基于子結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)的橡膠減振器動(dòng)態(tài)特性預(yù)測(cè)研究

劉德宇，郭勤濤，陶言和，王秀剛

(南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

橡膠減振器具有形狀自由度大、減振性能良好、成本相對(duì)低廉等優(yōu)勢(shì)，被廣泛應(yīng)用于軌道列車的減振系統(tǒng)中，連接地板與車體的橡膠減振塊對(duì)列車的運(yùn)行平穩(wěn)性與乘員的舒適性起著重要作用。橡膠是一種典型的超彈性材料，硫化體系復(fù)雜，并且硫化過(guò)程中溫度、壓力和時(shí)間對(duì)制品質(zhì)量影響較大[1-2]。在材料和加工工藝相近的情況下，橡膠結(jié)構(gòu)的剛度和阻尼存在較大的不確定性，因此對(duì)減振系統(tǒng)中橡膠減振元件的不確定性進(jìn)行量化，有利于提高仿真計(jì)算的準(zhǔn)確性。黃建龍等[3]使用Mooney-Rivlin模型對(duì)橡膠材料進(jìn)行仿真分析，介紹了獲取模型材料參數(shù)的實(shí)驗(yàn)方法。劉萌等[4]僅使用單軸拉伸實(shí)驗(yàn)識(shí)別模型參數(shù)，證明了在某些工況下簡(jiǎn)化材料實(shí)驗(yàn)種類的可行性。潘孝勇[5]介紹了橡膠材料動(dòng)態(tài)特性實(shí)驗(yàn)的方法，總結(jié)了橡膠元件動(dòng)態(tài)特性參數(shù)的確定公式。郭勤濤等[6]對(duì)有限元模型確認(rèn)方法進(jìn)行了研究，介紹了模型確認(rèn)的總體思路與實(shí)現(xiàn)方法。

本文選用Mooney-Rivlin超彈性模型表征橡膠材料的彈性特性，用頻域黏彈性模型表征橡膠材料的頻變特性，對(duì)材料進(jìn)行單軸拉伸實(shí)驗(yàn)與簡(jiǎn)單剪切實(shí)驗(yàn)，通過(guò)公式計(jì)算與擬合應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線獲取模型參數(shù)，并對(duì)模型參數(shù)及其仿真響應(yīng)進(jìn)行不確定性量化分析。

1 橡膠材料的本構(gòu)模型

1.1 橡膠材料的超彈性理論模型

橡膠是一種超彈性材料，常使用應(yīng)變能密度函數(shù)表征其力學(xué)特性。實(shí)際應(yīng)用中常使用Mooney-Rivlin模型描述橡膠的應(yīng)變能密度函數(shù)，該模型基于唯象理論，使用張量不變量作為應(yīng)變能密度函數(shù)的自變量，在小應(yīng)變范圍內(nèi)擬合效果良好，同時(shí)模型方程簡(jiǎn)單，參數(shù)獲取方便，因此被廣泛應(yīng)用于橡膠件的工程分析中。二參數(shù)Mooney-Rivlin模型應(yīng)變能密度函數(shù)為：

W=C10(I1-3)+C01(I2-3)

(1)

式中：W為應(yīng)變能密度；C10與C01均為Rivlin系數(shù)；Ii(i=1,2,3)為第i階Green應(yīng)變不變量。

橡膠材料的不同應(yīng)力-應(yīng)變狀態(tài)可由單軸拉伸、單軸壓縮以及純剪切實(shí)驗(yàn)表示，考慮到實(shí)際實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的難易程度與精度，常用等雙軸拉伸與平面拉伸實(shí)驗(yàn)代替單軸壓縮與純剪切實(shí)驗(yàn)。由于橡膠材料的不可壓縮性，可以認(rèn)為I3=λ1λ2λ3=1，其中λj(j=1,2,3)為3個(gè)方向的主伸長(zhǎng)率。不同變形狀態(tài)時(shí)的工程應(yīng)力σ與對(duì)應(yīng)的主伸長(zhǎng)率的關(guān)系為[7]：

單軸拉伸

(2)

等雙軸

(3)

平面剪切

(4)

