橡膠履帶柔性復(fù)合材料的本構(gòu)模型

趙子涵，穆希輝，杜峰坡

(1.陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū) 彈藥工程系，河北 石家莊 050003；2.32181部隊，河北 石家莊 050003)

0 引言

橡膠履帶是一種由橡膠基體相和簾線增強(qiáng)相構(gòu)成的柔性復(fù)合材料，近年來在軍事領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，如M113裝甲輸送車、CV90步兵戰(zhàn)車、BvS10裝甲全地形車等，都已采用橡膠履帶進(jìn)行作戰(zhàn)訓(xùn)練。橡膠履帶作為一種橡膠- 簾線復(fù)合材料，在服役條件下具有超彈性、大變形和各向異性等力學(xué)特性，其性能優(yōu)劣直接決定了作戰(zhàn)保障車輛的使用壽命[1]。因此，建立一種本構(gòu)模型以準(zhǔn)確表征橡膠履帶復(fù)合材料的力學(xué)行為，對于研究其性能和壽命等具有重要的理論意義和工程價值。

國內(nèi)外學(xué)者針對橡膠- 簾線復(fù)合材料提出了許多模型。Levin等[2]基于代表性體積元法建立了橡膠- 簾線復(fù)合材料數(shù)值模型，但代表性體積元陣列難以真實反映材料微細(xì)觀構(gòu)造，在預(yù)測剪切、彎曲等性能時誤差較大。Ren等[3]在Mooney-Rivilin模型基礎(chǔ)上推導(dǎo)了包含簾線材料的拉伸模量修正公式，但該模型在預(yù)測其他性能時效果較差。Cho等[4]基于加強(qiáng)筋模型建立了橡膠- 簾線有限元模型，但采用加強(qiáng)筋模型需要對橡膠與簾線材料性能進(jìn)行單獨(dú)考慮，從而忽略了二者之間的相互作用關(guān)系；陳洪月等[5]將橡膠基體簡化為線彈性材料，建立了鋼絲繩芯橡膠輸送帶本構(gòu)模型。

基于纖維增強(qiáng)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論[6]的各向異性本構(gòu)模型，能夠較好地反映大變形和非線性等材料特性，近年來學(xué)者們圍繞該理論提出了許多適用于橡膠- 簾線復(fù)合材料的本構(gòu)模型。Peng等[7]建立了一種適用于輪胎的各向異性超彈性本構(gòu)模型，并提出一種參數(shù)識別方法；Yang等[8-9]建立了一種具有雙向簾線的橡膠- 簾線本構(gòu)模型。談炳東等[10]以短纖維增強(qiáng)三元乙丙橡膠包覆膜為研究對象，將應(yīng)變能解耦為各向同性部分和各向異性部分；但該模型忽略了橡膠與簾線間的作用，當(dāng)簾線偏角大于45°時模型預(yù)測效果較差。黃小雙等[11]和郭國棟等[12]對Peng等[7]的模型進(jìn)行改進(jìn)，分別考慮剪切作用、法向作用和應(yīng)變率效應(yīng)等因素，進(jìn)一步提高了模型的準(zhǔn)確性和應(yīng)用范圍。劉海健等[13]建立了一種適用于粒子分離器鼓包的橡膠- 簾線本構(gòu)模型。

近年來，為解決橡膠履帶橫向剛度不連續(xù)的問題，國外提出了偏置簾線鋪設(shè)形式[14-16]，以改善履帶橫向剪切應(yīng)力分布。但國內(nèi)尚無相關(guān)研究用于指導(dǎo)橡膠履帶的工程設(shè)計。此外，目前在橡膠履帶式車輛性能分析[17-19]中大多基于線彈性或各向同性理論對橡膠履帶進(jìn)行簡化，難以準(zhǔn)確反映其真實力學(xué)行為。針對此問題，本文開展不同簾線偏角的橡膠- 簾線復(fù)合材料單軸拉伸試驗研究，分析簾線偏角對材料力學(xué)性能的影響?；诶w維增強(qiáng)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論建立一種橡膠- 簾線超彈性模型，并提出一種基于粒子群優(yōu)化算法和牛頓迭代法的模型參數(shù)尋優(yōu)擬合方法。最后，利用Abaqus軟件的UANISOHYPER_INV子程序驗證所建模型在有限元分析中的適應(yīng)性和正確性。

