鑄造工業(yè)的感應(yīng)加熱第十講 導(dǎo)電坩堝感應(yīng)熔煉電爐的設(shè)計(jì)與感應(yīng)器參數(shù)的計(jì)算

李韻豪

應(yīng)達(dá)（中國） 供圖

編者按：本刊從2020年第1期開始連續(xù)12期連載李韻豪撰寫的《鑄造工業(yè)的感應(yīng)加熱》系列講座，主要涉及目前鑄造工業(yè)應(yīng)用最多的中頻無心感應(yīng)電爐，介紹各類鑄鐵、鋼，以及有色金屬中鋁、銅及其合金感應(yīng)熔煉爐和保溫爐的選型，電爐的設(shè)計(jì)以及感應(yīng)器參數(shù)的計(jì)算；金屬坩堝、石墨坩堝的設(shè)計(jì)以及感應(yīng)器參數(shù)的計(jì)算；專題討論感應(yīng)電爐的供電系統(tǒng)及變頻電源主電路的計(jì)算、諧波治理和功率因數(shù)提高問題；各類無心感應(yīng)電爐的耐火材料、筑爐工藝、感應(yīng)電爐循環(huán)水系統(tǒng)的設(shè)計(jì)；感應(yīng)電爐的環(huán)境因素、電氣電磁安全防護(hù)、環(huán)境保護(hù)問題等，內(nèi)容濃縮了作者幾十年的寶貴從業(yè)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)鑄造工廠感應(yīng)電爐熔煉設(shè)備的規(guī)劃、選型、操作、維修和管理，提供非常實(shí)用的參考與借鑒，敬請(qǐng)關(guān)注。

1 概述

無心感應(yīng)爐，又稱為坩堝式感應(yīng)爐。按坩堝類型可分為兩種：一種是耐火材料制成的坩堝，電磁感應(yīng)直接作用于爐料之中；另一種是在裝有爐料的導(dǎo)電坩堝中產(chǎn)生熱能，該爐型稱之為導(dǎo)電坩堝感應(yīng)熔煉電爐。

導(dǎo)電坩堝由導(dǎo)電材料制成坩堝，并對(duì)其進(jìn)行感應(yīng)加熱。導(dǎo)電坩堝作為盛裝被熔煉爐料的容器，還受電磁感應(yīng)而產(chǎn)生熱，而成為感應(yīng)器的主要負(fù)載。

1.1 導(dǎo)電坩堝的分類及應(yīng)用范圍

（1）導(dǎo)電坩堝的分類 導(dǎo)電坩堝按材料分為兩類：一類是鑄鐵、鋼類。由普通鑄鐵、含硅耐熱鑄鐵、含鋁耐熱鑄鐵、含鉻耐熱鑄鐵、低碳鋼、奧氏體或其他類型不銹鋼等鑄造或卷制而成；另一類是石墨坩堝類。石墨坩堝按成形方式不同分為塑性成形、等靜壓成形；根據(jù)爐料不同分為I類、II類坩堝。熔銅、貴金屬、稀土合金類坩堝為I類坩堝，熔鋁及低熔點(diǎn)金屬為II類坩堝。根據(jù)坩堝外形，又分為標(biāo)準(zhǔn)型坩堝、異型坩堝。標(biāo)準(zhǔn)型坩堝以容量數(shù)字和號(hào)的組合表示，簡稱“號(hào)”（也可用數(shù)字加“#”表示）。將能夠盛滿1kg液態(tài)黃銅的坩堝容量稱為1號(hào)（或1#）。

（2）導(dǎo)電坩堝的應(yīng)用范圍 用鑄鐵、鋼制成的坩堝作為發(fā)熱體熔煉非磁性、低電阻率的金屬材料是非常有利的。但鑄鐵、鋼的居里點(diǎn)一般為220～770℃，因此只適用于熔煉鋁、鎂、鉛、鋅等種類低熔點(diǎn)有色金屬材料。鑄鐵、鋼從材質(zhì)穩(wěn)定性考慮一般取該材料到達(dá)熔點(diǎn)50%～60%的溫度作為該材料長期使用的溫度。因此，鑄鐵、鋼坩堝只能熔煉800℃以下的有色金屬材料。只有部分耐熱鑄鐵、鋼坩堝最高可長期工作在900℃。鑄鐵、鋼坩堝按溫度劃分為三類。低溫類：工作溫度為500℃，用于熔煉鋁、鋅、錫及其合金；中溫類：工作溫度為700℃，用于熔煉鎂、鋁及其合金；高溫類：工作溫度900℃，用于熔煉某些牌號(hào)鋁合金。表1介紹了不同材質(zhì)的鑄鐵、鋼坩堝長期使用溫度。

表1 鑄鐵、鋼坩堝及其長期使用溫度[1]

石墨是熱的良導(dǎo)體。石墨的電阻率比一般鑄鐵、鋼要高很多，與有色金屬爐料的電阻率比更是高出幾個(gè)數(shù)量級(jí)。石墨坩堝感應(yīng)熔煉電爐特別適合熔煉鋁、鎂、鉛、鋅等有色金屬，有較高熔點(diǎn)的銅合金、稀土合金、貴金屬等也往往用石墨坩堝爐子熔煉。石墨可以在高溫下長期工作，在保護(hù)氣氛中使用溫度可在3000℃以上，機(jī)械強(qiáng)度在高溫區(qū)段隨溫度提高反而增加，電阻溫度系數(shù)小，相對(duì)磁導(dǎo)率恒為1，故爐子運(yùn)行工況穩(wěn)定，熔煉的全過程幾乎可做到恒功率。但石墨坩堝爐目前主要還是應(yīng)用于有色金屬領(lǐng)域。鑄鐵、鋼直接用石墨坩堝熔煉會(huì)使?fàn)t料增碳。

1.2 導(dǎo)電坩堝感應(yīng)熔煉電爐的特點(diǎn)

1）鑄鐵、鋼具有較高的導(dǎo)電能力。石墨坩堝是以結(jié)晶型鱗片狀或針（塊）狀石墨為原料，添加耐火脊料、結(jié)合劑（黏土、碳化硅等），經(jīng)塑性成形或等靜壓成形，經(jīng)高溫?zé)Y(jié)的發(fā)熱體。我國生產(chǎn)的石墨坩堝普遍采用中碳石墨，wC為85%～93%。根據(jù)熔化金屬不同，爐子容量不同而選擇不同的石墨粒度。石墨是一種非金屬材料，但它卻具有金屬的某些特性。它的導(dǎo)電能力不亞于某些金屬，如比碳素鋼大兩倍、比不銹鋼大4倍。

2）鑄鐵、鋼坩堝是熱的優(yōu)良導(dǎo)體，它可以非常均勻地把熱傳遞給整個(gè)坩堝。石墨雖然是非金屬，其導(dǎo)熱性并不比金屬遜色。之所以用鱗片石墨制作坩堝就是利用其各向異性的特點(diǎn)，即沿鱗片表面的熱導(dǎo)性好，而垂直鱗片表面的熱導(dǎo)性就大大降低，因此將鱗片石墨定向排列，使坩堝有最大的熱導(dǎo)性。

根據(jù)電磁場(chǎng)理論，感應(yīng)器的電效率ηu跟感應(yīng)器線圈銅管的平均電阻率與導(dǎo)電坩堝材料（鑄鐵、鋼或石墨）作為線圈負(fù)載的平均電阻率之間有如下關(guān)系[2]：