式中：λU,λB,λP分別為不同變形狀態(tài)下的主伸長(zhǎng)率。

變形張量不變量與實(shí)驗(yàn)中主伸長(zhǎng)率的關(guān)系為[7]：

單軸拉伸

(5)

等雙軸

(6)

平面剪切

(7)

將式(1)和式(5)(式(6)、(7))代入式(2)(式(3)、(4))，便可計(jì)算得到材料在不同變形狀態(tài)時(shí)的工程應(yīng)力。考慮到橡膠結(jié)構(gòu)件的實(shí)際工況及實(shí)驗(yàn)室條件，本文僅使用單軸拉伸實(shí)驗(yàn)識(shí)別橡膠材料參數(shù)。

1.2 橡膠材料的頻域黏彈性理論模型

橡膠隔振器的動(dòng)態(tài)特性與激振頻率的高低及振幅大小有關(guān)，小振幅工況下可以忽略振幅變化對(duì)橡膠動(dòng)態(tài)特性的影響，只考慮由橡膠材料黏彈性確定的頻率相關(guān)性。本文使用頻域黏彈性模型表征橡膠材料的頻變特性。

對(duì)橡膠材料進(jìn)行動(dòng)態(tài)簡(jiǎn)單剪切實(shí)驗(yàn)時(shí)，試件受到的諧波剪切應(yīng)變激勵(lì)κ(t)為[8]：

κ(t)=κ0eiωt

(8)

τ(t)=G*(ω)κ0eiωt=[Gs(ω)+

iG1(ω)]κ0eiωt

(9)

式中：Gs(ω),G1(ω)分別為剪切模量G*(ω)的實(shí)部和虛部，定義為剪切存儲(chǔ)模量和剪切損失模量[5]。

剪切松弛函數(shù)g(t)定義為[8]：

(10)

式中：GR(t)為與時(shí)間相關(guān)的剪切松弛模量；G∞為準(zhǔn)靜態(tài)剪切模量，可通過(guò)試樣的靜力加載實(shí)驗(yàn)分析獲得。

Gs(ω)和G1(ω)可表示為：

Gs(ω)=G∞[1-ωIm(g*)]

(11)

G1(ω)=G∞ωRe(g*)

(12)

式中：g*為g*(ω)的簡(jiǎn)寫(xiě)，g*(ω)為g(t)的傅里葉變換；Re(g*)和Im(g*)分別為g*(ω)的實(shí)部和虛部。

剪切應(yīng)力的幅值|τ|和相位角δ可分別表示為：

(13)

(14)

1.3 模型精度的確認(rèn)準(zhǔn)則

模型的精度與適用范圍通過(guò)確認(rèn)準(zhǔn)則判斷，考慮不確定性因素時(shí)，使用重合度準(zhǔn)則判定不同響應(yīng)分布的一致程度[6]：

J(P)=PDFtest∩PDF

(15)

式中：PDF和PDFtest分別為仿真計(jì)算和實(shí)驗(yàn)響應(yīng)特征的概率密度分布；J(P)的值為兩個(gè)響應(yīng)概率密度分布的重合面積。該準(zhǔn)則可以比較全面地判定仿真計(jì)算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否保持一致，當(dāng)兩個(gè)結(jié)果的概率密度函數(shù)曲線完全重合時(shí)，J(P)的值為1，表示仿真的響應(yīng)特征完全可以取代實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)體現(xiàn)的結(jié)構(gòu)特性。

2 本構(gòu)模型的參數(shù)確定及量化

2.1 單軸拉伸實(shí)驗(yàn)及參數(shù)識(shí)別

根據(jù)1所述的本構(gòu)模型參數(shù)獲得方法，采用單軸拉伸實(shí)驗(yàn)[9]對(duì)橡膠材料進(jìn)行應(yīng)力-應(yīng)變測(cè)試，選用標(biāo)準(zhǔn)GB/T 528—2009中的1A型啞鈴狀試樣，應(yīng)變水平選擇與實(shí)際工況相近的0.5。單軸拉伸試樣如圖1所示。

