一道高考圓錐曲線試題多解的深度探究與啟示

安中順 余 泉

(貴州省都勻一中,貴州 都勻 558000;2.黔南民族師范學(xué)院,貴州 都勻 558000)

圓錐曲線中直線過定點的問題是近些年高考?？嫉囊环N題型,基本都是以壓軸題出現(xiàn),人們常用“高考常青樹”來形容[1].對于這一題型學(xué)生很難拿到較高的分數(shù),本文以2020年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷理科第20題為例,詳細討論了本題直線過定點問題多種解法中的6種特別解法.

1 題目呈現(xiàn)與解答

(1)求E的方程;

(2)證明:直線CD過定點.

所以a2=9.

本題第(2)問中,高考參考答案解法破解難度大,需依托數(shù)學(xué)模型,強調(diào)對數(shù)學(xué)思想方法的考查,要求學(xué)生具有較高計算能力和細致、全面的思維品質(zhì).筆者從近些年的直線過定點考題中分析問題并從深度探究與教學(xué)的不同角度給出建議,用6種不同解法加以闡述.

提取公因式,該等式一定可化為

解法2設(shè)點P(6,t),直線CD的方程為x=my+n,由題意可知-3

由于直線PA的方程為tx-9y+3t=0,

直線PB的方程為tx-3y-3t=0,

過A,B,C,D四點的曲線系方程可設(shè)為

點評經(jīng)過兩曲線f1(x,y)=0和f2(x,y)=0交點的一系列曲線的方程為f1(x,y)+λf2(x,y)=0.如果f1(x,y)=0和f2(x,y)=0齊次,則f1(x,y)+λf2(x,y)=0表示過兩已知曲線交點的一系列同構(gòu)的曲線,如果f1(x,y)=0和f2(x,y)=0都是圓,則f1(x,y)+λf2(x,y)=0也是圓.綜合起來,可以理解為f1(x,y)=0和f2(x,y)=0相交形成了曲線系f1(x,y)+λf2(x,y)=0.

解法3(截距式)設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t),易知3kPA=3kAC=kPB=kBD.

即3x2y1-y2x1=3y2+9y1.

①

x2y1-3x1y2=-3y1-9y2.

②

由①+②,得4x2y1-4x1y2=6y1-6y2.

解法4 設(shè)點P(6,t),點C(3cosα,sinα),D(3cosβ,sinβ),則

設(shè)CD過定點為M(m,0),

由kMD=kCM,得

點評對于圓錐曲線中的雙斜率問題, 常規(guī)方法是聯(lián)立方程結(jié)合韋達定理求解;也可以通過齊次化處理,利用齊次式解決更加方便快捷,可簡化運算,降低運算難度.

齊次化方法一般適用于兩直線斜率之和(或積)為常數(shù)的題型,可以解決與斜率之和(或積)有關(guān)的定點、定值或軌跡等問題.使用齊次化方法時,需要注意兩個關(guān)鍵步驟:

步驟1:先平移坐標系, 將定點P(x0,y0)平移至原點O(0,0),平移公式x′=x-x0,y′=y-y0,其中(x′,y′)為新坐標,(x,y)為同一點舊坐標.

2 結(jié)束語

通過對圓錐曲線問題的深度探究,學(xué)生從“會通性通法”到“能變式解法”,再到“會創(chuàng)新解法”,有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力,在探究過程中讓學(xué)生的綜合素質(zhì)得到發(fā)展.總之,對學(xué)生解壓軸題能力提升的探究不是一朝一夕就能完成的,也不是僅通過幾個題目的多種解法就可以強化的,它需要學(xué)生領(lǐng)會圓錐曲線中直線過定點或定斜率問題呈現(xiàn)背景的多樣性.因此,學(xué)生要注重以必備知識和方法為起點,借助模型和師生合作探究挖掘更多的探究點,從圓錐曲線性質(zhì)多方面進行滲透,促進學(xué)生將直線過定點或定斜率的知識掌握得更牢固.