1 試驗研究

1.1 試樣制備

橡膠履帶以硫化橡膠為基體材料，根據(jù)不同部位的性能要求采用不同膠料配方。履帶中鋪設(shè)有鋼絲簾線作為加強(qiáng)層，用于承受車輛牽引力。花紋內(nèi)部沿履帶寬度方向鋪設(shè)有玻璃纖維棒。橡膠履帶基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 橡膠履帶結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure diagram of rubber track

由圖1可知，橡膠履帶中鋼絲簾線嵌入簾線膠中。因此，橡膠- 簾線復(fù)合材料試樣以簾線膠為基體材料，以鋼絲簾線為增強(qiáng)材料。試驗所用試樣由青島開世密封工業(yè)有限公司生產(chǎn)，試樣長度為145 mm(其中標(biāo)距段長度為95 mm)，寬度為25 mm，厚度為2.9 mm，簾線所占體積比約為0.11.定義履帶長度方向為0°，分別制備簾線鋪設(shè)角度為0°、15°、45°、60°、90°的試樣。簾線偏角定義如圖2所示。

圖2 簾線偏角示意圖Fig.2 Schematic diagram of cord off-axis angle

1.2 單軸拉伸試驗

利用美國Instron公司生產(chǎn)的5982型萬能材料試驗機(jī)對橡膠- 簾線試樣進(jìn)行單軸拉伸試驗。由于試樣在拉伸過程中變形速率較快，為防止損壞引伸計，采用南京中迅微傳感技術(shù)有限公司生產(chǎn)的PMLAB非接觸式測量系統(tǒng)測量試樣變形。試驗測試系統(tǒng)如圖3所示。

圖3 單軸拉伸試驗測試系統(tǒng)Fig.3 Test system for uniaxial tension experiment

為消除Mullins效應(yīng)對試驗結(jié)果的影響，對試樣進(jìn)行預(yù)處理，即重復(fù)進(jìn)行加載- 卸載循環(huán)，每次加載位移為5 mm，直至最后兩次循環(huán)曲線基本相同。設(shè)置拉伸速率為50 mm/min，該條件下試樣應(yīng)變率約為5.75×10-3s-1.試驗時，調(diào)整雙目相機(jī)拍攝頻率，使其與拉伸速率相匹配。

1.3 試驗結(jié)果分析

為消除預(yù)加載后橡膠- 簾線試樣產(chǎn)生的殘余變形，對試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，得到不同簾線偏角下試樣的單軸拉伸試驗數(shù)據(jù)，如圖4所示。

圖4 不同簾線偏角下試樣的單軸拉伸試驗數(shù)據(jù)Fig.4 Uniaxial tension data with different cord off-axis angles

由圖4可以看出，不同簾線偏角下橡膠- 簾線復(fù)合材料的力學(xué)性能并不相同。對于指應(yīng)變條件下的橡膠- 簾線復(fù)合材料，當(dāng)簾線偏角較小時，簾線偏角對材料力學(xué)性能的影響較為顯著，其拉伸模量和拉伸強(qiáng)度隨簾線偏角的增大而減?。划?dāng)簾線偏角較大時，簾線偏角對材料力學(xué)性能的影響逐漸減小。根據(jù)應(yīng)力傳遞理論，在單軸拉伸載荷作用下，橡膠基體首先受到力的作用，然后通過一定方式傳遞到簾線或橡膠- 簾線界面上。當(dāng)簾線偏角較小時，與橡膠材料相比，簾線材料具有較大的拉伸模量，此時簾線是主要承載結(jié)構(gòu)；當(dāng)簾線偏角較大時，應(yīng)力傳遞規(guī)律被破壞，簾線的主導(dǎo)作用降低，因此材料力學(xué)性能的變化不夠顯著。

