“立體幾何”解題教學(xué)課例

作者簡(jiǎn)介：宋平（1990-），女，貴州湄潭人，大學(xué)本科，中學(xué)二級(jí)教師，研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究。

摘 要： 高頻考點(diǎn)：異面直線、直線與平面及平面與平面所成的角;直線與平面平行、直線與平面垂直及平面與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理;平面的法向量、相似三角形、射影定理等。

關(guān)鍵詞： 立體幾何;解題教學(xué)

【中圖分類號(hào)】G4 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【DOI】10.12215/j.issn.1674-3733.2020.36.222

1 教材、學(xué)情透析

立體幾何是研究三維空間中物體的形狀、大小和位置關(guān)系的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，而三維空間是人們生存發(fā)展的現(xiàn)實(shí)空間。所以，學(xué)習(xí)立體幾何對(duì)我們認(rèn)識(shí)、理解現(xiàn)實(shí)世界，更好地生存與發(fā)展具有重要的意義?！读Ⅲw幾何初步》這部分內(nèi)容，是在義務(wù)教育階段“空間與圖形”課程的延續(xù)與發(fā)展，教材的編寫力圖凸顯《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)立體幾何的教學(xué)要求，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辯論證、度量計(jì)算等方法，以幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)逐步形成空間想像能力這一教學(xué)目的。

必修2作為高一下學(xué)期必修內(nèi)容，學(xué)生處在一個(gè)轉(zhuǎn)型的階段，此時(shí)學(xué)生的空間想象能力不夠豐富，解題意識(shí)、解題技巧不夠完善。但立體幾何內(nèi)容在高考中的比重非常大，年年必考，全國卷注重對(duì)異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的平面角、線面平行垂直的判定及性質(zhì)定理、 線面垂直的判定及性質(zhì)定理、面面垂直的判定及性質(zhì)定理的理解與應(yīng)用。立足基礎(chǔ)知識(shí)、能力考查，學(xué)生在復(fù)習(xí)立體幾何模塊時(shí)，要注重對(duì)基本概念的理解與應(yīng)用，提升自己的空間想象能力。

2 核心問題

結(jié)合題目中給的條件綜合利用立體幾何中的公理、定理、推論等知識(shí)求線面平行、線面垂直、面面垂直及異面直線所成角、線面角、二面角等知識(shí)點(diǎn).通過探索高考真題的解題思想和方法，讓學(xué)生去思考數(shù)學(xué)的本質(zhì).從而拓展思維、增強(qiáng)空間想象能力。

3 核心素養(yǎng)目標(biāo)

（1）通過本題讓學(xué)生能夠以基本知識(shí)為框架，理解教材中的公理、定理及推論，掌握用公理、定理及推論證明線面平行、線面垂直、面面垂直;

（2）能用向量的方法證明公理、定理及推論;能用向量方法解決線線夾角、線面夾角、面面夾角的計(jì)算問題，并了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用。

（3）通過不同方法的講解，豐富學(xué)生的解題技巧，讓學(xué)生通過題目中的解題思想能夠滲透概念，能形成完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系;

（4）真題的訓(xùn)練能夠培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、 鍛煉計(jì)算能力，形成邏輯推理能力.此外讓學(xué)生體會(huì)到采用向量法解決立體幾何問題的優(yōu)越性.從解題方法中體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的美感以及解題的愉悅感。

4 課堂模式

采用呂傳漢教授“三教”教學(xué)思想，進(jìn)行分組合作探討式學(xué)習(xí)，在教師的引導(dǎo)中，在學(xué)生中找出不同的解法，并讓學(xué)生在臺(tái)上展示，針對(duì)學(xué)生的解答，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的亮點(diǎn)，指正不足.讓學(xué)生從從題海中解脫出來，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，增強(qiáng)知識(shí)的系統(tǒng)性與連貫性，從而使學(xué)生能夠抓住問題的本質(zhì)，加深對(duì)問題的理解。

5 高考閱卷感想

（1）考生存在的問題：

從閱卷場(chǎng)所反饋的考試答題來看，考生中還存在很多問題，主要表現(xiàn)在以下幾種形式：

第一，審題不清楚，不能從材料里提煉有效信息，沒有根據(jù)所給的材料認(rèn)真分析問題，指明不清;甚至有的同學(xué)直接把題目抄寫一篇，這種是不給分的。

第二，邏輯思路混亂。很多考生寫了很多線與線垂直，線面垂直，甚至出現(xiàn)一個(gè)大寫字母與另一個(gè)大寫字母垂直。

第三，空間直角坐標(biāo)系的建立不規(guī)范，坐標(biāo)表示錯(cuò)誤，這與數(shù)學(xué)的規(guī)范要求相悖。

第四，字比較潦草，思路很混亂，學(xué)生做數(shù)學(xué)題像寫作文，一行一行的寫，甚至很多數(shù)學(xué)關(guān)系符號(hào)用文字代替。

第五，計(jì)算不好，很多計(jì)算出錯(cuò)。

（2）對(duì)新一輪高三復(fù)習(xí)和數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

根據(jù)閱卷場(chǎng)所反饋的以上信息，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)空間幾何的教學(xué)和新一輪高三的復(fù)習(xí)提出以下的建議：

第一，立足基礎(chǔ)，回歸教材。首先要做好的就是先從教材入手，以四個(gè)公理為基礎(chǔ)，逐步培養(yǎng)學(xué)生建立比較完善的空間幾何的知識(shí)體系，學(xué)生要弄清楚線線、線面平行和垂直的知識(shí)聯(lián)系，有哪些重要的定理、方法等。如果遇到證明題，證明過程中差條件（自己證明不出來），直接拿來用，繼續(xù)往下證明，能得一部分分?jǐn)?shù)。

第二，什么都不會(huì)的那種，要求他學(xué)會(huì)審題，就是題目中的條件，你能得出什么結(jié)論，就寫什么。一定要是正確的結(jié)論，就可以拿到分?jǐn)?shù)。

第三，基礎(chǔ)好的學(xué)生，不要追求一些偏的解題方法，這種答題一般都不會(huì)給滿分，因?yàn)楦木肀容^快，老師一時(shí)拿不準(zhǔn)的都會(huì)扣分。比如你全部正確，第一個(gè)老師滿分，第二個(gè)老師看不懂給10分，就出現(xiàn)仲裁卷了。所以老師一般會(huì)11分，這樣另一個(gè)老師給12分和10分都不會(huì)出現(xiàn)仲裁卷。

第四，加強(qiáng)計(jì)算能力，因?yàn)楦呖荚囶}出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤就很難做出正確的結(jié)果。

第五，將向量方法逐步切入到空間幾何，使幾何法和向量法有效的結(jié)合，兩種方法并重，提升空間幾何在考試中的得分率。

6 長見識(shí)悟道理

長見識(shí)：規(guī)范自己的解題過程，能夠采用不同的方法解決，特別是射影定理在解決二面角中的優(yōu)越性更要認(rèn)真體會(huì)和理解，在解題中面對(duì)問題要注重細(xì)節(jié)，平時(shí)要多積累解決最值問題的思路和方法。

悟道理：考試中時(shí)間有限，平時(shí)學(xué)習(xí)中要對(duì)基本知識(shí)、基本概念熟悉掌握，若解題中線線垂直找不到，可回歸到基本定義，不養(yǎng)成思維定式的習(xí)慣，平時(shí)也要加強(qiáng)對(duì)課外知識(shí)的閱讀，豐富自己的解題方法，從而將思想和方法融會(huì)貫通，把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。問題解決的同時(shí)，也增強(qiáng)了自己學(xué)習(xí)的自信和興趣。