電勢疊加在高考試題的應(yīng)用
——以2020年全國卷部分試題為例

貴州 楊 勇

一、點(diǎn)電荷周圍的電勢表達(dá)式推導(dǎo)

如圖1所示，一帶電荷量為Q的正點(diǎn)電荷，若規(guī)定無窮遠(yuǎn)處為零電勢點(diǎn)，靜電力常量為k，請計(jì)算A點(diǎn)的電勢為多少。

圖1

取無窮遠(yuǎn)為零電勢點(diǎn)，即φ∞=0，根據(jù)電場力做功的特點(diǎn)，W=-ΔEp。設(shè)點(diǎn)電荷在A點(diǎn)的電勢為φA，現(xiàn)將試探電荷q從A點(diǎn)移動(dòng)到無窮遠(yuǎn)處，由電場力做功與電勢能的變化關(guān)系得

WA-∞=-(Ep∞-EpA)

ΔW=FΔr

二、電勢疊加在高考試題中的應(yīng)用

【例1】(2020年全國卷Ⅱ第20題)如圖2所示，豎直面內(nèi)一絕緣細(xì)圓環(huán)，上、下半圓分別均勻分布著等量異種電荷。a、b為圓環(huán)水平直徑上的兩個(gè)點(diǎn)，c、d為豎直直徑上的兩個(gè)點(diǎn)，它們與圓心的距離均相等。則

圖2

( )

A.a、b兩點(diǎn)的場強(qiáng)相等

B.a、b兩點(diǎn)的電勢相等

C.c、d兩點(diǎn)的場強(qiáng)相等

D.c、d兩點(diǎn)的電勢相等

【命題分析】本題考查靜電場的相關(guān)知識(shí)、場的疊加、等量異種電荷模型的綜合應(yīng)用，考查微元法在物理學(xué)中的應(yīng)用等，旨在考查考生的理解能力和推理能力。

【試題分析】從本題的題述來看，考查的知識(shí)點(diǎn)為帶電體周圍電場分布及電場的基本性質(zhì)，雖然絕緣環(huán)上所帶的電荷不能看成點(diǎn)電荷來處理，但是題述中的四個(gè)點(diǎn)都具有一定的對稱性和特殊性。對于a、b兩點(diǎn)的電場強(qiáng)度大小可能僅憑高中知識(shí)不一定能計(jì)算出來，但是由于位置關(guān)于圓環(huán)的圓心對稱，可以利用對稱關(guān)系定性描述兩點(diǎn)的電場強(qiáng)度大小及方向等；同時(shí)對于a、b兩點(diǎn)電勢的高低，可以結(jié)合已學(xué)知識(shí)，利用點(diǎn)電荷模型進(jìn)行分析，從而找到解題的突破口。c、d兩點(diǎn)與a、b兩點(diǎn)不同的是其左右都是同種電荷，而且距離相等，聯(lián)想場的疊加原理，可以通過疊加的方式把兩點(diǎn)的電場定性地描述出來，再結(jié)合場的基本性質(zhì)可以找到解題的辦法。從本題的命題思路來看，主要考查考生對電場基本性質(zhì)的掌握，同時(shí)也體現(xiàn)了對帶電體周圍電場的研究方法，把點(diǎn)電荷模型、微元法、對稱思維等方法融入到考題中，從不同角度考查考生對電場的理解以及處理電場的基本方法，既考查了考生基礎(chǔ)知識(shí)，又體現(xiàn)了題目的新穎和創(chuàng)新，因此，本題是一道具有高考選拔人才功能的好題。

解析一(點(diǎn)電荷模型)這里只介紹和討論帶電體周圍電勢高低的比較，對于電場強(qiáng)度這里不做詳細(xì)的介紹。由于兩個(gè)半圓帶電體所帶電荷量相等，且?guī)щ娋鶆?，所以，可以把圓環(huán)分成n等份，當(dāng)每份足夠小時(shí)，每一份帶電體可以看成獨(dú)立的點(diǎn)電荷，由于兩個(gè)半圓環(huán)對稱，則關(guān)于a、b連線對稱的異種電荷可以看成一對等量異種電荷模型，如圖3所示，a、b兩點(diǎn)必然在直線M、N上，則a、b兩點(diǎn)的電勢相等；由于對稱性，可以得到c、d兩點(diǎn)在同一條電場線上，沿電場線方向電勢逐漸降低，所以，c點(diǎn)的電勢高于d點(diǎn)的電勢。

圖3

圖4

【點(diǎn)評】以上兩種方法是通過定性描述和定量計(jì)算來比較空間中兩點(diǎn)電勢的高低，從兩種不同角度來看，他們都有各自的優(yōu)勢。對于建立點(diǎn)電荷模型來比較，要對等量異種電荷模型的電場線分布以及特點(diǎn)充分掌握，比如，等量異種電荷的中垂面上電勢處處相等，沿著電場線方向電勢逐漸降低，這些在基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)時(shí)都不能混淆。建立點(diǎn)電荷模型分析a、b兩點(diǎn)的電勢高低時(shí)比較直觀，但是在分析c、d兩點(diǎn)時(shí)，可能一部分考生對場的疊加了解不深刻，不一定想到c、d兩點(diǎn)在同一條電場線上。所以，若用點(diǎn)電荷模型，必須知道兩圓環(huán)的電場疊加后c、d在同一條電場線上，這是判斷c、d兩點(diǎn)電勢高低的重要突破點(diǎn)。應(yīng)用點(diǎn)電荷的電勢表達(dá)式解題相對清晰、明了，但是由于自高中階段，大多數(shù)都不介紹點(diǎn)電荷的電勢表達(dá)式，所以，很多考生會(huì)比較陌生，但是只要突破點(diǎn)電荷的電勢表達(dá)式，應(yīng)用定量計(jì)算描述某點(diǎn)的電勢，相對從電場的特點(diǎn)來判斷，思路要清晰得多。從本題來看，應(yīng)用電勢的疊加方式來比較空間中電勢的高低也比較方便，教師在備考復(fù)習(xí)中，可以加強(qiáng)此方法的訓(xùn)練，讓學(xué)生的思維得到發(fā)散和創(chuàng)新。

【例2】(2020年全國卷Ⅱ第21題)如圖5所示，∠M是銳角三角形PMN最大的內(nèi)角，電荷量為q(q>0)的點(diǎn)電荷固定在P點(diǎn)。下列說法正確的是

圖5

( )

A.沿MN邊，從M點(diǎn)到N點(diǎn)，電場強(qiáng)度的大小逐漸增大

B.沿MN邊，從M點(diǎn)到N點(diǎn)，電勢先增大后減小

C.正電荷在M點(diǎn)的電勢能比其在N點(diǎn)的電勢能大

D.將正電荷從M點(diǎn)移動(dòng)到N點(diǎn)，電場力所做的總功為負(fù)

【命題分析】本題考查的是孤立點(diǎn)電荷周圍的電場和電勢能的性質(zhì)，旨在考查學(xué)生的推理能力和分析綜合能力。

圖6