容積卡爾曼濾波器的Bouc-Wen模型在線參數(shù)識(shí)別

王 濤，李 勐，孟麗巖

(黑龍江科技大學(xué) 建筑工程學(xué)院，哈爾濱 150022)

0 引 言

工程結(jié)構(gòu)在地震等災(zāi)害作用下常呈現(xiàn)一定的非線性特性，非線性滯回系統(tǒng)模型參數(shù)的識(shí)別一直是土木工程領(lǐng)域中研究學(xué)者們討論的熱門話題。結(jié)構(gòu)恢復(fù)力模型具有非線性的特點(diǎn)，很大程度上取決于瞬時(shí)輸入、加載歷史路徑[1]。目前，Bouc-Wen模型是模擬非線性滯回系統(tǒng)的強(qiáng)有力工具，在土木工程領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用，然而因其模型復(fù)雜，參數(shù)很難確定，得到所需要的狀態(tài)變量的真實(shí)值需要借助識(shí)別工具，模型參數(shù)的識(shí)別成為了近幾年研究者關(guān)注的焦點(diǎn)。為了能夠?qū)δＰ驼鎸?shí)參數(shù)準(zhǔn)確定量，研究者們提出了針對(duì)Bouc-Wen模型參數(shù)的一系列識(shí)別方法[2]。其中，張健等[3]采用了隱性卡爾曼濾波算法(unscented Kalman filter，UKF)對(duì)Bouc-Wen進(jìn)行了參數(shù)識(shí)別，得出基于UKF 的結(jié)構(gòu)恢復(fù)力模型參數(shù)在線識(shí)別方法具有較好的精度、收斂速度和濾波作用，耗時(shí)較短，與結(jié)構(gòu)的真實(shí)反應(yīng)更加接近。然而，UKF是將對(duì)非線性方程泰勒展開舍去高階項(xiàng)這種線性化方式轉(zhuǎn)換為對(duì)非線性方程概率統(tǒng)計(jì)特征值的近似，沒有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論依據(jù)作為基礎(chǔ)[4]。而容積卡爾曼濾波算法(cubature Kalman filter，CKF)是基于三階球面徑向容積規(guī)則[5]，通過系統(tǒng)的初始矩陣、初始狀態(tài)和初始點(diǎn)集確定2n個(gè)容積點(diǎn)，三階球面徑向容積規(guī)則的核心思想是，通過球面徑向容積規(guī)則選取容積點(diǎn)，去逼近具有高斯噪聲非線性系統(tǒng)的狀態(tài)和協(xié)方差[6]。與UKF相比，CKF避免線性化的原理不同,CKF以數(shù)值積分理論為基礎(chǔ)，利用三階球面徑向容積準(zhǔn)則近似高斯積分[7]，有嚴(yán)格完整的理論作為基礎(chǔ)，具有更高的精度和穩(wěn)定性，其容積點(diǎn)及其權(quán)值僅由狀態(tài)的維數(shù)唯一確定，可以提前計(jì)算與存儲(chǔ)[8]。目前，還未有學(xué)者將CKF應(yīng)用到Bouc-Wen模型的參數(shù)識(shí)別中。為此，筆者采用CKF參數(shù)識(shí)別Bouc-Wen模型，與UKF算法進(jìn)行比較，驗(yàn)證該算法的精度和穩(wěn)定性，分析兩種濾波算法的精度與運(yùn)行效率。

1 容積卡爾曼濾波

1.1 容積卡爾曼濾波算法流程

與經(jīng)典卡爾曼濾波相似，容積卡爾曼濾波的算法整個(gè)過程分為預(yù)測步和更新步兩個(gè)部分，容積卡爾曼濾波的算法過程如圖1所示。

圖1 CKF算法流程Fig. 1 Flow of CKF algorithm

1.2 容積卡爾曼濾波算法步驟

式中，Sk——誤差協(xié)方差分解的一個(gè)下三角矩陣。

求出容積點(diǎn)集ζi計(jì)算容積點(diǎn)

容積點(diǎn)集為

(1)

式中：n——狀態(tài)的維數(shù)；

[e]i——第i個(gè)容積點(diǎn)。

將求出的誤差協(xié)方差Pk+1|k通過Cholesky分解

重采樣

將求得的容積點(diǎn)通過觀測方程h傳播，得到傳播后的容積點(diǎn)

更新狀態(tài)量

式中，yk+1——真實(shí)觀測值。

更新協(xié)方差陣估計(jì)值

2 Bouc-Wen模型在線參數(shù)識(shí)別

2.1 模型參數(shù)

為了驗(yàn)證CKF和UKF對(duì)于位移相關(guān)型構(gòu)件恢復(fù)力模型參數(shù)的識(shí)別精度和運(yùn)行效率，采用CKF和UKF分別對(duì)單自由度Bouc-Wen模型的參數(shù)進(jìn)行識(shí)別分析，單自由度結(jié)構(gòu)的模型采用如式(2)所示的單自由度Bouc-Wen模型[9]，給出應(yīng)用CKF和UKF兩種算法進(jìn)行非線性模型參數(shù)在線識(shí)別的具體實(shí)現(xiàn)方法，通過對(duì)比檢驗(yàn)CKF和UKF兩種算法對(duì)單自由度Bouc-Wen模型參數(shù)的識(shí)別效果和運(yùn)行效率。

