2019年“勾股定理”中考題演練

陳德前

1.（咸寧）勾股定理是“人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一”.我國對勾股定理的證明是由漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，他證明勾股定理的圖案被稱為“趙爽弦圖”.2002年，在北京召開的國際數(shù)學(xué)大會選它作為會徽.下列圖案中是“趙爽弦圖”的是（ ? ?）.

2.（益陽）已知M，N是線段AB上的兩點，AM=MN=2，NB=l.以點A為圓心，AN長為半徑畫弧;再以點B為圓心，BM長為半徑畫弧，兩弧交于點C，連接AC，BC，如圖1.則△ABC一定是（ ? ?）.

A.銳角三角形 ? ?B.直角三角形

C.鈍角三角形 ? ?D.等腰三角形

3.（東營）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分別以點B和點c為圓心，大于1/2BC的長為半徑作弧，兩弧相交于D，E兩點，作直線DE，交AB于點F，交BC于點C，連接CF.若AC=3，CG=2，則CF的長為（ ? ?）.

A.5/2 ? ?B.3 ? c.2 ? D.7/2

4.（貴港）將一條寬度為2cm的彩帶按圖3所示的方法折疊，折痕為AB，重疊部分為△ABC（圖中陰影部分）.若∠ACB=45°，則重疊部分的面積為（ ? ?）.

A.2√2c㎡ ? ?B.2√3c㎡

C.4 c㎡ ? ?D.4√2c㎡

5.（河南）如圖4，在四邊形ABCD中，AD//BC，∠D=90°，AD=4，BC=3.分別以點A，C為圓心，大于1/2AC的長為半徑作弧，兩弧交于點E.作射線BE交AD于點F，交AC于點O.若點O是AC的中點，則CD的長為（ ?）.

A.2√2 ? B.4 ? ?C.3 ? ?D.√10

6.（寧波）勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載，如圖5，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩個正方形按圖6的方式放置在最大的正方形內(nèi).若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（ ? ?）.

A.直角三角形的面積

B.最大正方形的面積

c.較小兩個正方形重疊部分的面積

D.最大正方形與直角三角形的面積和

7.（桂林）將長方形ABCD按圖7所示的方式折疊，BE，EG，F(xiàn)G為折痕，若頂點A，C，D都落在點O處，且點B，O，G在同一條直線上，同時點E，O，F(xiàn)在另一條直線上，則AD/AB的值為（ ? ?）.

A.6/5 ? B.√2 ? C.3/2 ? D.√3

8.（郴州）我國古代數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的三角形，如圖8所示.已知∠A=90°，BD=4.CF=6，則正方形ADOF的邊長是（ ? ?）.

A.√2 ? ?B.2 ? ?C.√3 ? ?D.4

9.（重慶）如圖9，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3.AD⊥BC于點D，BE⊥AC于點E，AE=l.連接DE，將△AED沿直線AE翻折至△ABC所在的平面內(nèi)，得△AEF，連接DF.過點D作DC⊥DE交BE于點G.則四邊形DFEG的周長為（ ? ?）.

A.8 ? ?B.4√2 ?C.2√2+4 ? D.3√2+2

10.（安徽）命題“如果a+b=0，那么a，b互為相反數(shù)”的逆命題為______.

11.（常州）平面直角坐標系中，點P（-3，4）到原點的距離是______.

12.（哈爾濱）如圖10，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，其中點A'與點A是對應(yīng)點，點B'與點B是對應(yīng)點，點B'落在邊AC上.連接A'B.若∠ACB=45°，AC=3，BC=2.則A'B的長為________.

13.（大慶）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”，是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖11所示）.如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1.直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，那么（a-b）²的值是______.

14.（甘肅）如圖12，在長方形ABCD中，AB=10，AD=6.E為BC上一點，把△CDE沿DE折疊，使點C落在AB邊上的點F處.CE的長為_______.

15.（綿陽）在△ABC中，若∠B=45°，AB=lO√2，AC=5√5，則△ABC的面積是______.

16.（荊州）如圖13所示，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，的棱長為4cm，E，F(xiàn)，G分別是AB，A₁，AD的中點.截面EFG將這個正方體切去一個角后得到一個新的幾何體（如圖14），則圖中陰影部分的面積為______c㎡.

17.（宿遷）如圖15，∠MAN=60°，△ABC的頂點B在射線AM上，且AB=2.點C在射線AN上運動.當△ABC是銳角三角形時，BC的取值范圍是______.

18.（棗莊）把兩個同樣大小的含45°角的三角尺按圖16所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個三角尺的直角頂點重合于點A，且另外三個銳角頂點B，C，D在同一直線上.若AB=2，則CD=_______.

