模糊劃分及其模糊粗糙近似算子

姚 衛(wèi) 陳曉慶

(河北科技大學(xué) 理學(xué)院，河北 石家莊 050018)

0 引言與預(yù)備知識(shí)

粗糙集理論由Pawlak于1982年提出[1,2],是基于不可分辨關(guān)系的一種聚類方法.經(jīng)過幾十年的發(fā)展,粗糙集理論與方法已成功地應(yīng)用到了過程控制、社會(huì)經(jīng)濟(jì)、醫(yī)療診斷、生物化學(xué)、環(huán)境科學(xué)、心理學(xué)和沖突分析等領(lǐng)域中.

最初的粗糙集的基本結(jié)構(gòu)是等價(jià)關(guān)系,然而這并不能描述信息系統(tǒng)中的一些?；瘑栴},于是基于廣義關(guān)系的粗糙集模型得到了快速發(fā)展.除關(guān)系型粗糙集外,覆蓋型和鄰域型(包括鄰域系統(tǒng)和鄰域算子)粗糙集也應(yīng)運(yùn)而生.鄰域型粗糙集可以看做是覆蓋型粗糙集的一種特殊情形，而覆蓋型粗糙集可以看做是關(guān)系型粗糙集的擴(kuò)展,二者都具有明顯的粒化思想.

粗糙集和模糊集的交叉結(jié)合也是粗糙集理論的一個(gè)重要組成部分.在關(guān)系型模糊粗糙集模型方面,從模糊二元關(guān)系和賦值格的擴(kuò)展兩方面涌現(xiàn)了大量的研究論文,如:基于單位區(qū)間的模糊粗糙集[3-12],基于剩余格的模糊粗糙集[13-16]; 在覆蓋型和鄰域型模糊粗糙集模型方面,由于模糊覆蓋誘導(dǎo)的不同類型的鄰域系統(tǒng)及其上下近似算子,因此也就誘導(dǎo)了很多不同的粗糙近似算子模型[17-20].此外，文[21]提出了具有分析學(xué)背景的度量型粗糙集，研究了這種模型在模糊聚類中的應(yīng)用.

由于等價(jià)關(guān)系和劃分是兩個(gè)相互等價(jià)的概念，因此二者在研究粗糙集時(shí)是等價(jià)的.對(duì)于模糊情形，通常的模糊等價(jià)關(guān)系是利用格值上的三角模對(duì)經(jīng)典等價(jià)關(guān)系的邏輯擴(kuò)展，其定義方式較為固定.是否存在與模糊等價(jià)關(guān)系一一對(duì)應(yīng)的模糊劃分的概念，一直是模糊數(shù)學(xué)界關(guān)注的問題.2004，Belohavek基于完備剩余格、利用模糊等同價(jià)系引入了一種模糊劃分的概念[22]，并證明了模糊等價(jià)關(guān)系和模糊劃分之間一一對(duì)應(yīng)性.在此之前的模糊粗糙集的相關(guān)結(jié)構(gòu)都是建立在模糊覆蓋的基礎(chǔ)上的，模糊覆蓋雖然是劃分的一種弱化后的模糊擴(kuò)展，但是無論如何它始終無法與模糊等價(jià)關(guān)系相對(duì)應(yīng).

本文將以含幺序半群(不必交換)為取值域，引入一種模糊劃分的定義，推廣Belohavek的相關(guān)定義，并證明它與模糊等價(jià)關(guān)系的一一對(duì)應(yīng)性，最后以交換單位quantale為取值格研究模糊劃分誘導(dǎo)的模糊粗糙近似算子的基本性質(zhì).

下面給出本文所需要的預(yù)備知識(shí).

定義1 設(shè)L是一個(gè)偏序集,*是L上的一個(gè)半群運(yùn)算，e是L中關(guān)于運(yùn)算*的單位元.如果運(yùn)算*與偏序相互協(xié)調(diào)，即a≤b,c≤d蘊(yùn)含a*c≤b*d(?a,b,c,d∈L)，則稱(L,*,e)是一個(gè)含幺序半群.

定義2[23]設(shè)(L,*,e)是一個(gè)交換的含幺序半群，其中L是完備格，如果運(yùn)算*對(duì)任意并分配，即a*

例1 (1) ([0，+∞),×,1])和([0，+∞)op,+,1])都是交換的含幺序半群.

(2) ([0,1],×,1)和([0,1],min,1)是交換的單位quantale.

(3) 設(shè)L={0,a,b,1}是一個(gè)菱形格,即0

1 模糊劃分與模糊等價(jià)關(guān)系的一一對(duì)應(yīng)性

在本節(jié)中，我們假定(L,*,e)是一個(gè)交換的含幺序半群.

定義3 設(shè)X是一個(gè)非空集,映射R:X×X→L稱為X上的一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系,如果

(R1) 自反性:?x∈X,R(x,x)≥e;

(R2) 對(duì)稱性:?x,y∈X,R(x,y)=R(y,x);

(R3) 傳遞性:?x,y,z∈X,R(x,y)*R(y,z)≤R(x,z).