式中ηu——不包括供電系統(tǒng)損耗功率，感應(yīng)器與導(dǎo)電坩堝的電效率，即導(dǎo)電坩堝吸收的有功功率與輸入感應(yīng)器功率的比值；

D1——感應(yīng)器線圈的內(nèi)徑（m）；

D22——導(dǎo)電坩堝的外徑（m）；

ρ1——感應(yīng)器線圈的平均電阻率（Ω·m）；

ρ2——導(dǎo)電坩堝材料的平均電阻率（Ω·m）；

μr——導(dǎo)電坩堝的相對(duì)磁導(dǎo)率。

由此可見，鑄鐵、鋼在居里點(diǎn)溫度以下時(shí)，相對(duì)磁導(dǎo)率較高，感應(yīng)器有較高的電效率。導(dǎo)電坩堝材料的電阻率相對(duì)感應(yīng)器線圈銅管的電阻率越高，感應(yīng)器電效率也越高。這也是我們?yōu)槭裁匆ㄟ^合理設(shè)計(jì)電流頻率、坩堝壁厚等，盡可能地將兩種介質(zhì)的感應(yīng)加熱轉(zhuǎn)化為單一介質(zhì)的感應(yīng)加熱，不僅是為了簡化參數(shù)計(jì)算，更是為了提高電效率。

3）在感應(yīng)器線圈內(nèi)徑D1與導(dǎo)電坩堝外徑D22之間填充的耐火材料，隔熱層和絕緣層的厚度比耐火材料打結(jié)的爐襯要薄，因此漏抗較小，爐子有較高的功率因數(shù)。用耐火材料打結(jié)的爐子熔煉有色金屬時(shí)，其功率因數(shù)在0.15左右。同樣是熔煉有色金屬，鑄鐵、鋼坩堝在居里點(diǎn)以下的功率因數(shù)高達(dá)0.55，而溫度超過居里點(diǎn)時(shí)，其功率因數(shù)也有0.30。

4）鑄鐵、鋼及石墨材料的熱膨脹系數(shù)低。這一特點(diǎn)使得這些材料制成的導(dǎo)電坩堝具有熱穩(wěn)定性能，能抗急冷急熱的變化。

5）導(dǎo)電坩堝存在氧化、腐蝕問題，除了根據(jù)被熔金屬特性選擇合適的坩堝外，制作坩堝時(shí)，應(yīng)采取適當(dāng)?shù)姆姥趸?、抗腐蝕的措施。例如，熔化鎂合金的坩堝表面噴鋁擴(kuò)散處理形成鋁鐵合金層，經(jīng)氧化生成含有Al2O3的結(jié)晶體，從而增強(qiáng)坩堝的抗氧化、耐腐蝕能力。石墨雖然在常溫下有較好的化學(xué)穩(wěn)定性，但高溫時(shí)非?；顫?。500℃時(shí)開始氧化，700℃時(shí)就不能抵擋高溫水蒸汽的侵蝕。900℃時(shí)就連不活躍的CO2氣體對(duì)其都有侵蝕作用。因此，調(diào)整石墨坩堝的成分，研究坩堝表面抗氧化、耐腐蝕涂層是提高石墨坩堝性能的主要課題。

2 導(dǎo)電坩堝感應(yīng)熔煉電爐的設(shè)計(jì)

導(dǎo)電坩堝的上述特點(diǎn)決定了鑄鐵、鋼坩堝以及石墨坩堝主要還是應(yīng)用于有色金屬的熔煉。2019年我國10種常用有色金屬（指有色金屬中生產(chǎn)量大，應(yīng)用比較廣的10種金屬包括鋁、銅、鉛、鋅、鎳、鎂、鈦、錫、銻、汞等）全年總產(chǎn)量5842萬t，其中鋁占10種有色金屬全年總產(chǎn)量近2/3。其余9種占1/3稍強(qiáng)。根據(jù)我們對(duì)有色金屬感應(yīng)熔煉行業(yè)的了解，使用導(dǎo)電坩堝熔煉鋁和其他有色金屬也大致是這個(gè)比例。導(dǎo)電坩堝感應(yīng)熔煉電爐的設(shè)計(jì)，熔煉的爐料就用產(chǎn)量最高、應(yīng)用最廣的鋁來舉例。

2.1 導(dǎo)電坩堝感應(yīng)熔煉電爐設(shè)計(jì)要點(diǎn)

1）導(dǎo)電坩堝是感應(yīng)器的主要負(fù)載。雖然導(dǎo)電坩堝感應(yīng)熔煉電爐是一種雙層存在于電磁場(chǎng)中，但由于坩堝壁厚（δ）大于坩堝內(nèi)的電流透入深度（Δ），大部分能量消耗于坩堝中。因此，往往將爐料部分略而不計(jì)。基于這種考慮，可以把坩堝作為發(fā)熱體（負(fù)載）進(jìn)行設(shè)計(jì)計(jì)算，計(jì)算程序與無心感應(yīng)熔煉電爐基本相同[1，2]。

2）多數(shù)情況下，被熔金屬的電阻率比導(dǎo)電坩堝材料的電阻率小很多，導(dǎo)電坩堝作為感應(yīng)器的主要負(fù)載，考慮到電磁波在坩堝與液態(tài)爐料界面的反射效應(yīng)，當(dāng)導(dǎo)電坩堝內(nèi)的電流透入深度大于坩堝壁厚時(shí)，作為實(shí)際用于計(jì)算的電流透入深度應(yīng)取為（0.8～0.9）Δ2，反之就按Δ2計(jì)算[3]。

3）具有兩種介質(zhì)的感應(yīng)熔煉電爐，可利用電磁場(chǎng)理論坡印亭poynting定理中的電磁場(chǎng)能量守恒及置換關(guān)系，導(dǎo)出了復(fù)合介質(zhì)感應(yīng)電爐的電阻、電抗計(jì)算公式。復(fù)合介質(zhì)電阻電抗的計(jì)算公式與單一介質(zhì)的公式形式相同，只是系數(shù)不同[4]。

2.2 爐子額定容量和結(jié)構(gòu)尺寸

（1）爐子額定容量 導(dǎo)電坩堝爐子額定容量的確定也是根據(jù)鑄造工廠生產(chǎn)綱領(lǐng)規(guī)定的鑄件金屬種類、冶金要求規(guī)劃年產(chǎn)量、班制、生產(chǎn)性質(zhì)（是間斷生產(chǎn)還是連續(xù)生產(chǎn)，如果是連續(xù)生產(chǎn)，又分短期連續(xù)還是長期連續(xù)、全年連續(xù)）、可能出現(xiàn)的最大鑄件的澆注量——導(dǎo)電坩堝在確定變頻電源功率時(shí)了解這些指標(biāo)尤為重要。導(dǎo)電坩堝爐子的額定容量一般都不會(huì)很大，因此爐子設(shè)計(jì)時(shí)多參照有色金屬小型爐子的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)。

（2）爐子容積及幾何尺寸

1）爐子液態(tài)有效容積VG：

式中VG——導(dǎo)電坩堝液態(tài)爐料容積（m3）；

GL——爐子額定容量（kg）；

γy——液態(tài)爐料密度（kg/m3）。

2）導(dǎo)電坩堝平均直徑D21和爐料高度H2：

導(dǎo)電坩堝平均直徑即液態(tài)爐料平均直徑。

導(dǎo)電坩堝按底部形狀分為兩種形式：一種是半球形（底部內(nèi)面為半球形，底部外表面為平底，內(nèi)腔有上大下小約1%的錐度，外壁為圓柱體；另一種為平底形。感應(yīng)熔煉電爐用的石墨坩堝適合于平底形，底部內(nèi)面半球形的坩堝感應(yīng)加熱電效率和功率因數(shù)都偏低。

