學會基于教材的延伸性思考

黃秀旺

教材是老師和同學們進行教學活動的材料，是教學的主要媒介。蘇科版數(shù)學教材九年級上冊“對稱圖形——圓”給出了一些重要定理，而對于數(shù)學問題的探究來說，我們?nèi)绻麑Χɡ碜鲆恍┭由煨缘乃伎迹瑫玫礁袃r值的結(jié)論，有助于提升解決問題的能力。

一、教材對常用的結(jié)論做出了延伸性的結(jié)論

基本定理：教材第45頁“圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等”，第55頁“圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半”。

追問：圓周角的度數(shù)與它所對弧的度數(shù)之間的關(guān)系如何？

因為圓心角的度數(shù)與它所對弧的度數(shù)相等，圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半，所以圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)的一半。

例1 （2019·江蘇鹽城）如圖1，點A、B、C、D、E 在⊙O 上，且AB 為50°，則∠E+∠C= °。

【解析】∠E 與∠C 均為圓周角，它們所對的弧分別是DCB、DEA，由于AB 為50° ，所以DCB 與DEA 的度數(shù)之和為360°-50°，即310°，根據(jù)“圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)的一半”得到∠E+∠C=155°。

例2 如圖2，AB 是半圓，O 為AB 的中點，C、D 兩點在AB 上，且AD∥OC，連接BC、BD。若CD 為62° ，則∠ABD 為（ ）。

【解析】根據(jù)題意，AB 是直徑，∠ADB=90°，又AD∥OC，所以O(shè)C⊥DB，根據(jù)垂徑定理，CD=BC，因為CD 為62°，所以BC 也為62°?？梢缘玫紸D 為56°，根據(jù)“圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)的一半”得到∠ABD=28°。

二、教材“練習”對定理做出延伸性的思考

教材第60頁的練習3：如圖3，四邊形ABCD 是⊙O 的內(nèi)接四邊形，∠C=130°。求∠BOD 的度數(shù)。

追問1：一般地，∠C 與∠BOD 有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

根據(jù)教材第59頁“圓內(nèi)接四邊形的對角互補”，第55頁“圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半”可以得到∠C+ ∠A=180° ，∠A=12∠BOD，所以∠C+12∠BOD=180°。

例3 （2018·江蘇蘇州）如圖4，AB是半圓的直徑，O 為圓心，C 是半圓上的點，D 是AC 上的點，若∠BOC=40°，則∠D的度數(shù)為（ ）。

【解析】根據(jù)互補得出∠AOC=180°-40°=140°，由延伸性思考可知12∠AOC+∠D=180°，所以∠D=110°。

教材第60頁的練習2：如圖5，四邊形ABCD 是⊙O 的內(nèi)接四邊形，∠CBE 是它的一個外角。若∠D=100°，求∠CBE 的度數(shù)。

追問2：一般地，∠CBE 與∠D 有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

【解析】根據(jù)“圓內(nèi)接四邊形的對角互補”得到∠D+ ∠ABC=180°，又∠ABC+∠CBE=180°，所以∠CBE=∠D，即外角等于它的內(nèi)對角。

例4 （2019·貴州銅仁）如圖6，四邊形ABCD 為⊙O 的內(nèi)接四邊形，∠A=100°，則∠DCE 的度數(shù)為。

【解析】根據(jù)延伸性思考得到外角等于它的內(nèi)對角，所以∠DCE= ∠A=100°。

三、基于解題經(jīng)驗對定理做出延伸性的思考

基本定理：教材第47頁“垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧”，第55頁“圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半”。

如圖7，AB 是⊙O 的直徑，CD 是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為P。

追問：如圖7，除了∠COB，還有哪個角與∠BOD 相等？

【解析】根據(jù)已知條件，利用垂徑定理可以知道BC=BD，再根據(jù)“圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半”，可以得到∠CAD=∠BOD。此結(jié)論的應(yīng)用也較為廣泛。

例5 （2013·江蘇南京）如圖8，AD是⊙O 的切線，切點為A，AB 是⊙O 的弦。過點B 作BC∥AD，交⊙O 于點C，連接AC，過點C 作CD∥AB，交AD 于點D。連接AO 并延長交BC 于點M，交過點C的直線于點P，且∠BCP=∠ACD。

試判斷直線PC 與⊙O 的位置關(guān)系，并說明理由。

【解析】如圖9，連接OC，由以上延伸性思考可知∠POC=∠BAC。由AB∥DC得∠ACD=∠BAC，所以∠POC=∠BCP。而由切線AD 的性質(zhì)及BC∥AD 可知∠OMC=90° ，所以∠POC+ ∠MCO=90° ，從而∠BCP+ ∠MCO=90° ，易判斷直線PC 與⊙O 的位置關(guān)系。

當然，圓這一章還有一些定理也可以做出延伸性思考，這就要求同學們善于把握知識之間的聯(lián)系，從聯(lián)系中獲得新知;也要善于總結(jié)解題經(jīng)驗，從解題經(jīng)驗中獲得新知。許多中考試題源于教材，在教材的例習題基礎(chǔ)上進行拓展延伸，如果我們在平時的學習中，主動思考，一定會提升解決復雜問題的能力。