函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

■郭國山

高中數(shù)學(xué)解題中，函數(shù)與方程思想的應(yīng)用就是通過函數(shù)與參數(shù)，建立已知與未知之間的關(guān)系，從而更好地解決抽象數(shù)學(xué)問題。下面具體來分析它們的應(yīng)用。

一、在數(shù)列問題中的應(yīng)用

從函數(shù)的角度看，數(shù)列會給人們一種直觀的呈現(xiàn)，其屬于特殊的函數(shù)表達式。函數(shù)與數(shù)列之間的關(guān)系并不僅僅是含義相近，更多的是數(shù)列本身蘊含著很強的函數(shù)意義，在解決數(shù)列問題時，靈活地應(yīng)用函數(shù)與方程思想，能讓問題更加快速地得到解決。

例如：假設(shè)數(shù)列的an{ }的前n項和Sn滿足Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N*，并且S3=15。試求：

(1)a1、a2、a3的值。

(2)數(shù)列an{ }的通項公式。

分析：在這個題目中就可以先通過函數(shù)與方程思想，將問題中的各種數(shù)量關(guān)系結(jié)合在一起，形成一個不可分割的整體，然后構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，通過等式運算得出結(jié)論。

根據(jù)題目信息，先列出關(guān)于Sn的方程式，從而得出a1=3，a2=5，a3=7。由于Sn=2nan+1-3n2-4n，當(dāng)n≥2時，Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1)，合并整理可以得出an+1=。最后通過數(shù)學(xué)歸納法可以得出n∈N*，an=2n+1。

二、在三角函數(shù)中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)中，三角函數(shù)是一個十分重要的知識點，通過函數(shù)與方程思想，可以將三角函數(shù)的性質(zhì)、求值、證明等復(fù)雜問題變成簡單的代數(shù)問題。

例如：已知sinα+cosα=，α∈(0，π)，求tanα的值。

分析：本題可以通過三角函數(shù)的變量關(guān)系建立相應(yīng)的一元二次方程根的代數(shù)式，將復(fù)雜的三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)變成熟悉的一元二次方程求根形式。

由sinα+cosα=，得出sinαcosα=，可以將sinα，cosα看成是方程x2-的兩個根，通過解一元二次方程，可以得出。由于x∈(0，π)，sinαcosα＜0，可以得出sinα=，cosα=-，所以tanα=。

三、在現(xiàn)實問題中的應(yīng)用

隨著教學(xué)改革的推進，以社會生產(chǎn)、現(xiàn)實生活為背景的數(shù)學(xué)題目也越來越多。對于現(xiàn)實問題，同學(xué)們應(yīng)靈活應(yīng)用函數(shù)與方程思想進行解題，以此強化實際的解題能力。

例如：班級中20 名同學(xué)在小區(qū)植樹，每個人植1 棵，相鄰的兩棵樹距離為10m，開始的時候，樹苗集中放在某一棵樹的旁邊，對樹坑進行編號，為1～20，為了讓學(xué)生從領(lǐng)取樹苗到自己所對應(yīng)的樹坑所走的距離和最短，則樹苗放置在哪兩個樹坑編號旁最合適?

分析：解題時，可以將樹苗放置的樹坑編號設(shè)為x，列出學(xué)生領(lǐng)樹苗到對應(yīng)樹坑所走的總距離，取S的最小值，y=(1-x)2+(2-x)2+…+(20-x)2=20x2-420x+(12+22+…+202)，結(jié)合二次函數(shù)的知識，可以得出函數(shù)y=20x2-420x+(12+22+…+202)的對稱軸是y=10.5。根據(jù)題意可知x取整數(shù)，可得x=10或x=11。所以樹苗應(yīng)放在10號、11號樹坑旁邊。