底部半球形坩堝的平均直徑D21q：

底部平底形坩堝的平均直徑D21p：

式中D21q——底部為半球形坩堝的平均直徑（m）；

D21p——底部為平底形坩堝的平均直徑（m）；

Y—— 導(dǎo)電坩堝的液態(tài)爐料高度與平均直徑之比，即Y＝H2/D2。

底部為半球形的導(dǎo)電坩堝的H2分為兩部分：下半部分高度為球的半徑，即D21q/2，上半部分為H2-D21q/2（爐料總高H2）。關(guān)于Y的取值，參考文獻(xiàn)[1]中給出的是1～2，參考文獻(xiàn)[2，3]中給出的是1～1.5。我們按1～1.5取值。確定Y值一般考慮下列因素：

第一，在大氣條件下熔煉，某些有色金屬熔液中的氣體（如氫等）容易逸出，一般取下限。

第二，導(dǎo)電坩堝單位表面功率在40～80kW/m2。單位表面功率不宜超過80kW/m2。過高的功率密度會(huì)使導(dǎo)電坩堝使用壽命縮短。但若小于40kW/m2則會(huì)影響爐子的熔化率，熔煉時(shí)間過長，也會(huì)加劇液態(tài)爐料氧化和吸氣。

第三，如果僅從感應(yīng)器的電氣參數(shù)和爐子的技術(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)考慮，小容量爐子取上限，較大容量爐子取下限。但實(shí)際上現(xiàn)場(chǎng)考慮更多的是爐子結(jié)構(gòu)是否適合裝料、澆注的問題。

3）導(dǎo)電坩堝的高度H3：

式中H2——導(dǎo)電坩堝內(nèi)爐料高度（m）；

KH—— 導(dǎo)電坩堝最大允許超裝量為額定容量的10%，故KH＝1.1；

Kf—— 導(dǎo)電坩堝在使用時(shí)應(yīng)預(yù)留足夠的安全容量余量，爐料液面與坩堝頂部的距離系數(shù)，一般取Kf＝1.1；

Δgd'——導(dǎo)電坩堝底部厚度（m）。

實(shí)際應(yīng)用中，將石墨坩堝滿型號(hào)的0.64倍作為安全操作的容量范圍。這里把0.64指定為標(biāo)準(zhǔn)石墨坩堝的使用容量系數(shù)，其偏差為+0.05、－0.04。異型坩堝的使用容量系數(shù)由用戶向坩堝生產(chǎn)廠家協(xié)議確定。所謂滿型號(hào)表示坩堝盛滿液態(tài)黃銅的容量，即坩堝溢滿水的容量乘以8.3g/cm3的結(jié)果來表示（水的體積密度為1.0g/cm3），黃銅在液態(tài)下的體積密度這里按8.3g/cm3。根據(jù)有色金屬爐料液態(tài)密度與黃銅液態(tài)密度的比值，可計(jì)算出同型號(hào)坩堝熔化不同金屬的重量[5]。

4）感應(yīng)器線圈的內(nèi)徑D1：

式中Δg—— 導(dǎo)電坩堝爐襯總壁厚（m）。Δg包括導(dǎo)電坩堝壁厚Δgd、保溫層和絕緣層的厚度。爐襯總厚度可按表2選擇。

表2 導(dǎo)電坩堝感應(yīng)熔煉電爐爐襯總厚度Δg的選擇

導(dǎo)電坩堝壁厚Δgd確定的原則：

坩堝壁Δgd過厚，自身熱焓增加，間斷作業(yè)的爐子能耗將增加。如果每次僅熔化一爐，坩堝升溫所需熱能可能要超過被熔爐料所需的熱能。如果爐子間斷作業(yè)，坩堝壁厚Δgd過厚顯然是不經(jīng)濟(jì)的。但過薄，坩堝材料電流透入深度Δ2超過壁厚Δgd，使部分電磁波進(jìn)入低電阻率的爐料，感應(yīng)電流便通過由導(dǎo)電坩堝與爐料熔液形成雙層介質(zhì)，使?fàn)t子的電效率、功率因數(shù)下降。過薄的壁厚也會(huì)影響坩堝的剛度，并降低其使用壽命。

過熱溫度低于500℃有色金屬的爐子，導(dǎo)電坩堝壁厚Δgd主要從結(jié)構(gòu)剛度上考慮，一般取Δgd為15mm即可。但對(duì)熔煉某些合金，如鎂合金，為了適當(dāng)抑制電磁攪拌和防止熔態(tài)爐料滲透，可適當(dāng)增加坩堝壁厚Δgd。

同樣頻率條件下，單層介質(zhì)加熱，爐料的電磁攪拌較輕；雙層介質(zhì)加熱，爐料的電磁攪拌較重。爐料的電磁攪拌程度高低，也是確定坩堝壁厚必須考慮的因素之一。

鑄鐵坩堝壁厚：0.03～0.04m，多取0.03m。

鋼坩堝壁厚：額定容量＜0.3t時(shí)，取0.012～0.02m；額定容量1t以下時(shí)取0.02～0.025m；額定容量＞1t時(shí)，取0.03～0.04m。

石墨坩堝壁厚：額定容量＜0.5t時(shí)，取0.03～0.04m；額定容量0.5～3.0t時(shí)，取0.04～0.05m。

爐襯厚度Δg，減去導(dǎo)電坩堝的壁厚Δgd，導(dǎo)電坩堝與感應(yīng)器線圈之間的間隙可用耐火材料填充。填充的耐火材料只要膨脹系數(shù)小，具有一定的絕緣電阻，熱穩(wěn)定性好，價(jià)格低廉即可。一般酸性耐火材料都可以滿足這些條件。為提高爐子的熱效率，填充的耐火材料與感應(yīng)器之間再隔一層保溫材料?？捎酶咪X硅酸鋁纖維氈或碳?xì)值?。感?yīng)器線圈涂覆絕緣漆，為加強(qiáng)絕緣，在感應(yīng)器線圈與保溫層之間還可以加一層云母薄膜。

耐火材料在這里還有一個(gè)重要作用，就是為使導(dǎo)電坩堝與感應(yīng)器線圈同心而起到定位作用，以避免因偏心而造成靠近線圈一側(cè)坩堝局部過熱，產(chǎn)生不均勻膨脹使坩堝變形。過熱的溫度會(huì)使坩堝內(nèi)金屬液溫度不均勻，而且會(huì)縮短坩堝的使用壽命。

導(dǎo)電坩堝與感應(yīng)器線圈之間耐火材料、隔熱層、絕緣層的厚度一般取0.05～0.08m。

5）感應(yīng)器線圈高度H1：

導(dǎo)電坩堝感應(yīng)熔煉電爐的感應(yīng)器線圈高度的確定及布置，應(yīng)注意整體坩堝溫度均勻問題，其實(shí)耐火材料打結(jié)爐襯的爐子里面的爐料在不同區(qū)域，在熔煉開始階段一段時(shí)間內(nèi)不同位置，爐料溫度也是不一致的。熔煉后期由于電磁攪拌作用，爐料溫度會(huì)趨于均勻。導(dǎo)電坩堝爐子也存在這種問題，但坩堝中部溫度比兩端溫度高，造成局部氧化、腐蝕加劇，影響坩堝使用壽命。另外，中頻段導(dǎo)電坩堝爐子爐料的電磁攪拌往往較差，坩堝的局部過熱對(duì)爐料熔煉也會(huì)產(chǎn)生不利影響?；?、醫(yī)藥、食品行業(yè)的反應(yīng)釜加熱，液體、氣體、導(dǎo)電坩堝的加熱如設(shè)計(jì)有缺陷，更容易造成加熱溫度的不均勻。

