由一個含參不等式引申出的幾個優(yōu)美結論

四川師范大學數(shù)學科學學院 (610068) 紀定春 夏逸天

1.問題與評注

問題(2020年高考標準樣卷(五)理科第16題)若不等式kxe≤ex對任意的x∈(0,+∞)都成立，則實數(shù)k的取值范圍為．

該試題結構簡單、形式對稱，蘊含了豐富的數(shù)學思想，如對數(shù)化思想、化歸與轉化思想、構造思想、函數(shù)化思想等，是一道感悟數(shù)學思想，體現(xiàn)數(shù)學方法的試題．我們將給出該問題的解決方法，并引申出幾個優(yōu)美結論且加以證明．

2.問題的解決

評注：該方法主要是利用分離參數(shù)和構造函數(shù)，然后用導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性，最終得出參數(shù)的取值范圍．該方法蘊含了轉化思想、函數(shù)化思想等．

3.引申出的幾個優(yōu)美結論

結論1 對任意的實數(shù)a，b，當0

結論2 對任意的實數(shù)a，b，當eba成立．

評注：結論1和結論2是對原問題的一般化處理，當然也可以增加參數(shù)，將其構造成原試題的模樣，然后將其設計成求參數(shù)范圍的問題．在原問題中，出現(xiàn)了“e”這個特殊點，并且“e”作為自然底數(shù)是一個無理數(shù)，此時對于“ba”和“ab”剛好相等．如果當把a或b中的其中一個看成是變量，實質(zhì)上是一個冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)比大小的問題．如果我們固定一個變量會是怎樣的結果呢？于是，引申出如下：

結論4 設n>7，且n∈Z，若將n分成若干個正整數(shù)，證明：當這系列整數(shù)盡可能取3時(或盡量靠近e的整數(shù)時)，其之積達到最大值．

分析：由結論3可知：當每一份為e時達到最大，且當小于e時，其積是遞增狀態(tài)，當大于e時，其積是呈現(xiàn)遞減狀態(tài)．那么，只需要考慮e相鄰的兩個正整數(shù)2和3，下面將進行分類討論．

現(xiàn)在找出A1、A2的最小值，以及B1、B2、B3的最大值．易得A2>A1，B1>B3>B2．再比較B2和A2的大小，可以使用數(shù)學歸納法證明，對于任意的自然數(shù)n(n>7)，有B2>A2成立.故當這系列整數(shù)盡可能取3時(或盡量靠近e的整數(shù)時)，其之積達到最大值．

評注：推廣4的條件比推廣3的條件更為苛刻．推廣3的神奇之處在于，當對任意一個自然數(shù)(n>4)進行分解后成乘積最大，居然是分解成無理數(shù)，這也聯(lián)通了自然數(shù)、最值、無理數(shù)之間的關系．同時，推廣3的證明過程，也為推廣4提供了依據(jù)和思路，因為3更加靠近e，所以當分解成整數(shù)的乘積時，盡量分解成3或靠近3的整數(shù)之積，這樣才能使得分解后的乘積達到最大值．