(2)

式中：z——滯回位移；

x——位移；

F——恢復(fù)力；

k——結(jié)構(gòu)初始剛度；

β、γ、n——控制模型滯回曲線形狀的參數(shù)。

結(jié)構(gòu)基本參數(shù)設(shè)定為k=40 000 kN/m、β=60、γ=40、n=1.1。設(shè)置參數(shù)預(yù)估值k=50 000 kN/m，β=40、γ=50、n=2。位移峰值為14 cm，仿真步數(shù)為4 000步，位移加載時(shí)程曲線如圖2所示。

圖2 位移加載時(shí)程曲線Fig. 2 Displacement loading time curve

假設(shè)狀態(tài)估計(jì)初始值為X0=[0,50,40,50,2,0]T,系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測方程分別為

(3)

y=F=X6+WR，

(4)

式中，x′——實(shí)驗(yàn)加載速度。

實(shí)驗(yàn)加載速度采用中心差分法求解

設(shè)初始協(xié)方差矩陣為

在Matlab2018b仿真環(huán)境下，采用4階龍格庫塔方法對(duì)式(2)進(jìn)行積分離散化，計(jì)算支撐在加載過程中的反應(yīng)，積分步長0.01 s，所得的滯回曲線如圖3所示。

圖3 支撐滯回曲線Fig. 3 Brace hysteretic curve

2.2 參數(shù)識(shí)別

Bouc-Wen模型參數(shù)的兩種不同非線性濾波在線識(shí)別數(shù)值仿真結(jié)果如圖4所示。由圖4可以看出，CKF和UKF 識(shí)別的支撐滯回曲線與真實(shí)值較為接近，兩種非線性濾波算法都能精確、快速的識(shí)別單自由度Bouc-Wen模型參數(shù)，兩次仿真UKF耗時(shí)3.49 s，CKF用時(shí)2.54 s，在耗時(shí)上CKF優(yōu)于UKF的。不僅如此，從圖4可以看出，除對(duì)參數(shù)β的識(shí)別，CKF的效果不如UKF，但是在其余圖中，CKF的識(shí)別精度更優(yōu)于UKF，比UKF更接近真實(shí)值。在權(quán)重的設(shè)定上，CKF相比于UKF不受系統(tǒng)狀態(tài)維數(shù)的制約，使每個(gè)容積點(diǎn)的權(quán)重都相等，在復(fù)雜程度上，CKF大大簡化了權(quán)重的計(jì)算過程，從而保證了系統(tǒng)運(yùn)行的可靠性和精度，非常適用于非線性模型的估算[10]。

圖4 單自由度Bouc-Wen模型參數(shù)識(shí)別值Fig. 4 Parameter identification values of Bouc-Wen model with one degree of freedom

為了能定量評(píng)價(jià)算法識(shí)別精度，定義獨(dú)立仿真的相對(duì)誤差為

式中：θ——模型參數(shù)真實(shí)值；

參數(shù)識(shí)別值相對(duì)誤差，如圖5所示。由圖5可以看出，CKF的參數(shù)識(shí)別整體誤差明顯低于 UKF，而且誤差波動(dòng)幅度顯著降低。因此，CKF算法明顯高于 UKF算法的識(shí)別精度。

圖5 參數(shù)識(shí)別值相對(duì)誤差Fig. 5 Relative error of parameter identification value

計(jì)算得到UKF對(duì)于模型參數(shù)k的平均識(shí)別值為40.31×103kN/m，相對(duì)誤差為0.78%,CKF對(duì)于模型參數(shù)k的平均識(shí)別值為40.02×103kN/m，相對(duì)誤差為0.05%。UKF對(duì)于模型參數(shù)β的平均識(shí)別值為57.31、相對(duì)誤差為4.48%，CKF對(duì)于模型參數(shù)β的平均識(shí)別值為56.32、相對(duì)誤差為6.13%。UKF對(duì)于模型參數(shù)γ的平均識(shí)別值為41.4、相對(duì)誤差為3.5%，CKF對(duì)于模型參數(shù)γ的平均識(shí)別值為40.62、相對(duì)誤差為1.55%。UKF對(duì)于模型參數(shù)n的平均識(shí)別值為1.067、相對(duì)誤差為3%，CKF對(duì)于模型參數(shù)n的平均識(shí)別值為1.11，相對(duì)誤差為0.9%。因此，CKF在識(shí)別非線性模型精度、相對(duì)上也要優(yōu)于UKF。

3 結(jié) 論

(1)與UKF算法相比，CKF 算法得到的 Bouc-Wen 模型參數(shù)識(shí)別值k、γ、n的相對(duì)誤差整體上減小了 0.73%、1.95%和2.10%，能有效降低模型參數(shù)識(shí)別過程中的波動(dòng)幅度，提高強(qiáng)非線性模型在線參數(shù)識(shí)別精度。

(2)兩次仿真UKF用時(shí)3.49 s，CKF用時(shí)2.54 s，UKF和CKF均可以快速識(shí)別出結(jié)構(gòu)參數(shù)，在非線性滯回系統(tǒng)中CKF用時(shí)更短，相對(duì)誤差小，更接近真實(shí)值,具有較強(qiáng)的實(shí)時(shí)性。