為使導(dǎo)電坩堝沿軸向溫度趨于一致，適當(dāng)延長感應(yīng)器線圈長度是補(bǔ)償措施之一，除此之外，對(duì)并聯(lián)諧振電路來說，還可以采用增加線圈兩端線圈線匝密度和在線圈端部或低溫區(qū)并聯(lián)補(bǔ)償電熱電容器等方法解決。一般地，并聯(lián)補(bǔ)償電熱電容器以提高低溫段的功率使溫度沿導(dǎo)電坩堝軸線均勻更為有效：通過改變線匝位置，可以調(diào)整溫度區(qū)域；通過增減電熱電容器可以改變局部功率大小而使溫度高低方便可調(diào)。

2.3 功率與頻率

（1）功率 導(dǎo)電坩堝感應(yīng)熔煉電爐的功率P由以下三部分組成。

1）導(dǎo)電坩堝熔化爐料功率：

式中Pd—— 導(dǎo)電坩堝感應(yīng)熔煉電爐熔化爐料所需功率（kW）；

PT—— 爐料加熱、熔化的平均有功功率（kW）；

GL—— 爐子額定容量（kg）；

η——感應(yīng)器的總效率；

C1——爐料的固態(tài)平均比熱［kJ/(kg·℃)］；

C2——爐料的液態(tài)平均比熱［kJ/(kg·℃)］；

Qr——爐料的熔化潛熱（kJ/kg）；

T1—— 熔化溫度與初始溫度之差（℃）。熔化溫度即爐料的熔點(diǎn)溫度；

T2—— 過熱溫度與熔化溫度之差（℃）。過熱溫度是由鑄造工藝要求的熔液在熔煉中的最高溫度。

2）導(dǎo)電坩堝“蓄熱”功率：

式中Pc——導(dǎo)電坩堝“蓄熱”功率（kW）；

C—— 導(dǎo)電坩堝熱容（kJ/kg）。常用鑄鐵、鋼坩堝材料熱容見表3；

T——坩堝內(nèi)爐料過熱溫度（℃）；

T0——環(huán)境溫度（℃）；

G——爐料高度為H2的導(dǎo)電坩堝質(zhì)量（kg）；

η——感應(yīng)器總效率；

t—— 導(dǎo)電坩堝“蓄熱”由室溫到爐料過熱溫度的升溫時(shí)間（s）。

鑄鐵、鋼坩堝材料的在居里點(diǎn)溫度前后的效率見表4。石墨坩堝的總效率為0.65～0.80（石墨-耐火黏土坩堝取下限，石墨-碳化硅坩堝取上限）。

表3 常用鑄鐵、鋼坩堝材料的熱容 （kJ/kg）

表4 鑄鐵、鋼坩堝“蓄熱”的感應(yīng)加熱效率 （%）

3）導(dǎo)電坩堝空載功率Pk：

導(dǎo)電坩堝的空載功率是指坩堝在達(dá)到（爐料的）過熱溫度時(shí)保持該溫度所消耗的功率（kW）。這個(gè)指標(biāo)反映導(dǎo)電坩堝爐子的保溫性能。

即導(dǎo)電坩堝感應(yīng)熔煉電爐的功率P為：

式中，Pk<

當(dāng)爐子從冷爐升溫時(shí)的功率P＝Pd＋Pc，但連續(xù)作業(yè)，導(dǎo)電坩堝已有蓄熱，并忽略空載功率Pk時(shí)，P＝Pd。這就是為什么導(dǎo)電坩堝感應(yīng)熔煉電爐的生產(chǎn)性質(zhì)適合于連續(xù)生產(chǎn)（包括短期連接、長期連續(xù)或全年連續(xù)生產(chǎn)），而間斷生產(chǎn)由于停爐時(shí)導(dǎo)電坩堝的散熱、蓄熱而使電耗增加。

在連續(xù)作業(yè)條件下，導(dǎo)電坩堝感應(yīng)熔煉電爐的功率利用式（8）計(jì)算即可。我們一般不對(duì)爐子的爐壁、爐底的熱損功率及坩堝口的輻射熱功率進(jìn)行計(jì)算，這種計(jì)算既繁瑣，誤差又大。我們還是引入總效率η來計(jì)算功率。由此求出熔化率和單位電耗。電爐生產(chǎn)廠家通過在現(xiàn)場(chǎng)依照相關(guān)國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的試驗(yàn)方法實(shí)測(cè)出單位電耗和熔化率，將實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)加以整理，可制定出不同的功率密度、不同容量、不同爐料爐子的單位電耗和熔化率的范圍，根據(jù)總結(jié)出來的數(shù)據(jù)推導(dǎo)出總效率η的范圍，用η值即可計(jì)算出功率來。由于爐子的額定功率值是變頻電源運(yùn)行于額定功率時(shí)在整流變壓器網(wǎng)側(cè)測(cè)量（GB/T 10067.31—2013），爐子的機(jī)電附屬設(shè)備的電耗也算在爐子的單位電耗之內(nèi)（GB/T 30839.1—2014），因此，為計(jì)算方便，式（8）的總效率η將這些因素也考慮在內(nèi)的。

功率P求出后，根據(jù)式（9），就可以計(jì)算出該導(dǎo)電坩堝由室溫升溫到爐料的過熱溫度的“蓄熱”時(shí)間（順便說一點(diǎn)，冷爐的這個(gè)升溫過程，也是將導(dǎo)電坩堝吸收空氣中的水分烘干的過程，這對(duì)減少有色金屬熔液的氣體也是非常有必要的）。

（2）頻率 導(dǎo)電坩堝感應(yīng)熔煉電爐頻率選擇依據(jù)的原則依然是設(shè)備運(yùn)行的經(jīng)濟(jì)性和最小投資費(fèi)用。經(jīng)濟(jì)性由爐子的總效率來表征?？傂适菬嵝师莟與電效率ηu的乘積，由于熱效率與頻率無關(guān)，因此只需考慮電效率ηu即可。

導(dǎo)電坩堝的感應(yīng)加熱，與空心圓柱體的感應(yīng)透熱有些類似。在電磁場(chǎng)理論里，空心圓柱體是有所特指的，即只有同時(shí)滿足D22/δ2≥5和δ2/Δ2≤時(shí)，才稱之為空心圓柱體。如圖1所示，D22、D21分別為空心圓柱體的外徑、內(nèi)徑，空心圓柱體的壁厚用δ2表示。D1為感應(yīng)器線圈內(nèi)徑，H2為空心圓柱體的長度，而H1為感應(yīng)器線圈的長度。Δ2為某種材質(zhì)、某個(gè)溫度、某個(gè)頻率下空心圓柱體的電流透入深度。

圖1 空心圓柱體感應(yīng)加熱系統(tǒng)

根據(jù)電磁場(chǎng)理論，當(dāng)δ2/Δ2＞時(shí)，可將其視為實(shí)心圓柱體，在進(jìn)行感應(yīng)器參數(shù)計(jì)算時(shí)，按實(shí)心圓柱體的計(jì)算公式來計(jì)算，當(dāng)D22/δ2＜5時(shí)，如果用空心圓柱體公式來計(jì)算，其計(jì)算誤差會(huì)增大?？招膱A柱體的計(jì)算直徑D2為空心圓柱體的平均直徑D2P。

