再探圓錐曲線的一個統(tǒng)一性質*

廣東省中山市濠頭中學 (528437) 閆 偉 張 宇廣東省中山市小欖中學 (528415) 李顯剛

圓錐曲線有很多統(tǒng)一或相似的性質，它的延伸、推廣可以呈現(xiàn)出豐富多彩的數(shù)學內容，深刻反映了數(shù)學獨特的魅力，值得我們去發(fā)現(xiàn)和欣賞，本文在文[1]中結論的啟發(fā)下通過探究得出了更為一般的結果.

文[1]中探究了與橢圓準點有關的一個性質.

同樣在雙曲線和拋物線中也有此類性質.上述性質反映了圓錐曲線的交點與準線的一個統(tǒng)一性質，結論無疑是非常優(yōu)美的，且在高考和模擬考常有體現(xiàn)；但仔細觀察，筆者發(fā)現(xiàn)該結論僅僅是橢圓的焦點和準線的性質，如果Q點不在準線上時仍否有類似的性質呢？筆者借助GeoGebra軟件進行了實驗探究，發(fā)現(xiàn)了如下更為一般的定理：

圖1

圖2

圖3

結論2、3的證明過程類似于結論1，此處不一一贅述.

圖4

結論4 如圖4，已知拋物線y2=2px(p>0)，A是拋物線的頂點，M(m,0)(m>0)是拋物線內一點，直線x=-m與x軸的交點為N，過點N的直線與拋物線交于點C,D，直線AC與過D點且平行于x軸的直線交于點P，則PM⊥x軸，且PM平分∠CMD.