左右手材料光子晶體能帶結(jié)構(gòu)及表面波色散關(guān)系

周 波,蒙成舉,許江勇,蘇 安,高英俊

(1.興義民族師范學(xué)院物理與工程技術(shù)學(xué)院,貴州 興義 562400；2.河池學(xué)院物理與機(jī)電工程學(xué)院,廣西 宜州 546300；3.廣西大學(xué)物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院,廣西 南寧 530004)

1 引 言

光子晶體作為一種人工微結(jié)構(gòu)光學(xué)材料,由不同介電常數(shù)的介質(zhì)薄膜周期性排列形成,當(dāng)光在其中傳播時(shí),由于布拉格散射的作用,光傳輸譜出現(xiàn)通帶和帶隙交替排列的能帶結(jié)構(gòu)。這種奇特的光學(xué)特性,使人為控制和利用光行為進(jìn)行信息傳輸成為可能,因此,光子晶體從概念誕生之日起就一直成為學(xué)者們研究的熱點(diǎn)[1-14]。常見的光子晶體一般由正折射率材料構(gòu)成,其帶隙結(jié)構(gòu)普遍受到模型結(jié)構(gòu)、排列周期數(shù)、入射光的偏振等因素的影響,尤其是制備過程中介質(zhì)薄膜物理尺寸誤差等因素容易影響光子晶體的光學(xué)傳輸特性,這將使光子晶體實(shí)際設(shè)計(jì)尤其是制備增加了一定的難度。不同于常見的正折射率材料,負(fù)折射率材料分為雙負(fù)材料和單負(fù)材料,它們的介電常數(shù)ε和磁導(dǎo)率μ分別為ε<0、μ<0,ε<0、μ>0或ε>0、μ<0,而且其電場(chǎng)、磁場(chǎng)和波矢量之間滿足左手螺旋關(guān)系,故也稱為左手材料,而正折射率材料的ε>0、μ>0,電場(chǎng)、磁場(chǎng)和波矢量之間則服從右手螺旋關(guān)系,故稱為右手材料或雙正材料。通常情況下電磁波很難在單負(fù)材料中傳播,但當(dāng)左右手材料合理的組合時(shí),即可支持電磁波傳播并且呈現(xiàn)奇異的傳輸特性。當(dāng)光在左右手材料光子晶體中傳播時(shí),常常出現(xiàn)不同于布拉格帶隙結(jié)構(gòu)的等效零相位帶隙結(jié)構(gòu),這是由于左手材料中的正向波與反向波在某個(gè)頻率范圍內(nèi)出現(xiàn)繞行傳播現(xiàn)象并發(fā)生相互作用,使該頻率范圍內(nèi)的電磁模式為偽傳播模,即該頻率范圍禁止電磁波的傳播,相當(dāng)于禁帶。零相位帶隙幾乎不受入射光的偏振態(tài)、入射角、介質(zhì)薄膜厚度誤差等因素的影響,是全方位的帶隙結(jié)構(gòu)[2-3,10-13]。因此,本文在構(gòu)造左右手材料半無限一維光子晶體的基礎(chǔ)上,通過直接匹配零平均折射率,研究光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)、色散關(guān)系及表面覆蓋介質(zhì)層厚度對(duì)帶隙和色散曲線的影響規(guī)律等,光子晶體的理論研究、光波導(dǎo)設(shè)計(jì)等提供參考。

2 研究模型與計(jì)算方法

2.1 結(jié)構(gòu)模型

研究模型如圖1所示,半無限一維光子晶體結(jié)構(gòu)由左手材料L和右手材料R沿Z軸方向周期排列而成。其中標(biāo)記L的薄膜介質(zhì)層為左手材料,其物理厚度為dL,介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別為εL與μL,標(biāo)記R的薄膜介質(zhì)層為右手材料,介質(zhì)參數(shù)分別為dR、εR、μR,標(biāo)記C的薄膜介質(zhì)層為光子晶體表面L介質(zhì)覆蓋薄層,其厚度為dC,模型最左側(cè)的A區(qū)域是入射介質(zhì),為無限大的空氣環(huán)境,其介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別為ε0與μ0。

圖1 光子晶體結(jié)構(gòu)模型

2.2 計(jì)算方法

(1)

(2)

進(jìn)一步地將半無限結(jié)構(gòu)光子晶體與其表面被替代的均勻介質(zhì)聯(lián)合起來考慮,并利用布洛赫定理進(jìn)行數(shù)學(xué)處理,可得:

