交換半環(huán)上的廣義正交矩陣

劉麗娟， 舒乾宇

（四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川成都610066）

半環(huán)，作為一種特殊的代數(shù)結(jié)構(gòu)，于1894 年被Dedeking［1］在研究結(jié)合環(huán)的理想時提出，隨后被許多 學(xué) 者 研 究［2-4］. 1979 年，Cuninghame - Green等［5］在min-plus 代數(shù)中構(gòu)建了類似于經(jīng)典線性代數(shù)的一系列理論.2007 年，Nola 等［6］在 MV - 代數(shù)上建立了半模，并得到了一些類似于經(jīng)典線性代數(shù)中的結(jié)論.2010 年，Zhao 等［7］給出了 zerosumfree半環(huán)上的n 維半模中每組基有相同基數(shù)的充分條件；2011 年，Shu 等［8］給出了 zerosumfree 半環(huán)上的n維半模中每組基有相同基數(shù)的充要條件，并證明了一組向量為基當(dāng)且僅當(dāng)它是標(biāo)準(zhǔn)正交的. 2014年，Tan［9］給出了過渡矩陣的定義，并給出了交換半環(huán)上的有限生成自由半模中任意兩個基有相同基數(shù)的等價條件；同年，文獻［10］給出了交換半環(huán)上內(nèi)積與正交集的定義，得到了一定條件下半域中標(biāo)準(zhǔn)正交集擴充為標(biāo)準(zhǔn)正交基的等價描述.眾所周知，在經(jīng)典線性代數(shù)中，標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣是正交矩陣，且任一正交向量組都能擴充成一組正交基.本文將研究交換半環(huán)中的正交矩陣，進而討論有限生成半模中標(biāo)準(zhǔn)正交集的擴充問題.

1 預(yù)備知識

為了討論方便，下面給出一些基本概念及已有的結(jié)論.

定義 1.1［2］半環(huán) L ＝ 〈L，+，.，0，1〉是滿足下述性質(zhì)的代數(shù)結(jié)構(gòu)：

1）（L，+，0）是交換幺半群；

2）（L，.，1）是幺半群；

3）對任意的 r，s，t∈L 滿足 r.（s+t）＝r.s+r.t和（s+t）.r ＝ s.r+t.r；

4）對任意的 r∈L，有 0.r ＝ r.0 ＝0 成立；

5）0≠1.

特別地，若對任意的 r，s∈L，都有 r. s ＝ s. r，則稱 L 是交換半環(huán).對任意的 a，b∈L，若 a +b ＝0 蘊含 a ＝b ＝0，則稱 L 是 zerosumfree 半環(huán).

例1.1設(shè)N表示所有自然數(shù)構(gòu)成的集合，則N連同普通加法和普通乘法運算構(gòu)成一個交換的zerosumfree半環(huán)，記作 L ＝〈N，+，.，0，1〉.

定義 1.2［2］設(shè) L ＝ 〈L，+，.，0，1〉為半環(huán)，M ＝（M，+M，0M）為一個加法交換幺半群.若外積*：L × M→M 滿足對任意的 r，t∈L 和 α，β ∈M都有：

1）（r.t）*α ＝r*（t*α）；

2）r*（α+Mβ）＝r*α+Mr*β；

3）（r+t）*α ＝r*α +Mt*α；

4）1*α ＝α；

5）0*α ＝r*0M＝0M，

則稱〈L，+，.，0，1；*；M，+M，0M〉為左 L-半模.

類似地，還可以定義右L -半模，其中外積的定義為M × L→M.在不引起混淆的情況下，在左L-半模 M 中，對任意的 r∈L，α∈M，將用 rα 來代替r*α.為方便起見，令＝ ｛1，2，…，n｝，其中 n為任意正整數(shù).如無特別說明，下文中所指的半環(huán)均為交換半環(huán)，半模均為左L-半模.

例 1.2設(shè)L ＝〈L，+，.，0，1〉是半環(huán)，對n≥1，令其中（x1，x2，…，xn）T表示（x1，x2，…，xn）的轉(zhuǎn)置.對任意的 x ＝ （x1，x2，…，xn）T，y ＝ （y1，y2，…，yn）T∈Vn（L）和 r∈L，定義運算如下：

為L-半模，其中

類似地，按以上方法來定義+和*，則

也為L-半模，其中

設(shè)A為L-半模M的非空集合.M中所有包含A的子半模的交集也是M 的子半模，稱為由A生成的子半模，記為 Span（A）.易知

如果 Span（A）＝M，稱 A 為 M 的生成集，稱存在有限生成集的半模為有限生成半模，否則，稱為無限生成半模.稱M 的生成集中的最小基數(shù)n為M的秩，記為r（M）＝n.易知，任意有限生成半模的秩存在.

