復(fù)數(shù)解題常見錯誤分析

■江蘇省錫東高級中學(xué) 華 濱

復(fù)數(shù)是數(shù)系在中學(xué)階段的最后一次擴(kuò)充，在高考中常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，考查難度相對比較基礎(chǔ)，但是也會因?yàn)榛靖拍畈磺逦?、基本運(yùn)算不扎實(shí)、幾何意義不明確等多種原因出現(xiàn)一些所謂的低級錯誤。本文就此對復(fù)數(shù)中的典型錯誤進(jìn)行了梳理剖析，希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)能有所幫助。

一、概念不清而導(dǎo)致錯誤

例 1（2020年深圳一模）已知復(fù)數(shù)z=i2019+i2020（i為虛數(shù)單位），則z的共軛復(fù)數(shù)=（ ）。

A.-1+i B.1-i

C.1+i D.-1-i

錯解：選A。

剖析：本題錯誤的原因主要是對于共軛復(fù)數(shù)的概念不清楚。一般地，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)，即復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）的共軛復(fù)數(shù)為z=a-bi（a，b∈R）。

正解：因?yàn)閦=i2019+i2020=（i2）1009·i+（i2）1010=-i+1，所以z的共軛復(fù)數(shù)為1+i。故選C。

例 2（2020年全國名校高三模擬）若復(fù)數(shù)z滿足i（z+2）=-2+3i（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（ ）。

A.i B.2i C.1 D.2

錯解：選B。

剖析：本題錯誤的原因主要是對于實(shí)部、虛部的概念不清楚，虛部究竟帶不帶i，是很容易出錯的地方。復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R），其中a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部。

正解：因?yàn)閕·z+2i=-2+3i，所以z=故選D。

例 3（人教A版課本選修1-2習(xí)題改編）若復(fù)數(shù)z=（m2-5m+6）+（m2-3m）i是純虛數(shù)，i是虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)m=（ ）。

A.2或3 B.3

C.2 D.0

錯解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z=（m2-5m+6）+（m2-3m）i是純虛數(shù)，所以m2-5m+6=0，解得m=2或m=3。故選A。

剖析：本題錯誤的原因主要是對于純虛數(shù)的概念不清楚。復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）為純虛數(shù)的充要條件是二者缺一不可。

正解：結(jié)合題意可得解得m=2。故選C。

例 4（2020年陜西高三二模理）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-1+i|=1，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為P（x，y），則點(diǎn)P的軌跡方程為（ ）。

A.（x+1）2+y2=1

B.（x-1）2+y2=1

C.x2+（y-1）2=1

D.（x-1）2+（y+1）2=1

錯解：選A。

剖析：本題考查復(fù)數(shù)模長的公式，可以設(shè)z=x+yi（x，y∈R），再轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)模的公式進(jìn)行解題。當(dāng)然也可以看成兩個復(fù)數(shù)差的模的幾何意義，即|z1-z2|的幾何意義是復(fù)數(shù)z1和z2對應(yīng)兩點(diǎn)間的距離。所以本題可以把原式改成兩個復(fù)數(shù)差的模，再根據(jù)幾何意義進(jìn)行解題。

正解1：設(shè)z=x+yi（x，y∈R），因?yàn)閨z-1+i|=|（x+yi）-1+i|=|（x-1）+（y+1）i|=1，根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式解得（x-1）2+（y+1）2=1。故選D。

正解2：設(shè)z=x+yi（x，y∈R），因?yàn)閨z-1+i|=|z-（1-i）|=1，所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（1，-1）之間的距離為1，其軌跡是以（1，-1）為圓心，1為半徑的圓，即（x-1）2+（y+1）2=1。故選D。

總結(jié)：在高考中復(fù)數(shù)作為一個必考的知識點(diǎn)，考查的要求并不高，也比較容易，一般考查都以基礎(chǔ)題、送分題為主。在復(fù)習(xí)過程中往往一帶而過，如果思想上不重視，這對于一些基礎(chǔ)知識掌握不牢的同學(xué)來說往往會出現(xiàn)不必要的錯誤。所以在解決復(fù)數(shù)概念相關(guān)問題時(shí)應(yīng)重視方法：（1）解題時(shí)先把一個復(fù)數(shù)化簡為z=a+bi（a，b∈R）的形式，確定實(shí)部與虛部；（2）復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點(diǎn)的位置都可以轉(zhuǎn)化為實(shí)部與虛部滿足的方程（不等式）組。