=0

(3)

tanh(qΓ)

=0

(4)

式(3)是光子晶體表面模隨頻率υs變化的函數(shù),也是表面替代層與外界界面之間的表面波色散方程,由εl,μl,dl求出υs并代入式(4)可得qs值,qs有正負(fù)值,但qs的大小與對(duì)應(yīng)表面模具有正相關(guān)系,qs<0時(shí)υs對(duì)應(yīng)的是虛解,為偽模。于是,從理論上可得半無限一維光子晶體表面模的性質(zhì)。進(jìn)一步地結(jié)合磁場(chǎng)與電場(chǎng)的關(guān)系、電磁場(chǎng)的邊界條件等,可得:

(5)

結(jié)合式(2)、(3)可得:

(6)

式中,正、負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)m為偶數(shù)與奇數(shù)情況。于是光子晶體帶隙中的通帶區(qū)域和禁帶區(qū)域即可通過式(6)來判斷,當(dāng)eiKBa<1時(shí)代表通帶區(qū)域,表示電磁波可以傳播通過光子晶體,當(dāng)eiKBa>1時(shí)代表禁帶區(qū)域,則電磁波被禁止傳播。

3 計(jì)算結(jié)果與分析

3.1 平均折射率n=0時(shí)光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)

首先考慮光子晶體最左側(cè)L介質(zhì)表面不含覆蓋介質(zhì)C層的情況,在圖1左右手材料光子晶體結(jié)構(gòu)模型中,為滿足零平均折射率條件n=(2nLdL+nRdR)/Γ=0,負(fù)折射率左手材料L和正折射率右手材料R的參數(shù)匹配取值為εL=-2.52、nL=-1.588、εR=5.664、nR=2.380(ZnS)、μL=-1、μR=1,而且結(jié)構(gòu)中左手材料L和右手材料R介質(zhì)厚度匹配比例為dL∶dR=3∶4,當(dāng)結(jié)構(gòu)模型的最右端為L(zhǎng)材料,光晶體系統(tǒng)的晶胞數(shù)取值N=m=7時(shí),計(jì)算模擬可得光子晶體的能帶結(jié)構(gòu),結(jié)果如圖2所示。

圖2的橫坐標(biāo)βΓ是波矢的水平分量(表面波數(shù)),縱坐標(biāo)ωΓ/c是頻率,圖中清晰呈現(xiàn)了左右手材料光子晶體在零平均折射率n=0時(shí)的能帶結(jié)構(gòu):其中灰色區(qū)域代表通帶,在這段頻率范圍內(nèi)電磁波可以傳播；白色區(qū)域代表禁帶,在此頻率范圍內(nèi)電磁波被禁帶傳播,即光子禁帶；雙劃線代表空氣中傳播的光線,雙劃線上方灰色通帶中的各傳播態(tài)也稱為導(dǎo)模,雙劃線下方白色區(qū)域的各局域態(tài)稱為局域模；灰色通帶中的各條黑色曲線是光子晶體的導(dǎo)模,也就是可傳導(dǎo)的Bloch態(tài)色散曲線,通常稱為能級(jí)曲線。從圖中還看到,能級(jí)曲線共有7條,條數(shù)剛好和光子晶體的晶胞個(gè)數(shù)N=7對(duì)應(yīng),即通帶中的能級(jí)曲線數(shù)目等于光子晶體的晶胞數(shù)目。同時(shí),沿著ωΓ/c頻率軸反向,由高頻向低頻方向各通帶中的能級(jí)曲線之間間隔越來越窄,即通帶中的能級(jí)曲線隨頻率降低分布越來越密集,呈現(xiàn)振蕩衰減且簡(jiǎn)并趨勢(shì),最終在低頻區(qū)域形成一個(gè)多重簡(jiǎn)并態(tài)。另外,沿著橫軸正反兩方向,隨著波矢|βΓ|增大,光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)逐漸消逝,禁帶和能級(jí)曲線最終逐一簡(jiǎn)并為一條折線,如圖2中的黑色實(shí)線所示。

圖2 光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)

對(duì)比普通材料光子晶體能帶結(jié)構(gòu),圖2中尤其值得注意的是,無論TE偏振態(tài)還是TM偏振態(tài),左右手材料光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)中均出現(xiàn)了半封閉狀和封閉狀的禁帶結(jié)構(gòu),圖2中標(biāo)號(hào)為I、II、III、IV、V和1、2、3的區(qū)域分別代表半封閉狀禁帶和封閉狀禁帶,這也正是布拉格帶隙結(jié)構(gòu)不同于正折射率材料光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)的顯著特征之一。