式中Δ2——導(dǎo)電坩堝材料的電流透入深度（m）；

ρ2——坩堝材料的平均電阻率（Ω·m）；

μr——坩堝材料的相對(duì)磁導(dǎo)率。

鑄鐵、鋼坩堝的磁導(dǎo)率取決于坩堝的工作溫度和所處的的磁場(chǎng)強(qiáng)度：從室溫至居里點(diǎn)溫度一直為變量，坩堝由于處于非常強(qiáng)的磁場(chǎng)之中，因此μr值一般都較低，＜700℃時(shí)約為16，有時(shí)低至5～6。到達(dá)居里點(diǎn)溫度時(shí)，μr為1，以后溫度再升高，相對(duì)磁導(dǎo)率也不再變化。石墨坩堝為非磁性材料，其磁導(dǎo)率與真空磁導(dǎo)率相同，即μr恒為1，它與溫度幾乎無關(guān)，與所處的磁場(chǎng)強(qiáng)度也沒有關(guān)系。

感應(yīng)透熱空心圓柱體的最佳頻率和頻率范圍的確定是基于兩條原則：一是感應(yīng)器的電效率不低于極限值的5%；二是在沿壁厚透熱的前提下，加熱時(shí)間最短。作為堝這種發(fā)熱體，用空心圓柱體透熱感應(yīng)加熱選頻公式是不合適的，因?yàn)樗槐乜紤]透熱時(shí)間問題。導(dǎo)電坩堝感應(yīng)熔煉電爐頻率的選擇主要考慮電流透入深度Δ2與壁厚δ2的關(guān)系，以及導(dǎo)電坩堝內(nèi)爐料的電磁攪拌強(qiáng)度的大小。導(dǎo)電坩堝的壁厚一般是根據(jù)爐容大小、坩堝結(jié)構(gòu)剛度、被熔爐料對(duì)坩堝侵蝕、坩堝加工制造條件等確定的，往往是坩堝壁厚確定在先，考慮電流透入深度與壁厚關(guān)系及爐料電磁攪拌強(qiáng)度在后。

1）頻率與坩堝壁厚的關(guān)系：鑄鐵、鋼坩堝在居里點(diǎn)溫度以下是鐵磁性材料，隨著溫度的升高，電流透入深度Δ2隨之增加，當(dāng)溫度達(dá)到或超過居里點(diǎn)溫度時(shí)，坩堝材料失磁，電流透入深度Δ2超過δ2，電磁波部分進(jìn)入坩堝內(nèi)爐料，如果不考慮爐料的電磁攪拌，則通過適當(dāng)調(diào)整頻率，使電流透入深度Δ2不超過坩堝壁厚δ2。

2）頻率與爐料電磁攪拌強(qiáng)度的關(guān)系：導(dǎo)電坩堝感應(yīng)熔煉電爐的電磁攪拌相比耐火材料坩堝爐子要輕，這也恰好滿足了多數(shù)情況下有色金屬需要較輕攪拌的要求。當(dāng)Δ2≤δ2時(shí)，液態(tài)爐料的攪拌強(qiáng)度類似于電阻爐和燃料爐。只有當(dāng)Δ2＞δ2，電磁波進(jìn)入液態(tài)爐料中，才會(huì)引起攪拌。如果需要稍強(qiáng)的電磁攪拌，設(shè)計(jì)較低的頻率即可實(shí)現(xiàn)。導(dǎo)電坩堝一般多熔化有色金屬，工程上有色金屬的電磁攪拌強(qiáng)度由“駝峰”高度h'與坩堝平均內(nèi)徑D21的比值來表征。導(dǎo)電坩堝感應(yīng)熔煉電爐的“駝峰”高度h'不但與爐料的液態(tài)平均電阻率、液態(tài)密度、熔池平均內(nèi)徑、液態(tài)爐料高度、感應(yīng)器線圈有功功率、線圈與液態(tài)爐料相對(duì)位置及頻率等諸多因素有關(guān)，而且與導(dǎo)電坩堝材質(zhì)、電阻率、坩堝壁厚與不同頻率的電流透入深度的比值、坩堝外徑與壁厚的比值都有關(guān)系。當(dāng)導(dǎo)電坩堝爐料、坩堝、感應(yīng)器尺寸、感應(yīng)器線圈與爐料相對(duì)位置確定以后，頻率就是影響“駝峰”高度以及電磁攪拌強(qiáng)度的唯一因素。

一般還是由“駝峰”高度與坩堝內(nèi)爐料液面的夾角α求出“駝峰”高度。

“駝峰”高度h'由式（12）估算：

式中h'——“駝峰”高度（m）；

R2——坩堝平均半徑（m）；

α——“駝峰”角（°）。

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，鋁及鋁合金α＝4°～22°，多在10°～20°之間（見第七講）；銅及銅合金α＝8°～14°（見第八講）。

已知預(yù)期的“駝峰”高度h'，求頻率，可用式（13）計(jì)算：

式中h'——“駝峰”高度（m）；

f——頻率（Hz）；

P2—— 穿過導(dǎo)電坩堝進(jìn)入爐料的有功功率（kW）；

μr——導(dǎo)電坩堝內(nèi)爐料的相對(duì)磁導(dǎo)率；

ρ2——爐料的液態(tài)平均電阻率（Ω·m)；

S—— 被感應(yīng)器包圍的爐料表面積（m2），S＝πD21H2；

γy——爐料液態(tài)密度（kg/m3）。

引起液態(tài)爐料攪拌的主要是進(jìn)入導(dǎo)電坩堝內(nèi)作功的功率，其大小決定著爐料“駝峰”的高低。這個(gè)功率與電流透入深度Δ2、與坩堝壁厚都有關(guān)系，而且難以測(cè)量和計(jì)算。為求頻率，只有依據(jù)設(shè)計(jì)人員的經(jīng)驗(yàn)估算出預(yù)期“駝峰”高度的頻率來。由于是經(jīng)驗(yàn)估算，式（13）計(jì)算出的頻率會(huì)有誤差，預(yù)期的“駝峰”高度可通過調(diào)整感應(yīng)器線圈與坩堝相對(duì)位置或增減功率加以調(diào)節(jié)。

3 導(dǎo)電坩堝感應(yīng)熔煉電爐感應(yīng)器參數(shù)計(jì)算舉例

導(dǎo)電坩堝感應(yīng)熔煉電爐感應(yīng)器參數(shù)計(jì)算需要考慮兩層不同的介質(zhì)：作為坩堝的鑄鐵、鋼或者石墨的空心圓柱體和坩堝內(nèi)被加熱和熔煉的爐料。在這種情況下，由于電磁波在兩種介質(zhì)的交界處發(fā)生反射與折射，極大地增加了參數(shù)計(jì)算的復(fù)雜性。

無論是鑄鐵、鋼坩堝還是石墨坩堝，電磁波在坩堝內(nèi)衰減很快，大部分能量消耗在坩堝中，為簡化計(jì)算，我們把爐料吸收的能量忽略不計(jì)。對(duì)于低溫、中溫爐子，坩堝壁厚往往大于電流透入深度，此時(shí)計(jì)算出來的結(jié)果會(huì)有較高的精度。高溫類爐子通過適當(dāng)提高頻率，減小電流透入深度，也可得到較滿意的結(jié)果。除非在有些場(chǎng)合為增加電磁攪拌強(qiáng)度，有意地通過降低頻率，使更多的電磁波進(jìn)入爐料中，這時(shí)如果仍將坩堝單純作為發(fā)熱體（負(fù)載）進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算出來的結(jié)果會(huì)有較大的誤差。此時(shí)一般可根據(jù)經(jīng)驗(yàn)對(duì)計(jì)算的線圈匝數(shù)加以修正與調(diào)整。