定義4 非空集X的模糊子集族Φ?LX稱為X上的一個(gè)模糊劃分,如果

(P1) 對(duì)于任意的C∈Φ,存在x∈X使得C(x)≥e;

(P2) 對(duì)于任意的x∈X,存在C∈Φ使得C(x)≥e;

(P3) 對(duì)于任意的C1,C2∈Φ和x1,x2∈X,有C1(x1)*C2(x1)*C1(x2)≤C2(x2).

注1 設(shè)Φ是非空集X上的一個(gè)模糊劃分,則

(P3′) 對(duì)于任意的C1,C2∈Φ和x1,x2∈X,C1(x1)*C2(x1)*C2(x2)≤C1(x2).

證明我們只需要交換C1和C2就完成了(P3)和(P3′)的相互轉(zhuǎn)化.

我們稱 (P3)和 (P3′)為“三換一”規(guī)則.

命題1 設(shè)Φ是非空集X上的一個(gè)模糊劃分,則對(duì)任意的x∈X都存在唯一的Cx∈Φ使得Cx(x)≥e.

證明對(duì)任意的x∈X，設(shè)有C1,C2∈Φ使得C2(x)≥e和C1(x)≥e.對(duì)任意的y∈X,由三換一規(guī)則,C1(y)=e*e*C1(y)≤C1(x)*C1(x)*C2(y)≤C2(y).則C1≤C2.同理,C2≤C1.因此C1=C2.

在下文中,我們假設(shè)R是非空集X上的一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系.對(duì)于任意的x∈X,定義映射[x]R:X→L為[x]R(y)=R(x,y),稱為x在R下的模糊等價(jià)類.

命題2 設(shè)R是非空集X上的一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系,則ΦR={[x]R|x∈X}是一個(gè)模糊劃分.

證明顯然,[x]R(x)=R(x,x)≥e,則(P1)和(P2)成立.由R的對(duì)稱性和傳遞性,對(duì)于任意的a,b,x,y∈X有,[x]R(a)*[y]R(a)*[x]R(b)=R(x,a)*R(y,a)*R(x,b)≤R(y,b)=[y]R(b)，從而(P3)成立.因此ΦR={[x]R|?x∈X}是一個(gè)模糊劃分.

命題3 設(shè)Φ是非空集X上的一個(gè)模糊劃分,則對(duì)于任意的x,y∈X都有Cx(y)=Cy(x).

證明由三換一規(guī)則,Cx(y)=Cx(y)*e*e≤Cx(y)*Cy(y)*Cx(x)≤Cy(x).同理,Cx(y)≥Cy(x)因此,Cx(y)=Cy(x).

設(shè)Φ?LX是一個(gè)模糊劃分,定義RΦ:X×X→L為RΦ(x,y)=Cx(y)(?x,y∈X).

命題4 設(shè)Φ是非空集X上的一個(gè)模糊劃分,則RΦ是一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系.

證明(R1) 由命題1易得.(R2) 由命題3易得.

(R3) 對(duì)于任意的x,y,z∈X,

RΦ(x,y)*RΦ(y,z)=Cy(x)*Cy(z)=Cy(x)*e*Cy(z)≤Cy(x)*Cx(a)*Cy(z)≤Cx(z)=RΦ(x,z).

因此,RΦ是一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系.

引理1 設(shè)ΦR是非空集X上的一個(gè)模糊劃分,有Cx=[x]R,其中Cx為命題1中模糊劃分對(duì)應(yīng)的模糊子集.

證明對(duì)于任意x∈X,有[x]R(x)=R(x,x)≥e,由命題1中的唯一性可知,Cx=[x]R.

引理2 設(shè)ΦRΦ是非空集X上的一個(gè)模糊劃分,有Cx=[x]RΦ其中Cx為命題1中模糊劃分對(duì)應(yīng)的模糊子集.

證明對(duì)于任意的y∈X,有[x]RΦ(y)=RΦ(x,y)=Cx(y).因此，[x]RΦ=Cx.

定理1 設(shè)R是非空集X上的一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系,Φ是非空集X上的一個(gè)模糊劃分,則(1)RΦR=R；(2)ΦRΦ=Φ.因此，模糊等價(jià)關(guān)系和模糊劃分之間存在一一對(duì)應(yīng)性.

(2) 首先,ΦRΦ={[x]RΦ|x∈X}.由引理2,對(duì)于任意的x∈X,[x]RΦ=Cx.則ΦRΦ?Φ.其次,對(duì)于任意的C∈Φ，存在x∈X使得C(x)≥e,我們有C=Cx=[x]RΦ.從而ΦRΦ?Φ.因此,ΦRΦ=Φ.

2 模糊劃分誘導(dǎo)的模糊粗糙近似算子

稱為由模糊劃分Φ誘導(dǎo)的上、下粗糙近似算子.有意思地是,這兩個(gè)粗糙近似算子還有如下描述方式.

定理2 設(shè)Φ是非空集X上的一個(gè)模糊劃分,則對(duì)于任意的A∈LX和x∈X,有

(O4) 首先,對(duì)于任意的C1,C2∈Φ和y∈X,由三換一規(guī)則有

注2 公式(O1，O3)解釋為：x∈aprΦ(A)當(dāng)且僅當(dāng)[x]?A，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的C∈Φ，x∈C蘊(yùn)含C?A，當(dāng)且僅當(dāng)存在C∈Φ使得x∈C且C?A(注意C其實(shí)就是[x]).