基于核心素養(yǎng)問(wèn)題設(shè)計(jì)的三個(gè)原則
——以利用待定系數(shù)法求多項(xiàng)式最值問(wèn)題設(shè)計(jì)為例

浙江省寧波市北侖中學(xué) (315800) 毛浙東

史寧中教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)遵循的一個(gè)原則是設(shè)計(jì)并且實(shí)施合理的教學(xué)活動(dòng).眾所周知，問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，因此在課堂教學(xué)中，教師如何設(shè)計(jì)例題就顯得非常關(guān)鍵.不同的例題承載著不同的育人功能，教師通過(guò)合理的例題設(shè)計(jì)，進(jìn)行有針對(duì)性的教學(xué)，能有效培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

高中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括六個(gè)要素，其中最為重要的有三個(gè)：抽象、推理和模型【1】.發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，有助于學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界.下面筆者就以“利用待定系數(shù)法求多項(xiàng)式最值”這堂課為例，從核心素養(yǎng)的維度，來(lái)談?wù)務(wù)n堂中問(wèn)題設(shè)計(jì)的三個(gè)原則.

1 核心素養(yǎng)的三個(gè)維度

1.1 維度一：用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表述問(wèn)題——讓學(xué)生學(xué)會(huì)建立模型

數(shù)學(xué)的語(yǔ)言就是數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型構(gòu)建了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁，為了更好地培育學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界的能力，教師應(yīng)當(dāng)在課堂中設(shè)計(jì)一些能指向數(shù)學(xué)建模能力培育的例題，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力，完善學(xué)生知識(shí)和方法在腦海中的建構(gòu).

問(wèn)題1 若x,y,z∈(0,+∞)，且4x+5y+8z=30，求8x2+15y2+48z2的最小值.

1.2 維度二：用數(shù)學(xué)的思維思考問(wèn)題——讓學(xué)生學(xué)會(huì)邏輯推理

用數(shù)學(xué)的思維思考問(wèn)題，也就是進(jìn)行邏輯推理，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的另外一個(gè)重要的特征——嚴(yán)謹(jǐn)性.為了培育學(xué)生的邏輯推理能力，教師在進(jìn)行例題設(shè)計(jì)時(shí)，需要給學(xué)生適當(dāng)增加“障礙”，讓學(xué)生必須先通過(guò)推理和分析，選擇出最優(yōu)的模型，有時(shí)甚至需要多次綜合運(yùn)用不同的模型，才能解決問(wèn)題，這是一種更高級(jí)的要求.

問(wèn)題2 已知正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2+y2+z2=1，求xz+xy+2yz的最大值.

分析：觀察題目結(jié)構(gòu)，初步確定可以選擇基本不等式這個(gè)模型來(lái)解決，但是對(duì)題目的數(shù)據(jù)進(jìn)行仔細(xì)分析后，我們發(fā)現(xiàn)需要多次運(yùn)用基本不等式才能順利求解.

1.3 維度三：用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題——讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象

抽象是數(shù)學(xué)最重要的一個(gè)特征.讓學(xué)生學(xué)會(huì)剝離原題的數(shù)學(xué)情境，進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，是數(shù)學(xué)最基本的“童子功”，只有練好了這個(gè)“童子功”，我們才能學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的眼光洞察這大千世界.當(dāng)然，在數(shù)學(xué)的抽象過(guò)程中，適當(dāng)?shù)牡葍r(jià)轉(zhuǎn)化是不可或缺的，因?yàn)檫@能讓我們更好地看清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，從而成功地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象.

問(wèn)題3 已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)，若存在實(shí)數(shù)a∈[1,2]，對(duì)任意的x∈[1,2]，都有f(x)≤1，則7b+5c的最大值為.

2 基于核心素養(yǎng)的問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)的三個(gè)原則

2.1 原則一:問(wèn)題設(shè)計(jì)要有明確的素養(yǎng)指向性

基于核心素養(yǎng)的問(wèn)題設(shè)計(jì)要有明確的核心素養(yǎng)培育的指向性.正所謂“有的”才能“放矢”，教師在課堂例題設(shè)計(jì)時(shí)要特別關(guān)注例題設(shè)計(jì)的目的，即關(guān)注如何通過(guò)例題教學(xué)來(lái)有效提升學(xué)生的不同數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).因?yàn)椴煌膯?wèn)題對(duì)學(xué)生素養(yǎng)培育的側(cè)重會(huì)有所不同，因此我們?cè)谠O(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)當(dāng)先明確這堂課重點(diǎn)要培育學(xué)生哪方面的素養(yǎng)，然后根據(jù)這個(gè)目標(biāo)來(lái)設(shè)計(jì)例題，讓每個(gè)問(wèn)題都有明確的指向性.具有明確指向性的問(wèn)題設(shè)計(jì)，能有效驅(qū)動(dòng)、引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)，也能避免重復(fù)地、機(jī)械地在課堂中進(jìn)行滿堂灌，讓課堂更從容，也更具有厚度和底蘊(yùn).

