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    再探圓錐曲線的一個統(tǒng)一性質*

    2020-11-20 05:48:56廣東省中山市濠頭中學528437宇廣東省中山市小欖中學528415李顯剛
    中學數(shù)學研究(江西) 2020年11期
    關鍵詞:準線中山市交點

    廣東省中山市濠頭中學 (528437) 閆 偉 張 宇廣東省中山市小欖中學 (528415) 李顯剛

    圓錐曲線有很多統(tǒng)一或相似的性質,它的延伸、推廣可以呈現(xiàn)出豐富多彩的數(shù)學內容,深刻反映了數(shù)學獨特的魅力,值得我們去發(fā)現(xiàn)和欣賞,本文在文[1]中結論的啟發(fā)下通過探究得出了更為一般的結果.

    文[1]中探究了與橢圓準點有關的一個性質.

    同樣在雙曲線和拋物線中也有此類性質.上述性質反映了圓錐曲線的交點與準線的一個統(tǒng)一性質,結論無疑是非常優(yōu)美的,且在高考和模擬考常有體現(xiàn);但仔細觀察,筆者發(fā)現(xiàn)該結論僅僅是橢圓的焦點和準線的性質,如果Q點不在準線上時仍否有類似的性質呢?筆者借助GeoGebra軟件進行了實驗探究,發(fā)現(xiàn)了如下更為一般的定理:

    圖1

    圖2

    圖3

    結論2、3的證明過程類似于結論1,此處不一一贅述.

    圖4

    結論4 如圖4,已知拋物線y2=2px(p>0),A是拋物線的頂點,M(m,0)(m>0)是拋物線內一點,直線x=-m與x軸的交點為N,過點N的直線與拋物線交于點C,D,直線AC與過D點且平行于x軸的直線交于點P,則PM⊥x軸,且PM平分∠CMD.

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