2 橡膠- 簾線復(fù)合材料本構(gòu)模型

2.1 本構(gòu)模型一般形式

橡膠履帶是一種單向纖維增強(qiáng)復(fù)合材料，根據(jù)Spencer等[6]提出的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料理論，其應(yīng)變能函數(shù)W可以表示為關(guān)于右Cauchy-Green應(yīng)變張量C不變量和簾線初始方向向量a0的各向同性函數(shù)，如(1)式所示：

W=W(C,a0)=W(I1,I2,I3,I4,I5)，

(1)

(2)

將橡膠- 簾線復(fù)合材料應(yīng)變能解耦為橡膠變形產(chǎn)生的應(yīng)變能Wm、簾線拉伸產(chǎn)生的應(yīng)變能Wf以及橡膠與簾線相互作用產(chǎn)生的應(yīng)變能Wf，m.因此，應(yīng)變能函數(shù)W可寫為(3)式：

W=W(C,a0)=Wm+Wf+Wf，m.

(3)

σ=J-1FSFT=2{W1B-W2B-1+I4W4a?a+
I4W5(a?Ba+Ba?a)}-pI，

(4)

式中：Wi=?W/?Ii，i=1，2，3，4，5；F為變形梯度張量；B=FFT為左Cauchy-Green應(yīng)變張量；a為當(dāng)前構(gòu)形中簾線方向單位向量；p為靜水壓力；I為2階單位張量。

2.2 橡膠應(yīng)變能函數(shù)

通常橡膠應(yīng)變能函數(shù)可分為兩大類[21]：一類是基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的唯象模型，如Neo-Hookean模型、Mooney-Rivlin模型等；另一類是基于熱力學(xué)統(tǒng)計方法的分子鏈網(wǎng)絡(luò)模型，如Arruda-Boyce模型等。為便于模型參數(shù)擬合，一般選擇基于不變量的唯象模型表征橡膠材料。不同的本構(gòu)模型都具有相應(yīng)的適用范圍[22]，因此應(yīng)當(dāng)根據(jù)具體的橡膠材料試驗數(shù)據(jù)來確定橡膠應(yīng)變能函數(shù)形式。

2.3 簾線應(yīng)變能函數(shù)

將簾線視為不可壓縮材料，即處于壓縮狀態(tài)的簾線應(yīng)變能為0.簾線的應(yīng)變能與其拉伸情況相關(guān)，因為I4等于簾線方向拉伸率λf的平方，故一般將其應(yīng)變能函數(shù)定義為關(guān)于I4-1的多項式[23-24]或指數(shù)函數(shù)形式[9]。為便于模型參數(shù)擬合，本文定義簾線應(yīng)變能函數(shù)Wf[20]為

(5)

式中：k1、k2和k3為材料參數(shù)(MPa)。

2.4 橡膠與簾線相互作用應(yīng)變能函數(shù)

橡膠與簾線相互作用產(chǎn)生的應(yīng)變能Wf，m可利用基體法向與簾線方向的夾角φ表示[20]為

Wf，m=f(I4)(mtan4φ+ntan2φ)，

(6)

f(I4)=exp[l(I4-1)]，

(7)

式中：l為無量綱材料參數(shù)。

3 模型參數(shù)擬合與驗證

3.1 橡膠應(yīng)變能函數(shù)參數(shù)擬合

簾線偏角為90°的單軸拉伸試驗數(shù)據(jù)可近似作為純橡膠材料單軸拉伸試驗數(shù)據(jù)[25-26]，試驗結(jié)果如圖5所示。該拉伸條件下，總應(yīng)變能W等于橡膠變形產(chǎn)生的應(yīng)變能Wm，即Wf=Wf，m=0.因此，由(4)式可得

(8)

式中：σi(i=1,2,3)為主應(yīng)力；λi為對應(yīng)的主伸長率。

單軸拉伸時，有σ1=σ(σ為名義應(yīng)力)，σ2=σ3=0 MPa.分別采用Yeoh模型、Mooney-Rivlin模型和2階多項式模型對試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖5所示。其中，各模型表達(dá)式為