3.2 平均折射率n=0時(shí)表面波的色散關(guān)系

若光子晶體最左側(cè)的L介質(zhì)表面添加覆蓋介質(zhì)層C,則可以推測(cè),C覆蓋介質(zhì)層尤其他的厚度出現(xiàn)微小變化時(shí),將會(huì)改變光子晶體原有的入射環(huán)境,即參數(shù)匹配產(chǎn)生變化,進(jìn)而影響通帶、禁帶和能級(jí)結(jié)構(gòu)等?；诖?在光子晶體最左側(cè)L介質(zhì)與空氣的交界面添加一層很薄的覆蓋層材料C,C層材料的參數(shù)為nC=1.379(MgF2),εC=1.9004、μC=1、dC=0.02Γ,則可繪制出光子晶體的表面波的色散關(guān)系,結(jié)果如圖3所示。

圖3 光子晶體表面波的色散關(guān)系

從圖3中可見,當(dāng)光子晶體的L介質(zhì)表面添加覆蓋層材料C后,光子晶體禁帶中不同程度的出現(xiàn)了色散曲線,即通帶的高頻區(qū)與禁帶的低頻區(qū)交界處產(chǎn)生簡(jiǎn)并能級(jí)的分裂,從通帶的上邊緣分離出能級(jí)進(jìn)入光子晶體禁帶中,形成比較明顯的非簡(jiǎn)并態(tài)分立能級(jí)結(jié)構(gòu)。其中II、IV號(hào)半封閉狀禁帶與1號(hào)封閉狀禁帶中簡(jiǎn)并能級(jí)分裂比較明顯,出現(xiàn)的這些分立能級(jí)進(jìn)入禁帶中將被強(qiáng)局域在其中形成局域表面模。而且在禁帶中出現(xiàn)的這些表面波的色散曲線的斜率有正也有負(fù),斜率為正的代表正向表面波的色散區(qū)域,斜率為負(fù)的則代表反向表面波的色散區(qū)域。因此,添加表面覆蓋介質(zhì)層C后的左右手材料光子晶體既可以支持正向表面波傳播也支持反向表面波的傳播。從圖3還可以看到,2號(hào)封閉狀禁帶與I、III、V號(hào)半封閉狀禁帶中簡(jiǎn)并能級(jí)分裂程度很弱,只隱約的在通帶的上邊緣出現(xiàn)但未形成分立的色散曲線,同時(shí)對(duì)多重簡(jiǎn)并也幾乎不產(chǎn)生影響?？梢?如果能夠合理控制光子晶體表面覆蓋層介質(zhì)的結(jié)構(gòu)參數(shù)(如厚度),即獲得不同頻率范圍的光子晶體表面模。

3.3 覆蓋層厚度dC對(duì)表面波色散關(guān)系的影響

表面添加覆蓋介質(zhì)C后,左右手材料光子晶體的禁帶中會(huì)出現(xiàn)分立的能級(jí)(色散曲線)而且形成表面模,那么覆蓋介質(zhì)C層的厚度dC改變對(duì)能帶結(jié)構(gòu)特別是分立能級(jí)會(huì)產(chǎn)生怎樣的影響呢。固定其他參數(shù)不變,覆蓋層介質(zhì)層C的厚度分別取值dC=0.01Γ、0.02Γ、0.03Γ、0.04Γ,以TE偏振態(tài)為例,可繪制出不同覆蓋層厚度dC時(shí)的光子晶體表面波的色散關(guān)系,結(jié)果如圖4所示。