圖1 單軸拉伸試樣

橡膠材料的非線性特性使其在材料參數(shù)識(shí)別過(guò)程中存在較大的不確定性。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)技術(shù)為不確定性量化分析提供了統(tǒng)計(jì)及檢驗(yàn)方法。實(shí)際工程中通常使用正態(tài)分布對(duì)隨機(jī)變化的不確定性參數(shù)進(jìn)行分布估計(jì)與檢驗(yàn)，本文通過(guò)正態(tài)分布方法對(duì)橡膠參數(shù)進(jìn)行不確定性量化分析。單軸拉伸實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，為了量化材料本身差異與實(shí)驗(yàn)操作中所帶來(lái)的不確定性，分別對(duì)11件試樣進(jìn)行了拉伸實(shí)驗(yàn)，考慮到Mullins效應(yīng)的影響，正式拉伸實(shí)驗(yàn)前對(duì)試樣循環(huán)加載5次，以消除Mullins效應(yīng)。將試樣對(duì)稱地夾在拉力實(shí)驗(yàn)機(jī)的上下夾持器上，使拉力均勻地分布在試樣的橫截面上。啟動(dòng)拉力實(shí)驗(yàn)機(jī)，在整個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中連續(xù)監(jiān)測(cè)試樣長(zhǎng)度和受力變化，如果試樣在其狹窄部位以外的地方斷裂則舍棄該實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并另取試樣重新進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)獲得的11件試樣的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系如圖2所示，使用最小二乘法擬合關(guān)系曲線可獲得模型參數(shù)C10和C01。

圖2 單軸拉伸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

對(duì)單軸拉伸實(shí)驗(yàn)所獲得的參數(shù)進(jìn)行正太分布擬合，得到Mooney-Rivlin本構(gòu)模型參數(shù)C10服從N(0.589 8,0.042 72)，C01服從N(0.258 2,0.061 32)。

2.2 簡(jiǎn)單剪切實(shí)驗(yàn)及參數(shù)識(shí)別

通過(guò)動(dòng)態(tài)簡(jiǎn)單剪切實(shí)驗(yàn)獲得橡膠材料的頻域黏彈性材料模型參數(shù)，簡(jiǎn)單剪切試樣及實(shí)驗(yàn)臺(tái)如圖3所示，該實(shí)驗(yàn)臺(tái)可以測(cè)量不同頻率下激振力與剪切變形的大小。

降低激振頻率進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)簡(jiǎn)單剪切實(shí)驗(yàn)，由準(zhǔn)靜態(tài)簡(jiǎn)單剪切實(shí)驗(yàn)可測(cè)得剪切力Fs0與試樣位移xs0，從而得到剪切應(yīng)力τs0為：

(16)

式中：2A為橡膠試件的剪切面積。

剪切應(yīng)變?chǔ)蕇0為：

圖3 簡(jiǎn)單剪切實(shí)驗(yàn)臺(tái)

(17)

式中：t0為橡膠試件的厚度。

準(zhǔn)靜態(tài)剪切模量G∞為：

(18)

式中：Δτs0,Δκs0為準(zhǔn)靜態(tài)剪切應(yīng)力與準(zhǔn)靜態(tài)剪切應(yīng)變。

由動(dòng)態(tài)簡(jiǎn)單剪切實(shí)驗(yàn)可以測(cè)得試樣隨頻率變化的存儲(chǔ)剛度Ks、損失剛度Kl和阻尼角，存儲(chǔ)力Fs(ω)和損失力Fl(ω)分別為：

Fs(ω)=Ks(ω)x0(ω)

(19)

Fl(ω)=Kl(ω)x0(ω)

(20)

式中：x0(ω)為不同頻率下的響應(yīng)位移振幅。

與存儲(chǔ)力Fs(ω)和損失力Fl(ω)對(duì)應(yīng)的剪切應(yīng)力τs(ω)和τl(ω)分別為：

(21)

(22)

剪切應(yīng)變?chǔ)?ω)為：

(23)

剪切存儲(chǔ)模量Gs(ω)和剪切損失模量Gl(ω)為：

(24)

(25)

表示橡膠材料黏彈性的參數(shù)ωRe(g*)和ωIm(g*)分別為：

(26)

(27)

用以上計(jì)算公式處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到剪切試樣的ωRe(g*)和ωIm(g*)隨激振頻率變化的曲線，如圖4所示。從圖中可以看出，|ωRe(g*)|和|ωIm(g*)|隨激振頻率的增加而增加，并且|ωIm(g*)|的增幅更明顯。

