居家實(shí)驗(yàn)：蛇擺的設(shè)計(jì)與制作

趙海發(fā)，朱瑞濱

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 物理實(shí)驗(yàn)中心，黑龍江 哈爾濱 150001)

單擺是最簡單的物理擺，1582年伽利略通過觀察教堂中吊燈在微風(fēng)下的擺動發(fā)現(xiàn)單擺具有等時性，1657年荷蘭物理學(xué)家惠更斯根據(jù)單擺的等時性設(shè)計(jì)制造了計(jì)時儀器——擺鐘，擺鐘的發(fā)明提高了當(dāng)時計(jì)時的精度.

1991年馬里蘭大學(xué)的Richard E. Berg描述了利用1組無耦合單擺陣列構(gòu)建擺波(Pendulun waves)的演示實(shí)驗(yàn)[1],實(shí)驗(yàn)展示出蛇擺會變幻出很多非常優(yōu)美的陣型，給人驚奇的觀感. 2001年James A. Flaten等人在理論上對蛇擺的運(yùn)動機(jī)理做了詳盡的理論分析[2]. 蛇擺的設(shè)計(jì)非常巧妙，蘊(yùn)含很多物理原理和原理的巧妙應(yīng)用[3],通過巧妙的物理設(shè)計(jì)讓相互無耦合的單擺之間加進(jìn)時間關(guān)聯(lián)，使得各單擺陣列在擺動過程中演化出一系列規(guī)律的陣型，而這些陣型是設(shè)計(jì)時已計(jì)算好的動作. 蛇擺教學(xué)實(shí)驗(yàn)既包含精妙的物理思想，又包含參量的設(shè)計(jì)選擇，再到實(shí)驗(yàn)儀器的搭建以及精細(xì)的調(diào)節(jié)過程，是一個教學(xué)內(nèi)容非常豐富、全面的實(shí)驗(yàn).

在今年疫情期間，哈爾濱工業(yè)大學(xué)開展了居家大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)活動. 將“蛇擺的設(shè)計(jì)和制作”列為必做的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，為便于學(xué)生盡快入手，給學(xué)生提供了相關(guān)的參考資料和制作要點(diǎn)提示. 教學(xué)實(shí)踐表明學(xué)生非常喜歡這個設(shè)計(jì)性DIY居家實(shí)驗(yàn). 當(dāng)學(xué)生經(jīng)過自己努力和教師線上指導(dǎo)終于圓滿完成實(shí)驗(yàn)內(nèi)容后，學(xué)生獲得了成功感，在實(shí)驗(yàn)過程提高了分析能力和動手能力.

1 實(shí)驗(yàn)原理

1.1 單擺和重力加速度

單擺是由1根不可伸長的輕質(zhì)細(xì)線和懸掛在此細(xì)線下體積很小的重球所構(gòu)成. 在擺長遠(yuǎn)大于擺球直徑，擺球質(zhì)量遠(yuǎn)大于細(xì)線質(zhì)量的條件下，將懸掛著的小球自平衡位置拉至一側(cè)很小的距離，使擺角小于5°，然后釋放，擺球即在平衡位置附近作周期性振動，其振動周期為

(1)

其中，g為重力加速度，L為擺長(擺長為擺線固定端到擺球重心的長度). 根據(jù)(1)式，可以得到重力加速度的測量公式為

(2)

實(shí)驗(yàn)時，選取合適的擺長L，并測量擺的周期T,得到重力加速度g.L值是設(shè)計(jì)蛇擺時的關(guān)鍵參量.

1.2 蛇擺的設(shè)計(jì)原理

蛇擺是由等間隔排列、振動頻率等值變化、無耦合的多個單擺組成的單擺陣列，如果同時將其從最大擺幅處釋放，隨后會展現(xiàn)出一系列奇異的空間分布變化，展現(xiàn)出從行波、駐波、混沌再回到有序的周期性變化.

