NSD序列部分和乘積的漸近分布

趙珈玉, 陸冬梅

(長春理工大學(xué)光電信息學(xué)院, 長春 130114)

1 引言與主要結(jié)果

隨機(jī)變量的極限理論主要研究中心極限定理、 大數(shù)定律和重對(duì)數(shù)律等. 目前, 關(guān)于隨機(jī)變量序列部分和乘積漸近分布的研究受到廣泛關(guān)注[1-25]. 文獻(xiàn)[1]考慮均值為1的獨(dú)立同分布指數(shù)隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1}, 得到了

(1)

利用Stirling公式, 式(1)等價(jià)于

(2)

文獻(xiàn)[3-4]討論了隨機(jī)變量序列屬于參數(shù)α∈(1,2]的穩(wěn)定分布的吸引域; 文獻(xiàn)[5-9]分別對(duì)NA(negatively associated)序列部分和乘積、φ混合序列部分和乘積、 LNQD(liear negative quadrant dependent),LPQD(liear positive quadrant dependent)序列部分和乘積、 強(qiáng)混合序列部分和乘積、 NA序列部分和隨機(jī)乘積進(jìn)行討論, 得到了類似定理1的結(jié)果. 而關(guān)于負(fù)超可加相依(negatively superadditive dependent, NSD)序列部分和乘積的極限分布研究目前尚未見文獻(xiàn)報(bào)道. 基于此, 本文考慮NSD序列, 在同分布和嚴(yán)平穩(wěn)兩種情形下分別討論其部分和乘積的漸近分布.

定義1[10]如果對(duì)任意的x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn)∈n, 都有

φ(x∨y)+φ(x∧y)≥φ(x)+φ(y),

則函數(shù)φ:n→稱為超可加的. 其中:

x∨y=(max{x1,y1},…,max{xn,yn});x∧y=(min{x1,y1},…,min{xn,yn}).

定義2[10]如果隨機(jī)向量X=(X1,X2,…,Xn)滿足:

(3)

文獻(xiàn)[10]給出了NSD隨機(jī)變量的相關(guān)性質(zhì), 并舉例說明橢球等高分布、 排列分布、 多項(xiàng)分布、 多元超幾何分布、 Dirichlet分布等在一定條件下, 都具有NSD序列的性質(zhì), 同時(shí)指出由NSD隨機(jī)變量不能推出NA隨機(jī)變量. 文獻(xiàn)[11]證明了NA隨機(jī)變量能推出NSD隨機(jī)變量, 表明NSD序列是包含獨(dú)立和NA序列在內(nèi)的一類更廣泛的相依序列. 因此研究NSD序列的極限理論具有一定的理論意義和應(yīng)用價(jià)值. 下面給出本文的主要結(jié)果.

則

(4)

1) 對(duì)某個(gè)ε>0，有|Cov(X1,Xn+1)|=O(n-1(logn)-2-ε);

則

(5)

由于NSD序列包含獨(dú)立和NA序列, 因此有:

推論1設(shè){Xn,n≥1}是一列同分布(或嚴(yán)平穩(wěn))正的NA序列, 滿足定理2(或定理3)的條件, 則式(4),(5)成立.

2 定理的證明

引理1[10]如果(X1,X2,…,Xn)是NSD的,g1,g2,…,gn均為非降函數(shù), 則(g1(X1),g2(X2),…,gn(Xn))也是NSD的.

引理3[16]設(shè){Xn;n≥1}為一NSD序列, {ak,n, 1≤k≤n,n≥1}為一實(shí)值的三角陣列, 滿足下列條件：

則

引理4在定理2的條件下, 有

因此引理3的條件均滿足, 故由引理3可得

由定理3中條件1)及bi,n≤Clogn, 可得

(8)

下面證明J2→0, 首先有

進(jìn)一步, 由定理3中條件1)可知

最后由式(6)～(9)可知結(jié)論成立.

2.1 定理2的證明

當(dāng)x>-1時(shí), 有l(wèi)og(1+x)=x+xθ(x), 其中當(dāng)x→0時(shí),θ(x)→0.則有

(10)

從而

(11)

由引理4可知

(12)

于是由式(10)～(13)及Slutsky定理可知定理2成立.

2.2 定理3的證明

利用引理2～引理5, 類似定理2的證明可知定理3成立.