導(dǎo)電坩堝感應(yīng)熔煉電爐多數(shù)熔煉有色金屬，考慮到液態(tài)爐料中的氫等氣體容易逸出，一般都將液態(tài)爐料高度H2與坩堝平均直徑D22之比取1，即H2＝D22。鑄鐵、鋼坩堝是這樣，石墨坩堝也是這樣設(shè)計(jì)的。由于H2/D22＝1，以空心變壓器的設(shè)計(jì)原理為依據(jù)，即磁路系統(tǒng)的計(jì)算方法中給出的設(shè)計(jì)曲線等，已不適用。因此，導(dǎo)電坩堝感應(yīng)器參數(shù)只能用電磁場(chǎng)法（貝塞爾函數(shù)法）進(jìn)行計(jì)算。

如果Δg≥Δ2，且D22≥5δ2，此時(shí)可用電磁場(chǎng)法實(shí)心圓柱體公式計(jì)算。Δg＜Δ2、D22＜5δ2，可按電磁場(chǎng)法空心圓柱體公式計(jì)算。

鑄鐵、鋼坩堝和石墨坩堝這兩種不同材料的坩堝加熱，熔煉不同牌號(hào)的有色金屬其計(jì)算程序、公式基本相同，只是在不同溫度下熱物理值不同。鑄鐵、鋼坩堝，當(dāng)溫度低于其居里點(diǎn)溫度時(shí)，如線圈周圍布置有磁軛，此時(shí)，坩堝和磁軛構(gòu)成一完整的磁路，從而大大減弱了邊緣效應(yīng)，故邊緣效應(yīng)的影響可忽略不計(jì)。在計(jì)算時(shí)直接取其換算系數(shù)C為1即可。由于近年來石墨坩堝的應(yīng)用有上升的趨勢(shì)，而這方面設(shè)計(jì)資料不多，占比例最大的石墨-碳化硅坩堝的資料尤為少見，本講用石墨-碳化硅坩堝舉例，石墨-碳化硅坩堝作為感應(yīng)器的主要負(fù)載，坩堝內(nèi)熔化的有色金屬品種對(duì)感應(yīng)器參數(shù)影響不太大，由于鋁及鋁合金占有色金屬大多數(shù)，故用鋁及鋁合金作為爐料來舉例。

3.1 石墨坩堝的熱物理參數(shù)

石墨坩堝材料分為石墨-耐火黏土和石墨-碳化硅兩大類。

石墨-黏土坩堝是以天然結(jié)晶鱗片石墨和耐火黏土為主要成分。耐火黏土的理論成分是 39.5%Al2O3、46.5%SiO2和14%H2O。制造石墨坩堝的耐火黏土的耐火度在1710℃以上。它不僅起著可塑成型無機(jī)黏結(jié)劑的作用，并用在使用當(dāng)中能使坩堝形成一層保護(hù)性薄膜，這種坩堝現(xiàn)在僅在鑄鐵、鑄鋼高溫熔煉感應(yīng)爐和貴金屬感應(yīng)熔煉爐中使用。

石墨-碳化硅類坩堝，是以天然結(jié)晶鱗片石墨和碳化硅為主要成分。碳化硅具有化學(xué)穩(wěn)定性好、耐蝕性強(qiáng)的特點(diǎn)，而且碳化硅在高溫下的氧化產(chǎn)物是SiO2，它在坩堝中能起到降低氣孔率、體積密度增大、致密性提高等作用。石墨坩堝抗氧化、延長使用壽命與碳化硅含量多少有很大關(guān)系。有色金屬如銅、鋁及其合金等，一般都使用石墨-碳化硅坩堝。由于石墨坩堝主要用來熔煉有色金屬，因此目前這種石墨-碳化硅坩堝占整個(gè)坩堝總量的95%以上。

石墨屬于非金屬元素礦物類，成分是純粹的碳，元素符號(hào)為C，屬六方晶系的結(jié)晶，原子序數(shù)為6。標(biāo)準(zhǔn)原子量為12.011（見國際純粹與應(yīng)用化學(xué)聯(lián)合會(huì)IUPAC頒布的2019年版元素周期表）。20℃時(shí)的密度為2.25g/cm3，熔點(diǎn)為3727℃，沸點(diǎn)為4830℃，在還原或中性氣氛下，石墨的最高使用溫度可達(dá)2500℃。

石墨的20℃時(shí)電阻率（8～13）×10-6Ω·m，設(shè)20℃時(shí)電阻率R20為1，則從表5可求出石墨在不同溫度下的電阻率RT的范圍。

表5 石墨不同溫度的電阻率與20℃時(shí)電阻率比值[1，2]

電阻率是表征材料導(dǎo)電能力的物理量，從表5可以看到石墨的導(dǎo)電性能還是比較好的。這也是為什么碳和石墨制品中很多用作導(dǎo)電材料。電阻率的單位是個(gè)復(fù)合單位，其實(shí)是Ω·m2/m，為方便，也可以用Ω·m來表示。

石墨從室溫到800℃的平均電阻率為（7.772～12.230)×10-6Ω·m，與室溫(20℃)時(shí)的電阻率相近，但石墨-碳化硅坩堝室溫到800℃的平均電阻率高2～3倍。同一溫度區(qū)間的平均電阻率，石墨-耐火黏土坩堝比石墨-碳化硅坩堝更高些。

石墨坩堝材料的平均電阻率是感應(yīng)器的一個(gè)重要參數(shù)。目前，石墨坩堝感應(yīng)器計(jì)算的文獻(xiàn)很少，檢索到的文獻(xiàn)中往往幾乎都是用石墨的電阻率來進(jìn)行石墨-耐火黏土和石墨-碳化硅坩堝的計(jì)算，這既不合理，也會(huì)給計(jì)算帶來較大誤差，顯然是不應(yīng)該的。

石墨在不同溫度下的比熱容見表6。石墨的相對(duì)磁導(dǎo)率μr=0.999895≈1[5-7]。

表6 石墨在不同溫度下的比熱容

3.2 石墨-碳化硅坩堝材料的熱物理參數(shù)[6-8]

（1）石墨-碳化硅坩堝的物理指標(biāo) 體積密度：2.21～2.27g/cm3；熱膨脹系數(shù)：（3.0～4.5）×10-6/K；熱導(dǎo)率（24℃)：140～150W/（m·K）；相對(duì)磁導(dǎo)率：μr≈1。

（2）石墨-碳化硅坩堝材料的電阻率 石墨-碳化硅坩堝材料的電阻率見表7。

表7 石墨-碳化硅坩堝材料的電阻率[9]

石墨坩堝的石墨、耐火骨料、結(jié)合劑含量不同，電阻率會(huì)有差異，上述數(shù)據(jù)是石墨40%、碳化硅40%～45%、其他材料15%～20%得出的數(shù)據(jù)，1#、2#試樣室溫到800℃的平均電阻率分別為36.225×10-6Ω·m、29.263×10-6Ω·m。

（3）石墨-碳化硅坩堝材料的比熱容 石墨-碳化硅坩堝材料的比熱容見表8。

表8 石墨-碳化硅坩堝材料的比熱容[9]