圖5 簾線偏角為90°時單軸拉伸試驗數(shù)據(jù)與擬合結(jié)果Fig.5 Test data and fit curves of 90° off-axis tension

Yeoh模型：

Wm=C10(I1-3)+C20(I1-3)2+C30(I1-3)3，

(9)

式中：C10、C20、C30為材料參數(shù)(MPa)。

Mooney-Rivlin模型：

Wm=C10(I1-3)+C01(I2-3)，

(10)

式中：C01為材料參數(shù)(MPa)。

2階多項式模型：

Wm=C10(I1-3)+C01(I2-3)+C20(I1-3)2+
C02(I2-3)2+C11(I1-3)(I2-3)，

(11)

式中：C02和C11為材料參數(shù)(MPa)。

由圖5分析可知，2階多項式模型對試驗數(shù)據(jù)的擬合效果最好。因此選用2階多項式模型表征橡膠基體材料，模型參數(shù)C10、C01、C20、C02分別為C10=-87.899 0 MPa，C01=94.341 4 MPa，C20=1 662.885 4 MPa，C02=2 508.631 1 MPa，C11=-4 025.691 0 MPa.

3.2 簾線應(yīng)變能函數(shù)參數(shù)擬合

利用簾線偏角為0°的單軸拉伸試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行簾線應(yīng)變能函數(shù)的參數(shù)擬合。在該拉伸條件下，總應(yīng)變能W等于橡膠變形產(chǎn)生的應(yīng)變能Wm和簾線拉伸產(chǎn)生的應(yīng)變能Wf之和，且拉伸應(yīng)變ε與不變量I4間存在如下關(guān)系式：

(12)

根據(jù)(12)式，可由簾線偏角為0°的單軸拉伸應(yīng)力- 應(yīng)變曲線(見圖6)建立(I4-1)-Wf關(guān)系。采用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)擬合，得到簾線應(yīng)變能函數(shù)參數(shù)k1、k2和k3分別為0.023 8 MPa、4.841 9 MPa、989.355 8 MPa.

圖6 簾線偏角為0°時單軸拉伸試驗數(shù)據(jù)與擬合結(jié)果Fig.6 Experimental data and fit curve of 0° off-axis tension

3.3 橡膠與簾線相互作用應(yīng)變能函數(shù)參數(shù)擬合

利用簾線偏角為15°的單軸拉伸試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行橡膠與簾線相互作用應(yīng)變能函數(shù)的參數(shù)擬合。該拉伸條件下，總應(yīng)變能W包括橡膠變形產(chǎn)生的應(yīng)變能Wm、簾線拉伸產(chǎn)生的應(yīng)變能Wf以及橡膠與簾線相互作用產(chǎn)生的應(yīng)變能Wf，m.由(4)式可得

(13)

式中：α為簾線偏角。

由于σ1=σ，σ2=σ3=0 MPa，由(13)式可得

(14)

(14)式包含未知量λ1～λ3、l、m和n.為確定參數(shù)l、m和n的值，提出一種基于粒子群優(yōu)化(PSO)算法和牛頓迭代法的參數(shù)尋優(yōu)算法[27-28]，其基本流程如下：

1)設(shè)置初始參數(shù)。因為待求參數(shù)為l、m和n，所以第i個粒子的位置xi表示為

xi=[xi1,xi2,xi3]，

(15)

則種群數(shù)量為N的粒子群X表示為

X=[x1,x2,…,xN].

(16)

設(shè)定種群數(shù)量N=30，學(xué)習(xí)因子c1=c2=2，最大迭代次數(shù)M=100，每個粒子的位置分量變化范圍均為[-20,20]，速度變化范圍均為[-2,2]。

2)對于某一粒子，即給定參數(shù)l、m和n時，可根據(jù)牛頓迭代法計算得到λ2和λ3.粒子的適應(yīng)度函數(shù)F如下：

(17)

式中：r為試驗數(shù)據(jù)個數(shù)；σcj為名義應(yīng)力計算值；σtj為名義應(yīng)力測試值。F的值越趨近于1，表明粒子的適應(yīng)度越好。

3)根據(jù)(15)式計算每個粒子的適應(yīng)度，并更新個體最優(yōu)值pi和全局最優(yōu)值g.

