追溯概率起源　研究中考新題

崔恒劉

概率論是很有文化底蘊（實際背景很容易理解）的一門學科。早期的埃及人為了忘記饑餓，經(jīng)常聚集在一起玩一種叫作“獵犬與胡狼”的游戲，實際上就是今天的擲骰子游戲。相對面的數(shù)字之和是7的骰子大約產(chǎn)生于公元前1400年的埃及，骰子就是游戲中常用的隨機發(fā)生器，這類游戲也叫作機會性游戲。17世紀中葉，人們開始對機會性游戲的數(shù)學規(guī)律進行探討。它的發(fā)展與數(shù)學史上一些偉大的名字相聯(lián)系，如帕斯卡、費馬、惠更斯、詹姆斯、伯努利、棣莫弗、拉普拉斯等。

1654年，費馬與帕斯卡的通信中關(guān)于分賭注問題的討論被公認為是概率論誕生的標志。問題是這樣的：“兩個賭徒相約賭若干局，誰先贏s局就算贏了。當賭徒A贏a局（a

有意思的是，在近幾年的中考試題中，也出現(xiàn)了這類背景隱含著概率起源的考題。

如2018年連云港市第21題：湯姆斯杯世界男子羽毛球團體賽小組賽比賽規(guī)則：兩隊之間進行五局比賽，其中三局單打，兩局雙打，五局比賽必須全部打完，贏得三局及以上的隊獲勝。假如甲、乙兩隊每局獲勝的機會相同。

（1）若前四局雙方戰(zhàn)成2：2，那么甲隊最終獲勝的概率是____：

（2）現(xiàn)甲隊在前兩局比賽中已取得2：0的領(lǐng)先，那么甲隊最終獲勝的概率是多少？

【分析與解】（1）兩隊之間進行五局比賽，前四局雙方戰(zhàn)成2：2，說明已經(jīng)比完四局，還剩下一局定勝負，而甲、乙兩隊旗鼓相當，每局獲勝的機會相同，根據(jù)概率的意義，甲隊最終獲勝的概率是1/2;

（2）第（2）問同學們?nèi)菀子姓`解，錯誤地認為甲隊最終獲勝的概率也是1/2，這也是概率起源時備受爭議的觀點之一。其實根據(jù)比賽規(guī)則“五局比賽必須全部打完”，已經(jīng)比完兩局，還有三局，由于甲、乙兩隊每局獲勝的機會相同，也就是勝負的可能性一樣，因此列出樹狀圖，幫助找到所有等可能的結(jié)果：

如圖可知，剩下的三局比賽共有8種等可能的結(jié)果，其中甲至少勝一局有7種，所以P（甲隊最終獲勝）=7/8。

答：甲隊最終獲勝的概率為7/8。

【點評】純粹從考題看，本題是考查列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率。透過試題看本質(zhì)，我們可以感覺到本題背景隱含著概率的起源。

為加深同學們對所求概率必須在“等可能”的條件下的理解，再看一例：兩枚質(zhì)地相同的正四面體，它們的各面上分別標明數(shù)字1、2、3、4，如同時投擲這兩枚正四面體骰子，則著地面的點數(shù)之和等于5的概率為多少？

【錯解】因為著地面點數(shù)之和最小為2，最大為8，共有7種不同的結(jié)果，所以著地面的點數(shù)之和為5的概率是1/7。

【錯解分析】著地面點數(shù)之和是2、3、4、5、6、7、8的結(jié)果不是等可能的，我們列出表格：

從表格中可看出：同時投擲兩個正四面體骰子，共有16種等可能情況，和為2的情況只有1種，和為3的情況有2種，和為4的情況有3種，和為5的情況有4種，和為6的情況有3種，和為7的情況有2種，和為8的情況有1種。因此著地面點數(shù)之和是2、3、4、5、6、7、8的結(jié)果不是等可能的。

【正解】列表如上，從表中可看出，共有16種情況，著地面的點數(shù)之和等于5的共有4種，則此種情況的概率是4/16=1/4。

【點評】利用概率公式求概率必須在有限性和等可能的前提下進行?！暗瓤赡堋笔且环N假設(shè)，是一種理想狀態(tài)?！暗瓤赡堋笔录邆鋬蓚€特征：試驗結(jié)果的有限性和每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的等可能性。我們要根據(jù)實際情況判斷是否可以認為所有可能結(jié)果是等可能，要學會變換思維角度、去偽存真，將不等可能事件轉(zhuǎn)化為等可能事件。如拋擲兩枚硬幣，將出現(xiàn)“一個正面、一個反面”的事件拆分成“正反、反正”兩個等可能事件;摸球試驗中，同顏色球不止一個時，為了體現(xiàn)事件的等可能性，一般需要將它們分別編號;投飛鏢和轉(zhuǎn)盤試驗中，原題分的“塊”面積不相等時，一般需要將它們再細分成等面積區(qū)域，然后求解。諸如此類，需謹慎小心，防止上當！