二、忽視運(yùn)算法則而導(dǎo)致錯誤

例 5（2020年宜賓高三第二次診斷）設(shè)i是虛數(shù)單位，則（2+3i）（3-2i）=（ ）。

A.12+5i B.6-6i

C.5i D.13

錯解：（2+3i）（3-2i）=6-4i+9i-6i2=5i。故選C。

剖析：本題產(chǎn)生錯誤的主要原因是把i2算成了1，導(dǎo)致最后結(jié)果的錯誤。在復(fù)數(shù)中，我們規(guī)定i2=-1。

正解：（2+3i）（3-2i）=6-4i+9i-6i2=12+5i。故選A。

例 6已 知z= （1+i）（2-i），則|z|2=（ ）。

A.8+6i B.3-2i C.5 D.10

錯解：因?yàn)閦=（1+i）（2-i）=3+i，所以|z|2=z2=（3+i）2=8+6i。故選 A。

剖析：本題錯誤的原因是復(fù)數(shù)的模與向量的模（或與實(shí)數(shù)的絕對值）相混淆，導(dǎo)致運(yùn)算出問題。復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）的模為不一定成立，當(dāng)復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)時(shí)等式成立；當(dāng)復(fù)數(shù)z為虛數(shù)時(shí)等式不成立。

正解：因?yàn)閦=（1+i）（2-i）=3+i，所以|z|2=32+（-1）2=10。故選D。

總結(jié)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算也是高考考查的重點(diǎn)，在運(yùn)算過程中要細(xì)心，注意解題方法，一般有兩種處理方法：（1）如果是分式形式，我們可以通過分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)進(jìn)行分母實(shí)數(shù)化，化簡為z=a+bi（a，b∈R）的形式；（2）可以設(shè)z=a+bi（a，b∈R），利用復(fù)數(shù)相等的條件進(jìn)行處理。

三、忽略虛根成對出現(xiàn)的前提條件而導(dǎo)致錯誤

例 7（人教A版課本選修1-2習(xí)題改編）已知2i-3是關(guān)于x的方程2x2+px-i=0的一個根，求另一個根及p的值。

錯解：因?yàn)?i-3是方程2x2+px-i=0的一個根，所以另一個根為-2i-3，由韋達(dá)定理可得p=12。

剖析：若虛數(shù)a+bi（a，b∈R）是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個根，那么它的共軛虛數(shù)a-bi（a，b∈R）也是這個方程的根。注意這個結(jié)論中的前提是實(shí)系數(shù)一元二次方程，但本題中并不知道p的虛實(shí)，所以不能使用這個結(jié)論，但韋達(dá)定理仍然適用。所以本題的解答應(yīng)該將一個根代入，整理化簡，求出p，再利用韋達(dá)定理求出另外一個根。

正解：因?yàn)?i-3是方程2x2+px-i=0的一個根，所以將其代入原方程，則2（2i-3）2+p（2i-3）-i=0，化簡整理得p=設(shè)x0是方程的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可得。

總結(jié)：虛根成對出現(xiàn)的前提條件必須是實(shí)系數(shù)一元二次方程，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)就不一定適用了，這也是同學(xué)們理解上的一個難點(diǎn)，需要后期多多訓(xùn)練，理解方法，方能解決這個問題。

綜上所述，在復(fù)數(shù)的解題過程中出現(xiàn)錯誤的原因是多樣的，有的是同學(xué)們基礎(chǔ)知識不扎實(shí)，有的是運(yùn)算能力不過關(guān)，有的是受思維定式影響，有的是解題方法的選擇不當(dāng)?shù)?，這些因素的存在導(dǎo)致同學(xué)們在解題中面臨各種各樣的困難。因此，本文將一些常見錯誤進(jìn)行歸納和剖析，使同學(xué)們能夠避免類似錯誤的發(fā)生，提高解題正確率，培養(yǎng)同學(xué)們的解題思維能力。