4)根據(jù)(16)式和(17)式更新粒子位置xi和速度vi：

xi(t+1)=xi(t)+vi(t+1)，

(18)

vi(t+1)=
vi(t)+c1[pi-xi(t)]+c2[g-xi(t)].

(19)

5)當(dāng)達(dá)到最大進(jìn)化次數(shù)M后停止迭代，否則返回步驟2進(jìn)行新一輪迭代。

采用PSO-牛頓迭代法，得到橡膠與簾線相互作用的應(yīng)變能函數(shù)參數(shù)l、m以及n分別為7.832 6、-1.389 0 MPa、0.325 9 MPa.

簾線偏角為15°時單軸拉伸數(shù)據(jù)、擬合與仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 簾線偏角為15°時單軸拉伸數(shù)據(jù)、擬合與仿真結(jié)果Fig.7 Test data,fit and simulation curves of 15° off-axis tension

3.4 本構(gòu)模型驗證

根據(jù)(5)式、(6)式和(11)式以及擬合所得模型參數(shù)，可以得到橡膠- 簾線復(fù)合材料本構(gòu)模型。為驗證該模型的正確性，分別對簾線偏角為45°和60°的單軸拉伸試驗進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果如圖8和圖9所示。由圖8和圖9可以看出，模型預(yù)測結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)趨勢基本一致，決定系數(shù)R2分別為0.992 8和0.982 9，預(yù)測效果較為理想。

圖8 簾線偏角為45°時單軸拉伸試驗數(shù)據(jù)、預(yù)測與仿真結(jié)果Fig.8 Test data,prediction and simulation curves of 45° off-axis tension

圖9 簾線偏角為60°時單軸拉伸試驗數(shù)據(jù)、預(yù)測與仿真結(jié)果Fig.9 Test data,prediction and simulation curves of 60° off-axis tension

4 模型仿真應(yīng)用驗證

為考察本文所提像膠- 簾線復(fù)合材料本構(gòu)模型在有限元仿真中的適用性，并進(jìn)一步驗證模型的正確性，基于該模型，利用Abaqus軟件UANISOHYPER-INV接口定義材料屬性，分別對簾線偏角為15°、45°和60°的單軸拉伸試驗工況進(jìn)行數(shù)值仿真。

根據(jù)試樣尺寸和試驗條件建立仿真模型，其中夾持一端采用固定約束，另一端沿拉伸方向設(shè)置位移載荷。根據(jù)應(yīng)變量設(shè)定不同的拉伸位移，得到仿真應(yīng)力云圖如圖10所示。提取應(yīng)力和應(yīng)變仿真結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行對比(見圖7～圖9)。提取不同簾線偏角下試樣的橫向剛度仿真結(jié)果，結(jié)果如圖11所示，并計算其平均值和方差，如表1所示。

表1 不同簾線偏角下試樣橫向剛度的平均值和方差Tab.1 Mean and variance of lateral stiffness of specimens with different off-axis angles

圖10 不同簾線偏角下試樣的單軸拉伸仿真結(jié)果Fig.10 Simulated results of specimens with different off-axis angles

圖11 不同簾線偏角下試樣橫向剛度的仿真結(jié)果Fig.11 Lateral stiffnesses of specimens with different off-axis angles