圖4 ωRe(g*)和ωIm(g*)頻變曲線

對(duì)激振頻率為20 Hz時(shí)的6組橡膠試樣進(jìn)行動(dòng)態(tài)剪切實(shí)驗(yàn)，得到該頻率下的黏彈性參數(shù)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行正態(tài)分布擬合，得到ωRe(g*)服從N(0.204 2,0.001 42)，ωIm(g*)服從N(-0.385 8,0.000 392)。

3 橡膠減振系統(tǒng)的響應(yīng)預(yù)測(cè)

3.1 減振系統(tǒng)的響應(yīng)驗(yàn)證

某橡膠減振系統(tǒng)的有限元模型如圖5所示，含有7 128個(gè)六面體單元，橡膠單元材料屬性為超彈性與黏彈性疊加，約束面為橡膠塊底面，加載處為鋼板中心位置，在加載點(diǎn)施加掃頻集中力。雖然橡膠元件尺寸及形狀與實(shí)際工程中列車的減振塊不同，但為減振塊的分析提供了方法。使用激振器、力傳感器及加速度傳感器搭建動(dòng)力掃頻實(shí)驗(yàn)臺(tái)，實(shí)驗(yàn)中在加載點(diǎn)施加掃頻集中力，測(cè)量加載力信號(hào)與鋼板加速度信號(hào)，對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻域變換后與模型的仿真計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，如圖6所示。

圖5 減振系統(tǒng)有限元模型

圖6 頻響曲線對(duì)比

為了對(duì)減振系統(tǒng)模型的響應(yīng)進(jìn)行預(yù)測(cè)，在激振頻率為20 Hz時(shí)進(jìn)行多組實(shí)驗(yàn)，記錄鋼板加速度信號(hào)。對(duì)實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行擬合，實(shí)驗(yàn)得到的加速度響應(yīng)服從Ae～N(0.269 3,0.028 22)。

3.2 基于重合度準(zhǔn)則的量化

對(duì)減振系統(tǒng)模型進(jìn)行20 Hz激勵(lì)下的響應(yīng)計(jì)算，使用蒙特卡羅法隨機(jī)抽取材料黏彈性參數(shù)，計(jì)算20組加載后的減振系統(tǒng)模型加速度響應(yīng)，對(duì)結(jié)果進(jìn)行正態(tài)分布擬合，模型響應(yīng)峰值服從As～N(0.256 2,0.002 12)。

模型預(yù)測(cè)響應(yīng)峰值概率密度分布與3.1節(jié)實(shí)驗(yàn)測(cè)得加速度峰值分布的比較結(jié)果如圖7所示，超彈性-黏彈性模型與實(shí)驗(yàn)值的重合度為76.08%。根據(jù)重合度準(zhǔn)則，可判斷使用超彈性-黏彈性模型對(duì)減振系統(tǒng)響應(yīng)預(yù)測(cè)進(jìn)行的量化是合理的。

圖7 預(yù)測(cè)與實(shí)驗(yàn)的概率密度分布

4 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)橡膠減振器試樣進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，識(shí)別其超彈性模型與黏彈性模型材料參數(shù)，驗(yàn)證了小振幅激勵(lì)下橡膠元件超彈性-黏彈性疊加模型的有效性。將模型確認(rèn)技術(shù)引入非線性材料的建模中，考慮材料參數(shù)識(shí)別過(guò)程的不確定性因素，驗(yàn)證了重合度準(zhǔn)則的有效性，得到了具有一定置信度的減振器模型。所涉及的理論與方法具有深入研究的必要，對(duì)后續(xù)研究工作的建議如下：1)超彈性模型參數(shù)識(shí)別可增加等雙軸拉伸實(shí)驗(yàn)與平面拉伸實(shí)驗(yàn)，提高所得參數(shù)的精度；2)橡膠材料建模忽略了材料的幅變特性，所得模型不適用于大變形工況，若需研究橡膠材料的幅變特性，有必要在本模型基礎(chǔ)上增加彈塑性模型；3)本文所有實(shí)驗(yàn)均在室溫進(jìn)行，未考慮橡膠材料的溫變特性，后續(xù)的相關(guān)研究可考慮這一因素的影響。