4 石墨-碳化硅坩堝感應(yīng)熔煉電爐熔煉鋁合金感應(yīng)器參數(shù)計(jì)算舉例

4.1 已知條件

鋁合金牌號(hào)：ZL101（GB／T 1173—2013）；額定溫度：進(jìn)行熔煉的爐料溫度。本例，ZL101鋁合金過熱溫度為（710±30）℃；額定容量：在正常工作條件下，爐子容納液態(tài)爐料的質(zhì)量。本例爐子額定容量為0.5t；熔化率：本例45min熔煉1爐（0.5t），熔化率按0.668t/h計(jì)算。

4.2 爐子結(jié)構(gòu)尺寸

石墨-碳化硅坩堝形狀為平底形，工業(yè)純鋁液態(tài)密度為2400kg/m3，按式（2）求得坩堝有效容積VG為0.208m3；純鋁熔液高度H2與坩堝平均內(nèi)徑D21之比為1，即H2＝D21，根據(jù)式（4），求得坩堝平均內(nèi)徑（鋁液平均直徑）D21為0.642m。經(jīng)數(shù)值修約D21＝0.640m。計(jì)算得H2＝0.648m。查表2得爐襯總厚度Δg＝0.140D21≈0.090m。

根據(jù)表2，500kg石墨-碳化硅坩堝平均壁厚Δgd取0.045m，得到坩堝外徑D22為0.730m。坩堝最大允許超裝量KH為額定容量的1.1倍，KH＝1.1。爐料液面與坩堝頂部的距離系數(shù)Kf，本例取Kf＝1.1。坩堝底厚Δgd'為0.06m，按式（5），坩堝總高度H3＝0.779m，取H3＝0.780m，根據(jù)式（6），感應(yīng)器線圈內(nèi)徑D1為0.820m。感應(yīng)器高度H1根據(jù)式（7）按1.05倍的H2，得H1＝0.680m。

4.3 功率

石墨-碳化硅坩堝爐子熔化ZL101鋁合金，爐子的額定功率按式（8）計(jì)算。將以下數(shù)據(jù)代入式（8）：爐子額定容量：500kg；爐料固態(tài)平均比熱C1＝0.971kJ/（kg·℃）；爐料液態(tài)平均比熱C2＝1.243kJ/（kg·℃）；爐料的熔化潛熱Qr＝393.559kJ/kg；爐料的熔點(diǎn)溫度與初始溫度之差T1＝（658-20）℃；過熱溫度與熔化溫度之差T2＝（710-658）℃；加熱時(shí)間：45min，感應(yīng)器總效率η＝0.50～0.60，本例取η＝0.60，得P＝333kW，取額定功率350kW。

坩堝“蓄熱”功率的計(jì)算：式（9）中，爐料過熱溫度T為710℃，坩堝比熱容為0.788kJ/（kg·℃），坩堝質(zhì)量140.564kg，感應(yīng)器的總效率可取0.80，爐子額定功率350kW時(shí)，坩堝為唯一負(fù)載時(shí)“蓄熱”時(shí)間約為270s。如果坩堝內(nèi)裝有待干燥、去污的爐料，則感應(yīng)器的總效率會(huì)降低，且“蓄熱”時(shí)間也會(huì)延長。

4.4 頻率

根據(jù)式（12），求出坩堝內(nèi)爐料期望的“駝峰”高度h'，坩堝平均半徑R21＝0.320m，取“駝峰”角α＝10°，則h'＝0.056m，經(jīng)數(shù)值修約，取h'為0.055m。爐料的相對(duì)磁導(dǎo)率μr＝1，爐料ZL101的液態(tài)平均電阻率ρ2為24×10-8Ω·m，D21＝0.64m、H2＝0.648m，被感應(yīng)器包圍的爐料表面積S＝πD21H2＝1.303m2。爐料ZL101的液態(tài)密度為2400kg/m3，額定功率為350kW，電效率取0.95，有功功率為332.50kW，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，取有功功率332.50kW的0.25倍，則P2為83.125kW。這個(gè)P2為深入坩堝內(nèi)參與電磁攪拌的有功功率。由式（13）求得頻率為973Hz，實(shí)取頻率為1000Hz。

4.5 感應(yīng)器參數(shù)計(jì)算

坩堝尺寸、爐料高度及感應(yīng)器尺寸整理如下。

坩堝外徑：D22＝0.730m；坩堝外周半徑：R22＝0.365m；坩堝內(nèi)徑：D21＝0.640m；坩堝空腔半徑：R21＝0.320m；坩堝平均壁厚：δ2＝0.045m；坩堝總高度：H3＝0.780m；液態(tài)爐料高度：H2＝0.648m；感應(yīng)器線圈內(nèi)徑：D1＝0.820m；感應(yīng)器線圈高度：H1＝0.680m。

變頻電源參數(shù)：額定功率為350kW；額定頻率為1000Hz；進(jìn)線電壓為380V（50Hz）；中頻電壓為700V。按并聯(lián)諧振設(shè)計(jì)。

當(dāng)頻率為1000Hz時(shí)，石墨-碳化硅坩堝的電流透入深度Δ2＝0.0957m，考慮到電磁波在坩堝和爐料交界面的反射效應(yīng)，乘以0.8修正系數(shù)，則Δ2'＝Δ2×0.8＝0.0766m。本例，D22/δ2＝0.730/0.045＝16.222＞5，δ2/Δ2'＝0.045/0.0766＝0.588＜。故石墨-碳化硅坩堝感應(yīng)器熔煉電爐感應(yīng)器可按電磁場(chǎng)法（貝塞爾函數(shù)法）非磁性導(dǎo)電材料空心圓柱體感應(yīng)器公式計(jì)算[10]。

（1）石墨-碳化硅坩堝的電阻r2和電抗x2m

式中m2——坩堝外周的相對(duì)半徑（m）；

AY、BY—— 作為空心圓柱體坩堝材料的阻抗計(jì)算系數(shù)。

式中m1——坩堝空腔的相對(duì)半徑（m）；

Δm——坩堝的相對(duì)壁厚（m）；

mcp——坩堝平均相對(duì)半徑（m）。

各參數(shù)計(jì)算如下：

將各參數(shù)值代入式（14）、式（15），得

（2）感應(yīng)器的電抗x0

式中k1——計(jì)算電感系數(shù)用的修正系數(shù)；

x10——無限長感應(yīng)器中H1段的電抗（Ω）。

式中D1'——計(jì)算直徑，D1'＝D1＋Δ1。

k1值可通過第三講圖1或第七講表6查得。

式中Δ1—— 坩堝一側(cè)感應(yīng)器線圈銅管的電流透入深度(m）；

ρ1—— 室溫至80℃時(shí)電工銅的平均電阻率，ρ1＝2×10-8Ω·m；

μr——感應(yīng)器線圈銅管的相對(duì)磁導(dǎo)率，μr≈1；

f——額定頻率。本例，f＝1000Hz；

由于D1>>Δ1，故D1'≈D1，則

式中ω——角頻率，ω＝2πf（rad/s）；

μ0——真空磁導(dǎo)率，μ0＝4π×10-7（H/m）；

S1——感應(yīng)器線圈有效截面積。

就有：

將已知各參數(shù)值代入式（18），得

（3）感應(yīng)器漏電抗xs

式中S1——感應(yīng)器線圈截面積（m2），；

S2——液態(tài)爐料有效截面積（m2），。

由于D1>>Δ1，故D1'＝D1＋Δ1≈D1，則

（4）坩堝電阻換算系數(shù)