由圖7～圖9可見，仿真結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)趨勢基本一致，最大仿真誤差分別為5.05%、10.86%和8.79%，在可接受范圍內(nèi)。分析誤差產(chǎn)生的原因主要有以下4點：1)由圖8和圖9可以看出，基于簾線偏角為90°、0°和15°單軸拉伸數(shù)據(jù)擬合得到的模型參數(shù)在預(yù)測簾線偏角為45°和60°試驗數(shù)據(jù)時存在應(yīng)力值偏大的現(xiàn)象，使用該模型及其參數(shù)定義材料屬性時，勢必將此誤差引入有限元仿真中。2)橡膠材料具有Mullins效應(yīng)，雖然在試驗前對試樣進(jìn)行了預(yù)加載等處理，但仍無法完全消除其影響；而本文模型沒有考慮橡膠材料的Mullins效應(yīng)，因此基于該模型的有限元仿真無法完全反映試樣實際變形情況。3)為消除預(yù)加載產(chǎn)生的殘余變形，需要對試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，這也會引入一定誤差。4)為避免出現(xiàn)不收斂問題，對有限元模型進(jìn)行了一定程度的簡化，例如采用固定約束將夾具與試樣固聯(lián)。但在實際試驗時，雖然采取涂抹松香等措施，夾具與試樣間仍存在輕微滑移。

結(jié)合單軸拉伸試驗數(shù)據(jù)分析圖10、圖11和表1可知，對于指定應(yīng)變條件下的橡膠- 簾線復(fù)合材料，當(dāng)簾線偏角較小時，橡膠- 簾線復(fù)合材料的拉伸強(qiáng)度和縱向剛度較大，橫向剛度均值較小且波動較大，此狀態(tài)下應(yīng)力主要沿簾線方向分布，簾線偏角對橡膠- 簾線復(fù)合材料的變形影響較大。隨著簾線偏角逐漸變大，橡膠- 簾線復(fù)合材料的拉伸強(qiáng)度和縱向剛度減小，而橫向剛度趨于穩(wěn)定且均值逐漸增大，此狀態(tài)下應(yīng)力分布較為均勻。由上述分析可以看出，當(dāng)應(yīng)變條件一定時，簾線偏角大小是影響橡膠- 簾線復(fù)合材料拉伸強(qiáng)度和剛度的關(guān)鍵因素，合理設(shè)計橡膠履帶的簾線偏角能夠使其在提供足夠縱向拉伸強(qiáng)度的同時，保持較好的橫向剛度穩(wěn)定性，從而提高橡膠履帶性能。

此外，通過仿真結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)的對比分析表明，本文建立的橡膠- 簾線復(fù)合材料本構(gòu)模型能夠較好地應(yīng)用于有限元仿真，也為下一步開展橡膠履帶式裝備的有限元分析研究奠定了基礎(chǔ)。

5 結(jié)論

本文以橡膠履帶為研究對象，對具有不同簾線偏角的橡膠- 簾線試驗進(jìn)行單軸拉伸試驗，研究了簾線偏角對其材料力學(xué)性能的影響。在此基礎(chǔ)上，基于纖維增強(qiáng)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論，建立了一種適用于橡膠履帶柔性復(fù)合材料的各向異性超彈性本構(gòu)模型。得到主要結(jié)論如下：

1) 簾線偏角是決定橡膠- 簾線復(fù)合材料強(qiáng)度和剛度的關(guān)鍵因素。當(dāng)簾線偏角較小時，簾線偏角對材料力學(xué)性能的影響較為顯著，材料的拉伸模量隨簾線偏角的增大而減小。當(dāng)簾線偏角較大時，簾線偏角對材料力學(xué)性能的影響逐漸減小。

2) 考慮橡膠與簾線剪切作用所建立的各向異性超彈性本構(gòu)模型，能夠準(zhǔn)確反映橡膠- 簾線復(fù)合材料在拉伸變形下的力學(xué)行為。同時，基于PSO-牛頓迭代法提出的模型參數(shù)尋優(yōu)擬合方法能夠較為準(zhǔn)確地得到模型參數(shù)。

3) 利用Abaqus軟件的UANISOHYPER-INV子程序進(jìn)行的單軸拉伸仿真結(jié)果表明，仿真結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)趨勢基本一致，最大仿真誤差約為10.86%，進(jìn)一步驗證了所建模型的正確性和有效性。本文模型為橡膠履帶工程設(shè)計和相關(guān)裝備的有限元分析奠定了理論基礎(chǔ)。