19.（哈爾濱）如圖17，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC，∠A=60°.點E為AD邊上一點，連接BD，CE，CE與BD交于點F，且CE//AB.若AB=8，CE=6，則BC的長為_______.

20.（湖州）七巧板是我們祖先的一項卓越創(chuàng)造，被譽為“東方魔板”，由邊長為4 √2的正方形ABCD可以制作一副如圖18所示的七巧板.現(xiàn)將這副七巧板在正方形EFGH內(nèi)拼成如圖19所示的“拼搏兔”造型（圖18中點Q，R分別與圖19中的點E，G重合，點P在邊EH上），那么“拼搏兔”所在正方形EFGH的邊長是_______.

21.（河北）勘測隊按實際需要構(gòu)建了平面直角坐標系，并標示了A，B，C三地的坐標，數(shù)據(jù)如圖20所示（單位：km）.筆直鐵路經(jīng)過A，B兩地.

（1）A，B間的距離為______km;

（2）計劃修一條從C到鐵路AB的最短公路l，并在l上建一個維修站D，使D到A，C的距離相等.則C，D間的距離為______km.

22.（青島）如圖21.在正方形紙片ABCD中，E是CD的中點，將正方形紙片折疊，點B落在線段AE上的點G處，折痕為AF，若AD=4cm，則CF的長為_______cm.

23.（巴中）如圖22，等邊△ABC內(nèi)有一點P，分別連接AP，BP，CP.若AP=6，BP=8，CP=10.則S_△ABP+S△BCP=________.

24.（河北）已知整式B>O，且B²=（n²-1）²+（2n）²，當n>l時，n²-l，2n，B為直角三角形的三邊長，如圖

23.填寫下表中B的值：

25.（長沙）如圖24，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，且DE=CF.AF與BE相交于點G.

（l）求證：BE=AF;

（2）若AB=4，DE=1，求AG的長.

26.（巴中）如圖25，等腰直角三角板ABC如圖放置，直角頂點C在直線m上.分別過點A，B作AE⊥直線，m于點E，BD⊥直線m于點D.

（1）求證：CE=BD;

（2）若沒△AEC三邊長分別為a，b，c，利用此圖證明勾股定理.

27.（泰州）如圖26，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8.

（l）用直尺和圓規(guī)作AB的垂直平分線（保留作圖痕跡，不要求寫作法）;

（2）若（l）中所作的垂直平分線交BC于點D，求BD的長.

28.（溫州）在7x5的方格紙ABCD中，請按下列要求畫圖，且所畫格點三角形與格點四邊形的頂點均不與點A，B，C，D重合.

（1）在圖27中畫一個格點△EFG，使點E，F(xiàn)，G分別落在邊AB，BC，CD上，且∠EFG=90°.

（2）在圖28中畫一個格點四邊形MNPQ，使點M，N，P，Q分別落在邊AB，BC，CD，DA上，且MP=NQ.

29.（棗莊）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于點D.

（1）如圖29，點M，N分別在AD，AB上，且∠BMN=90°，當∠AMN=30°，AB=2時，求線段AM的長.

（2）如圖30，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且∠EDF=90°，求證：BE=AF.

（3）如圖31，點M在AD的延長線上，點N在AC上，且∠BMN=90°，求證：AB+AN=√2AM.

30.（紹興）圖32是實驗室中的一種擺動裝置.BC在地面上，支架ABC是底邊為BC的等腰直角三角形.擺動臂AD可繞點A旋轉(zhuǎn)，擺動臂DM可繞點D旋轉(zhuǎn)AD=30，DM=1O，

（1）在旋轉(zhuǎn)過程中：

①當A，D，M三點在同一直線上時，求AM的長：

②當A，D，M三點為同一直角三角形的頂點時，求AM的長.

（2）若擺動臂AD順時針旋轉(zhuǎn)90°，點D的位置由△ABC外的點D₁處轉(zhuǎn)到其內(nèi)的點D₂處，連接D₁D₂，如圖33.若此時∠AD₂C=135°，CD₂=60，求BD₂的長.

31.（天水）如圖34，對角線互相垂直的四邊形叫作“垂美四邊形”.

（l）[概念理解]

如圖35，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD.四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由.

（2）[性質(zhì)探究]

如圖34，四邊形ABCD的對角線AC.BD交于點O，AC⊥BD.試證明：AB²+CD²=AD²+BC².

（3）[解決問題]

如圖36.分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE.連接CE，BG.GE.已知AC=4，AB=5，求GE的長.