式中c——石墨-碳化硅坩堝電阻換算系數(shù)；

r2——坩堝電阻（Ω）；

x0——感應(yīng)器的電抗（Ω）；

xs——感應(yīng)器漏電抗（Ω）；

x2m——坩堝電抗（Ω）。

將求得各參數(shù)值代入式（23），得

（5）坩堝的換算電阻r2'

將已知參數(shù)值代入式（24），得

（6）坩堝的核算電抗x2'

將已知各參數(shù)值代入式（25），得

（7）感應(yīng)器線圈的電阻r1與電抗x1m

式中r1、x1m——分別為感應(yīng)器線圈的電阻、電抗（Ω）；

ρ1—— 感應(yīng)器線圈銅管室溫至80℃時(shí)的平均電阻率（Ω·m），ρ1＝2×10-8Ω·m；

δ1—— 感應(yīng)器線圈銅管坩堝一側(cè)的壁厚（m）；

Δ1—— 坩堝一側(cè)感應(yīng)器線圈銅管的電流透入深度。本例，Δ1＝0.00225m。

kr、kx——感應(yīng)器線圈電阻、電抗的修正系數(shù)。

按第三講圖2中的曲線函數(shù)選取。

感應(yīng)器線圈電阻、電抗修正系數(shù)kr、kx：

感應(yīng)器線圈匝間填充系數(shù)g的計(jì)算式為

式中g(shù)——感應(yīng)器線圈填充系數(shù)，一般可取0.762；

b1——單匝銅管軸向?qū)挾龋╩）；

c1——匝間距（m）。

（8）感應(yīng)器的等效電阻r、電抗x和阻抗z

將已知各參數(shù)值代入式（29）、式（30）、式（31），得

（9）感應(yīng)器的電效率ηu

將已知各參數(shù)值代入式（32），得

（10）平均有功功率P2

將已知各參數(shù)值代入式（33），得

（11）感應(yīng)器的功率因數(shù)cosφ

將已知各參數(shù)值代入式（34），得

（12）感應(yīng)器內(nèi)的電流I'u

將已求得各參數(shù)值代入式（35），得

（13）感應(yīng)器線圈匝間電壓Uu'

式中—— 單匝感應(yīng)器-爐料系統(tǒng)的電壓（即線圈匝間電壓，V）。

將已知參數(shù)值代入式（36），得

（14）感應(yīng)器的匝數(shù)ω'

式中Ua—— 變頻電源考慮到線路壓降的輸出電壓（V）。本例，取Ua＝650V。

多數(shù)情況下，計(jì)算出來的匝數(shù)ω'不會(huì)恰好是整數(shù)，可按“四舍五入”法則取整。

本例，取整后ω'＝14匝。

（15）感應(yīng)器線圈銅管外截面寬度b和高度a

式中b——感應(yīng)器線圈銅管外截面寬度(m）。

將已知各參數(shù)值代入式（38），得

為減少銅管規(guī)格種類，將尾數(shù)以5為修約間隔進(jìn)行數(shù)值修約，取b＝0.035m。

銅管外截面寬度b有人習(xí)慣稱之為“平面”，也就是與感應(yīng)器線圈高H1平行的面。銅管外截面高度a稱之為“立面”，就是與感應(yīng)器線圈高H1垂直的面。

a值的確定有兩種方法：一是先設(shè)定水路支數(shù)再定高度；二是根據(jù)銅管生產(chǎn)廠家現(xiàn)有銅管外截面寬度b和高度a來確定水路支數(shù)。本例，已知銅管外截面的寬度b為0.035m，高度a也取0.035m，已知銅管壁厚為0.0035m，根據(jù)第三講式（28）、式（29）、式（30）確定的水路支數(shù)：2條水路即可。

（16）補(bǔ)償電熱電容器容量Qc

1）品質(zhì)因數(shù)：

將已知參數(shù)值代入式（39），得

將已知參數(shù)值代入式（40），得

2）變頻電源頻率為1000Hz，選用的晶閘管逆變觸發(fā)超前角φ＝36°。

則Qc2＝Ptg36°＝350×0.727＝254.45（kVar）

3）補(bǔ)償電容器容量Qc：

將已知參數(shù)值代入式（42），得

4）補(bǔ)償?shù)絚osφ＝1時(shí)電熱電容器臺(tái)數(shù)：

式中N——電熱電容器數(shù)量（臺(tái)）；

Qc——補(bǔ)償電熱電容器總?cè)萘浚╧Var）；

Ce—— 電熱電容器額定容量（kVar），本例，Ce＝1000kVar；

Uc—— 電熱電容器額定電壓（V）。本例，Uc＝750V；

Ut—— 電熱電容器實(shí)際運(yùn)行時(shí)的端電壓（V），一般可按Ut＝675V。

若選用RFM0.75-1000-1S電熱電容器，則

現(xiàn)場(chǎng)調(diào)試參考臺(tái)數(shù)取1.2臺(tái)。

（17）變頻電源和電熱電容器柜的中頻鋁芯電纜的選擇與計(jì)算 由于篇幅所限，第四講只介紹了感應(yīng)熔煉電爐工頻、銅芯電纜、中頻銅母線（銅排）的選擇與計(jì)算，下面以本講實(shí)例介紹從變頻電源到電熱電容器柜的中頻鋁芯電纜的選擇與計(jì)算。

1）忽略逆變器效率的中頻電流基波值Ia1：

式中Ia1——中頻電流基波方均根值（A）；

P—— 變頻電源額定功率（kW）。本例，P＝350kW；

Ua—— 中頻電壓的方均根值（V）。本例，Ua＝650V；

φ—— 晶閘管逆變超前角（°）。當(dāng)頻率為1000Hz時(shí)，φ為36°。

將已知參數(shù)值代入式（44），得

2）鋁芯電纜集膚導(dǎo)電有效截面積S'：

擬選用單根截面積120mm2的鋁芯四芯電纜。型號(hào)VLV0.6/1kV（GB/T 12706.1—2008），導(dǎo)體為絞合圓形37根，φ2.03mm或緊壓圓形19根，φ2.95mm絕緣及護(hù)套均為聚氯乙烯（PVC）。

式中S'——鋁芯電纜集膚導(dǎo)電有效截面積（mm2）；

D—— 鋁芯電纜直徑(mm），由截面積120mm2求得D＝12.360mm；

Δ—— 電流透入深度（mm）。

已知鋁芯電纜材料的電阻率ρ為2.85×10-8Ω·m，相對(duì)磁導(dǎo)率μr=1，根據(jù)公式Δ=，當(dāng)頻率為1000Hz時(shí)，Δ＝0.00269m，即2.69mm；代入式（45），得

3）單根鋁芯導(dǎo)線承載電流ID：

式中S'——鋁芯電纜集膚導(dǎo)電有效截面積（mm2）；

K——電流密度（A/mm2）。

大多數(shù)鑄造工廠感應(yīng)電爐作業(yè)都屬于間斷作業(yè)，兩班制，依照GB/T 51266—2017《機(jī)械工廠年時(shí)基數(shù)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)》中工業(yè)爐窯非鐵金屬熔煉爐部分感應(yīng)電爐的規(guī)定公稱年時(shí)基數(shù)為3680h，參照第四講表6“經(jīng)濟(jì)電流密度”，鋁芯電纜的經(jīng)濟(jì)電流密度K為1.73A/mm2。

將已知參數(shù)值代入式（46），得

ID＝S'K＝81.720×1.73＝141.376（A）

4）并聯(lián)導(dǎo)線根數(shù)n：

將已知參數(shù)值代入式（47），得

n＝Ia1/ID＝665.575/141.376＝4.708

n除以2，就是四芯電纜的根數(shù)2.35，取3根。