圖4 覆蓋層厚度dC對(duì)表面波色散關(guān)系的影響

在圖4中,不同的覆蓋層厚度dC對(duì)應(yīng)的色散曲線以不同的線型表示,dC=0.01Γ、0.02Γ、0.03Γ、0.04Γ對(duì)應(yīng)的色散曲線分別以實(shí)線、虛線、點(diǎn)劃線和雙劃線表示。從圖中很明顯可見,隨著光子晶體表面覆蓋介質(zhì)層厚度dC的增加,無論是半封閉狀禁帶還是封閉狀禁帶,其中出現(xiàn)的色散曲線均向波矢減小的方向移動(dòng),即色散曲線遠(yuǎn)離能帶高頻區(qū)域向禁帶的中間移動(dòng)。例如,對(duì)于II號(hào)半封閉狀禁帶,過縱坐標(biāo)值ωΓ/c=8的水平線,與dC=0.01Γ、0.02Γ、0.03Γ、0.04Γ對(duì)應(yīng)色散曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)值分為βΓA=3.916,βΓB=3.312,βΓC=2.591,βΓD=1.690；對(duì)于1號(hào)封閉狀禁帶,過縱坐標(biāo)值ωΓ/c=14的水平線,與dC=0.01Γ、0.02Γ、0.03Γ、0.04Γ對(duì)應(yīng)各色散曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)值分為βΓa=9.516,βΓb=9.043,βΓc=8.676,βΓd=8.389,即色散曲線均隨dC增大向波矢減小的方向移動(dòng)。此外,對(duì)IV號(hào)半封閉狀禁帶,當(dāng)dC=0.02Γ時(shí),色散曲線由一條分裂成兩條,如禁帶中的虛線所示。但是,對(duì)比圖4、圖3和圖2還看到,表面覆蓋介質(zhì)C層厚度dC的變化,幾乎對(duì)多重簡(jiǎn)并態(tài)不產(chǎn)生任何影響,如圖中的折線所示。

可見,通過合理調(diào)節(jié)光子晶體表面覆蓋層介質(zhì)的厚度,可以對(duì)禁帶中局域表面模所處的頻率位置進(jìn)行調(diào)制,在半封閉狀禁帶中甚至還可以調(diào)節(jié)表面模的數(shù)目,而且這種調(diào)制對(duì)多重簡(jiǎn)并態(tài)不產(chǎn)生影響。左右手材料光子晶體的這種特性及調(diào)制規(guī)律,對(duì)光子晶體設(shè)計(jì)光波導(dǎo)器件或傳感器等具有一定的指導(dǎo)意義。

4 結(jié) 論

通過參數(shù)直接匹配方式,研究表面添加覆蓋介質(zhì)層的左右手材料光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)、表面波色散關(guān)系及其對(duì)表面覆蓋介質(zhì)層厚度的響應(yīng)規(guī)律等,得出如下結(jié)論:

(1)不同于正折射率材料光子晶體的能帶結(jié)構(gòu),滿足零平均折射率的左右手材料光子晶體能帶中出現(xiàn)封閉狀禁帶、半封閉狀禁帶和通帶結(jié)構(gòu),沿著頻率遞減方向通帶中的分立能級(jí)產(chǎn)生振蕩衰減和多重簡(jiǎn)并現(xiàn)象。沿著波矢|βΓ|增大方向,光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)逐漸消逝,禁帶和能帶連同能級(jí)曲線最終簡(jiǎn)并為一條折線。

(2)表面添加覆蓋介質(zhì)層后,左右手材料光子晶體支持正向表面波和反向波的傳播:部分封閉狀或半封閉狀禁帶的低頻區(qū)與通帶的高頻區(qū)交界處產(chǎn)生簡(jiǎn)并能級(jí)的分裂,形成分立且斜率有正有負(fù)的色散曲線,但表面添加覆蓋層介質(zhì)對(duì)能級(jí)的多重簡(jiǎn)并、能級(jí)與禁帶的簡(jiǎn)并態(tài)不產(chǎn)生影響。

(3)隨著表面覆蓋介質(zhì)層厚度增加,封閉狀或半封閉狀禁帶中分立色散曲線向波矢減小方向移動(dòng),即分立色散曲線遠(yuǎn)離能帶高頻區(qū)域向禁帶的中間移動(dòng)并被強(qiáng)局域而形成局域表面模；處于高頻區(qū)域的半封閉狀禁帶中的色散曲線在覆蓋層介質(zhì)厚度達(dá)到一定數(shù)值時(shí)出現(xiàn)耦合分裂現(xiàn)象,形成更多的分立能級(jí)；但覆蓋層介質(zhì)厚度變化對(duì)能級(jí)的多重簡(jiǎn)并態(tài)和通帶與禁帶的簡(jiǎn)并態(tài)不產(chǎn)生影響。

零平均折射率與表面含覆蓋層介質(zhì)條件下,左右手材料光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及色散特性,可從理論上對(duì)新型光學(xué)波導(dǎo)器件的研究和設(shè)計(jì)提供參考。