1)蛇擺的設(shè)計(jì)的關(guān)鍵參量

圖1 蛇擺的空間構(gòu)型

根據(jù)上述分析，可以得到位于x=id位置處的第i個單擺的周期為

(3)

由式(1)，可得第i個單擺擺長公式為

(4)

或

(5)

可以看出不同位置處的單擺擺長不同.

2)蛇擺的運(yùn)動狀態(tài)分析

讓上述設(shè)計(jì)的各單擺同時(t=0)從最大擺幅開始釋放，由于它們的周期不同，它們的相對相位隨著擺動而逐漸變化. 由于單擺的運(yùn)動滿足余弦函數(shù)，則位于x處的單擺的橫向擺動方程為

(6)

上式可以整理表達(dá)成

(7)

在隨后的任一時刻，整個單擺陣列中相鄰的2個單擺的相位差是固定的，但是此相位差數(shù)值會隨時間逐漸增大. 這就會造成整個單擺陣列類似余弦函數(shù)的陣型出現(xiàn). 假設(shè)n=14，所有單擺初始擺幅相同(同為最大擺幅)，分析可知在隨后的幾個特定振動時刻單擺陣列的圖樣會如圖2所示. 例如，在時間t=Γ/2，每個單擺正好處于與最鄰近的單擺反相的狀態(tài)，所以鄰近單擺間的相位差為π. 整個單擺整列分別排列成2行，陣線分明. 其他陣型也可同理分析得到.

圖2 蛇擺在振動的不同時刻擺球的分布形態(tài)

3)蛇擺參量設(shè)計(jì)

根據(jù)圖1分析，蛇擺中各單擺(隨x增大)的振動頻率按規(guī)律逐漸遞增，擺長逐漸減小. 設(shè)計(jì)蛇擺時，主要要考慮以下因素：

a.擺球個數(shù)，也就是n的選取，擺球越多當(dāng)然視覺效果越佳，但是制作和調(diào)節(jié)難度也增大；擺球少，調(diào)節(jié)容易但相應(yīng)的表現(xiàn)效果差. 10～15個擺球比較合適，這樣可以保證成三排時，每排有3個或以上的擺球.

b.相鄰單擺的頻率差(這里等于公周期的倒數(shù))不要取太大，一般以0.04左右為佳，這樣可以比較細(xì)膩地表現(xiàn)蛇擺的陣型演化. 如果頻率差過大蛇擺的陣型變化會非?？?，不容易觀察到陣型的演變;如果頻率差過小，相應(yīng)的公周期過長擺幅會隨時間衰減影響效果. 另外也需要更多個數(shù)的擺才能比較完整地表現(xiàn)蛇擺的整體運(yùn)動，同時也會使實(shí)驗(yàn)調(diào)節(jié)困難，所以對應(yīng)的公周期以25～60 s之間為宜.

c.N的取值，N越小單擺的周期越大、擺長越長，實(shí)驗(yàn)調(diào)節(jié)越容易，但是擺長太長，整個蛇擺占的空間也大，一般以每個單擺的周期在1 s左右變化為宜，這時對應(yīng)的15個單擺的擺長在20～40 cm之間，實(shí)驗(yàn)時擺長調(diào)節(jié)在mm精度就可以達(dá)到較好的效果.

d.蛇擺設(shè)計(jì)時重力加速度要取本地加速度的標(biāo)準(zhǔn)值，具體可以通過網(wǎng)絡(luò)查找.

根據(jù)以上綜合分析，推薦選取蛇擺的參量為N=50，n=14，Γ=60 s，學(xué)生也可以根據(jù)居家條件自己選擇合適的參量. 據(jù)此根據(jù)蛇擺的設(shè)計(jì)規(guī)律和單擺周期公式(1)可以得到15個單擺的周期Ti和擺長Li具體參量.

4)蛇擺的搭建

首先要找到合適的直桿，長度不小于60 cm. 在居家的條件下擺球可選擇玻璃球、大螺帽等重些的物體，在選擇擺球物體時主要考慮形狀簡單、對稱，容易確定重心，易于計(jì)算擺長. 擺線可選大力馬魚線(這種線無彈性、無記憶，強(qiáng)度也很高)，其他線可能衰減會大.