2.2 原則二:問(wèn)題設(shè)計(jì)要有合理的層次梯度性

問(wèn)題的設(shè)計(jì)需要遵循梯度性原則.行為主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)是刺激與反應(yīng)的聯(lián)結(jié)，是有機(jī)體在接受外界的刺激后做出相應(yīng)的反應(yīng)，是反應(yīng)的強(qiáng)化和經(jīng)驗(yàn)的獲得，而帶有梯度性的問(wèn)題有助于學(xué)生可持續(xù)注意力的激發(fā)，能提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效能.同時(shí)，這種循序漸進(jìn)的做法也遵循了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生的能力在課堂中不斷螺旋上升.

比如在上述案例中，因?yàn)閱?wèn)題1直接利用柯西不等式的模型即可解決，是最簡(jiǎn)單的建模思想的運(yùn)用，因此也是最淺層的設(shè)計(jì)，作為第一道例題是恰當(dāng)?shù)?而問(wèn)題2則需要多次運(yùn)用基本不等式的模型才能解決，這個(gè)過(guò)程需要一定的邏輯分析，因此問(wèn)題2的層級(jí)是高于問(wèn)題1的.而問(wèn)題3的情境更復(fù)雜，需要先進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，才能進(jìn)行模式識(shí)別和模型建構(gòu)，因?yàn)閱?wèn)題的難度更高，因此將其作為第三道例題.這種由淺入深，環(huán)環(huán)相扣，帶有梯度性的問(wèn)題設(shè)計(jì)從不同的維度培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.3 原則三:問(wèn)題設(shè)計(jì)要有緊密的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性

維果茨基認(rèn)為，在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”展開(kāi)教學(xué)，更能加速學(xué)生的發(fā)展.具有前后關(guān)聯(lián)的例題串就是在學(xué)生的近發(fā)展區(qū)中設(shè)置的一個(gè)個(gè)補(bǔ)給站，讓學(xué)生通過(guò)不斷地補(bǔ)充“能量”，從而能到達(dá)更遠(yuǎn)的目的地.因此具有前后關(guān)聯(lián)性的例題鏈對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的推動(dòng)性是遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于“各自為戰(zhàn)”的例題鏈的.

另一個(gè)方面，雖然每一個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都有自身的獨(dú)立性，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，在發(fā)現(xiàn)與提出、分析與解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題中，各自在不同的環(huán)節(jié)發(fā)揮不同的作用，但我們更需要強(qiáng)調(diào)整體性，六個(gè)核心素養(yǎng)是一個(gè)有機(jī)聯(lián)系的整體，它們不是兩兩“不交”的獨(dú)立素養(yǎng)，而是相互“交著”相互“滲透”的【2】.既然各個(gè)核心素養(yǎng)本身就是相互“交著”與“滲透”的，那我們有什么理由不在問(wèn)題設(shè)計(jì)時(shí)關(guān)注一下問(wèn)題的前后關(guān)聯(lián)性，讓問(wèn)題之間也能做到相互“交著”與“滲透”呢？

例如，在本案例中，我們就選擇了非?！熬o湊”的三個(gè)問(wèn)題，圍繞同一個(gè)中心和同一種方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，問(wèn)題之間前后關(guān)聯(lián)，你中有我，我中有你.這三個(gè)問(wèn)題都圍繞一個(gè)中心問(wèn)題——“求多項(xiàng)式的最值”來(lái)展開(kāi)，采用的核心方法也是一致的，都是利用待定系數(shù)法來(lái)解決，同時(shí)三個(gè)問(wèn)題都滲透了數(shù)學(xué)建模的思想，它們組成了一個(gè)有機(jī)的整體.正因?yàn)閱?wèn)題的設(shè)計(jì)注重了其內(nèi)在的關(guān)聯(lián)，學(xué)生對(duì)知識(shí)和方法的理解更加深刻，核心素養(yǎng)的培育也更加有效.