極差的意義，這組數(shù)據(jù)中的極差=36.6-36.2=0.4。因此本題選B。

【點(diǎn)評(píng)】解決此類問題的關(guān)鍵在于正確理解知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中，經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，明白其前世、今生及未來，切實(shí)掌握每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的來龍去脈，才能確保靈活運(yùn)用零失誤。

易錯(cuò)點(diǎn)2：審題走馬觀花

例2 甲、乙、丙、丁4支儀仗隊(duì)隊(duì)員身高的平均數(shù)及方差如下表所示：

方差0.9 1.6 1.1 0.6甲乙丙丁平均數(shù)（cm）177 178 178 179

身高更為整齊的儀仗隊(duì)是（ ）。

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

【錯(cuò)解】C。

【錯(cuò)解原因】錯(cuò)解的想法是：由于甲、乙、丙、丁4 支儀仗隊(duì)隊(duì)員身高的平均數(shù)是178，而乙、丙2 支儀仗隊(duì)隊(duì)員身高的平均數(shù)正好是178，所以在乙、丙2支儀仗隊(duì)中比較方差，方差小，身高更整齊。由于丙儀仗隊(duì)的方差小于乙儀仗隊(duì)的方差，所以丙儀仗隊(duì)的身高更整齊。

【分析】錯(cuò)解的根源在于讀題不夠細(xì)心，細(xì)讀后我們能發(fā)現(xiàn)：題目的問題是哪支儀仗隊(duì)的身高更為整齊。平均數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢；方差描述一組數(shù)據(jù)的離散程度，用來衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小。根據(jù)題目的問題，關(guān)注的重點(diǎn)應(yīng)該是方差，方差越小，儀仗隊(duì)的身高越整齊。4 支儀仗隊(duì)中，丁儀仗隊(duì)的方差最小，所以丁儀仗隊(duì)身高更整齊。

【點(diǎn)評(píng)】解題首先得審題。本題考查的是一組數(shù)據(jù)的離散程度，而不是數(shù)據(jù)的集中趨勢，我們不能憑自己的解題經(jīng)驗(yàn)匆忙作答，否則會(huì)忙中出錯(cuò)，快卻不準(zhǔn)。

易錯(cuò)點(diǎn)3：忽視實(shí)際問題的背景

例3 某校為選拔一名百米賽跑運(yùn)動(dòng)員參加市中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)并沖擊冠軍，積極組織訓(xùn)練和6 次預(yù)選賽，其中甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員較為突出，他們在6 次預(yù)選賽中的成績（單位：s）記錄如下表所示：

12.3________________________12.1_________________________12.1 12.0_________________________11.8_________________________11.7__預(yù)選賽第一次_____第二次_____第三次______第四次_____第五次______第六次_____甲________乙____12.0 12.0______________12.2______________11.8 12.1______________11.9______________

學(xué)校決定依據(jù)他們的成績進(jìn)行選拔，那么被選中的運(yùn)動(dòng)員是_______。

【錯(cuò)解】甲。

【錯(cuò)解原因】錯(cuò)解是這樣想的：

【分析】在平均成績相同的情況下，把方差小作為評(píng)判成績好的標(biāo)準(zhǔn)，看似無懈可擊，其實(shí)是對(duì)方差概念的誤解。方差是反映一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小、偏離平均數(shù)趨勢的一個(gè)特征數(shù)，至于波動(dòng)大好還是波動(dòng)小好，還要看這組數(shù)據(jù)所反映的實(shí)際問題，如預(yù)測未來幾年我國的經(jīng)濟(jì)形勢，是希望波動(dòng)小、每年基本持平，還是希望每年保持較高的增長率，答案是顯而易見的。本題是選拔優(yōu)秀運(yùn)動(dòng)員參加比賽，希望能獲獎(jiǎng)，因此平均數(shù)、方差都要參考，但更重要的還是看他的發(fā)展?jié)摿?、比賽時(shí)的競技狀態(tài)。我們從6 次預(yù)選賽中的成績記錄看，甲的成績在12 秒上下波動(dòng)，基本上穩(wěn)定；但乙的成績卻在穩(wěn)步提升，一次比一次好，極具發(fā)展?jié)摿?，而且最好的成績也超過甲的最好成績，因此應(yīng)該選拔乙運(yùn)動(dòng)員去參賽。

【點(diǎn)評(píng)】解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，特別是遇到實(shí)際問題時(shí)要考慮實(shí)際問題的意義。