制作蛇擺時，各單擺擺動時一定不能左右晃動，只能前后擺動，為此可以采用V型連線連接擺球；在擺線和桿固定方式，要便于擺長調(diào)節(jié)，不可直接固定死. 建議居家實(shí)驗(yàn)時采取先用膠帶把擺線粘接在桿上，實(shí)驗(yàn)過程中如某個擺擺動規(guī)律異常，可以很容易地細(xì)調(diào)這個單擺的擺長.

2 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容包括：利用單擺原理測量學(xué)生居家當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮?，設(shè)計(jì)和制作蛇擺. 這2項(xiàng)內(nèi)容聯(lián)系緊密，可以很好地融合.

2.1 測量重力加速度g

利用單擺測量本地重力加速度，實(shí)驗(yàn)時要設(shè)法測得比較準(zhǔn)確的單擺周期和擺長. 周期測量可利用PHYPHOX軟件的磁力計(jì)、加速度測量和計(jì)時秒表功能. 實(shí)驗(yàn)中擺長要適當(dāng)(>50 cm)，另外要通過測量多次擺動的時間來獲得振動周期T. 居家實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果精度要求在2%內(nèi).

2.2 蛇擺中各單擺擺長的確定

設(shè)計(jì)蛇擺時要利用當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葮?biāo)準(zhǔn)值，網(wǎng)上可以查到哈爾濱地區(qū)的重力加速度大小為g=9.806 6 m2/s. 蛇擺參量可選N=50，n=14，Γ=60 s. 然后計(jì)算得到蛇擺的各個單擺的周期和對應(yīng)的擺長.

2.3 蛇擺的組裝和細(xì)調(diào)

按照各單擺擺長的計(jì)算值來組裝蛇擺，組裝時需要注意單擺擺長越小時安裝調(diào)節(jié)擺長時越要精細(xì)，組裝好后先觀察蛇擺的初始擺動效果,進(jìn)而反復(fù)地細(xì)調(diào). 調(diào)試時要注意觀察這幾個重要時間節(jié)點(diǎn)時蛇擺的狀態(tài)：1/3公周期時，擺球應(yīng)為3排排列；1/2公周期時，擺球應(yīng)為2排排列；2/3公周期時，擺球又為3排排列；1個公周期時，擺球應(yīng)為1排排列. 實(shí)驗(yàn)時可以用手機(jī)錄像記錄和分析這幾個時間節(jié)點(diǎn)，如某個單擺不符合預(yù)期須仔細(xì)調(diào)節(jié)此單擺擺長，使其達(dá)到預(yù)期效果，然后錄制1個公周期時間的蛇擺運(yùn)動，作為實(shí)驗(yàn)報(bào)告的附件提交.

3 居家實(shí)驗(yàn)教學(xué)的效果和體會

單擺和蛇擺的設(shè)計(jì)與制作實(shí)驗(yàn)原理簡單，通過分析既可容易掌握. 重點(diǎn)和難點(diǎn)在于實(shí)驗(yàn)搭建和耐心調(diào)節(jié)的過程. 因?yàn)榇藢?shí)驗(yàn)趣味性和實(shí)踐性比較強(qiáng)，雖然調(diào)節(jié)有一定難度，但還是受到了學(xué)生的歡迎. 有很多學(xué)生做出了非常漂亮的蛇擺(圖3). 居家實(shí)驗(yàn)教學(xué)也遇到難點(diǎn)問題，比如有的學(xué)生動手能力比較差，遇到問題有畏難情緒，家中可用材料不足，要自己考慮解決，學(xué)生不習(xí)慣這樣的實(shí)驗(yàn)，遇到這些問題教師需要通過正確引導(dǎo)、耐心的討論和指導(dǎo)和適當(dāng)?shù)墓膭顜椭鷮W(xué)生解決問題.

圖3 學(xué)生制作的蛇擺