化歸法在解數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用

【摘要】化歸法是數(shù)學(xué)中常用的一種研究和解決數(shù)學(xué)問題的方法，它的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，但具體的化歸方法是比較靈活的，沒有固定的模式，不易掌握. 在解數(shù)學(xué)題時如何應(yīng)用化歸呢？本文介紹了三種途徑，其目的在于幫助學(xué)生掌握化歸這種方法，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解數(shù)學(xué)題的能力.

【關(guān)鍵詞】化歸法;函數(shù)模型;復(fù)數(shù)模型

在教學(xué)過程中，我們常常發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生的解題方法帶有很大的盲目性，雖然他們在解題時有時用到某種數(shù)學(xué)思維方法，但自己卻全然不知，這就使他們陷入為做題而做題的泥潭之中，從而喪失了學(xué)習(xí)的主動性，也制約著他們思維能力的提高. 為此筆者介紹一種在數(shù)學(xué)思維中占有重要地位的方法——化歸法. 所謂化歸就是把新問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題.其實許多數(shù)學(xué)問題在解法上凝聚與蘊含著化歸思想，那么在實際應(yīng)用中我們?nèi)绾芜M行化歸，又向何處化歸呢？主要有三條途徑：向基本數(shù)學(xué)模型化歸，一般向特殊化歸，高層次向低層次化歸.

1?向基本數(shù)學(xué)模型化歸

我們知道，模型法是數(shù)學(xué)反映現(xiàn)實世界的基本方法. 對于一些數(shù)學(xué)模型，我們已經(jīng)建立了模式化的解題方法，若能把新問題化歸到已知的數(shù)學(xué)模型中，則解決問題的方法就能夠知道了.這里以函數(shù)模型和復(fù)數(shù)模型為例進行說明.

1.1?化歸到函數(shù)模型

用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的性態(tài)，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)模型，這是很有應(yīng)用價值的模型.

2?一般向特殊化歸

特殊的問題常常是較簡單和容易把握的，對于一般性問題，我們總希望通過一些手段化為特殊的，從而借助特殊問題的解法將一般性問題解決. 向特殊化歸的手法很多，這里只以常見的變換法為例說明這類方法的基本思想.

2.1?借助正交變換化二次型為標準型

正交變換具有保持向量長度及夾角不變的性質(zhì)，即具有保持幾何形狀不變的優(yōu)點，能夠把二次型化成標準型，符合解析幾何的要求. 通過下例加以說明.

可見要判斷二次曲面的類型，需要用直角坐標變換將方程的一般形式變成標準型，再通過坐標平移，即可得到二次曲面的標準方程.

2.3?變量置換法解微分方程

解微分方程的基本思路是先判別方程所屬類型，然后根據(jù)方程所屬類型采用相應(yīng)的解法. 通常方程本身呈現(xiàn)的形式不是“標準型”，要想求解方程就應(yīng)巧妙選取變量置換將“非標準型”微分方程化歸為“標準型”微分方程.

變換就是改變形式，對于不同的數(shù)學(xué)對象，變換的形式和手法也是不同的，這里就不一一舉例了.

3?高層次向低層次化歸

事物的發(fā)展是從低層次到高層次，而我們解決問題時，常把高層次逐步化歸到低層次，從復(fù)雜化歸到簡單，因為低層次或簡單的問題相對而言更容易解決. 這里以解高階微分方程為例說明這類方法的基本思想.

對于高階方程沒有一般解法，但對幾類特殊的高階方程，可采用適當(dāng)?shù)淖兞恐脫Q化歸為低階方程來求解.

從以上所述，可以看出化歸這個思維方法應(yīng)用范圍很廣，但具體的化歸方法是比較靈活的，沒有固定程式，對不同的問題要具體分析，我們只要平素多做練習(xí)，注意積累解題經(jīng)驗和技巧，“化歸法”這一重要解題方法并不難掌握.

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