定義 1.3［10］設(shè) A 為 L - 半模 M 的非空集合.若對任意的α∈A，有

則稱A是線性無關(guān)的；否則，稱A是線性相關(guān)的.若M中任意元素至多由A 中的元素唯一線性表出，則稱A是自由的.

定義 1.4［10］設(shè) M 為 L - 半模.稱 M 中線性無關(guān)的生成集為M 的基，稱M 中自由的生成集為M的自由基.

定義1.5［10］在 L -半模 M 上定義了一個二元運算〈，〉，稱為M的內(nèi)積，它具有性質(zhì)：

1）〈α，β〉＝ 〈β，α〉；

2）〈λα +μβ，γ〉＝λ〈α，γ〉+μ〈β，γ〉，其中，α，β，γ∈M，λ，μ∈L.

例1.3在L-半模νn中，對任意的向量α ＝（a1，a2，…，an）T，β ＝ （b1，b2，…，bn）T∈Vn，α 和 β的內(nèi)積記作〈α，β〉，等于它們對應(yīng)分量的乘積之和

稱該內(nèi)積為νn的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積.

定義 1.6［10］設(shè) M 為 L-半模，α，β∈M.若〈α，β〉＝0，則稱 α、β 是正交的，記作 α⊥β.設(shè) N 為M 的子集，若對任意的 α，β∈N，α≠β，α⊥β，則稱N是正交的.若N是正交的，且對任意的α∈N，有

則稱N是標(biāo)準(zhǔn)正交的.特別地，若〈α，α〉＝1，則稱N是規(guī)范化正交的.

定義 1.7［10］設(shè) M 為 L - 半模，稱 M 中正交的（或標(biāo)準(zhǔn)正交的、規(guī)范化正交的）基為正交基（或標(biāo)準(zhǔn)正交基、標(biāo)準(zhǔn)基）.

例1.4在L-半模νn中，若考慮標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積，則 ε1，ε2，…，εn是 νn的標(biāo)準(zhǔn)基，其中 ε1＝ （1，0，…，0）T，ε2＝ （0，1，…，0）T，…，εn＝ （0，0，…，1）T.

方便起見，下面將用 Mm×n（L）表示半環(huán) L 上所有m×n矩陣構(gòu)成的集合.特別地，令

對任意的 A ＝ （aij）m×n，B ＝ （bij）m×n∈Mm×n（L）和C ＝ （cij）n×l∈Mn×l（L），定義運算如下：

那么〈Mn（L），+，.，On，In〉為半環(huán)，其中同經(jīng)典線性代數(shù)一樣，在半模理論中，也能類似定義可逆矩陣、矩陣的轉(zhuǎn)置、矩陣的跡等概念.

定義 1. 8［2］對任意的 A∈Mn（L），若存在B∈Mn（L）使得 AB ＝ BA ＝ In，則稱 A 是可逆的，B為A的逆矩陣，記為B ＝A-1.

2 廣義正交矩陣的定義及其性質(zhì)

下面將給出廣義正交矩陣的定義及其等價刻畫.方便起見，先給出相關(guān)的記號.記

定義 2.1設(shè) A ＝ （aij）∈Mn（L），若

則稱A為廣義正交矩陣.特別地，若ATA ＝In，則稱A為標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣.

引理 2.1［11］設(shè) L 為半環(huán)，對任意的 A，B∈Mn（L）.如果 AB ＝ In，那么 BA ＝ In.

引理 2.2［12］設(shè) L ＝ 〈L，+，.，0，1〉為 zerosumfree半環(huán)，若 A∈Mn（L）是可逆的，則 ATA、AAT都是可逆對角矩陣.

由定義2.1，有

命題2.1設(shè)A∈Mn（L）為廣義正交矩陣，則下面結(jié)論成立：

1）A是可逆矩陣；

2）令 ATA ＝D，則 AD-1AT＝In；

3）（A-1）T為廣義正交矩陣；

4）若 L 是 zerosumfree 半環(huán)，則 AT是廣義正交矩陣；

5）若A是標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣，B 是廣義正交矩陣，則AB為廣義正交矩陣.

證明1）若A∈Mn（L）為廣義正交矩陣，由定義2.1 有

In＝（ATA）-1（ATA）＝［（ATA）-1AT］A.由引理2.1 知，A為可逆矩陣.

2）顯然

因此，由引理2.1 有 AD-1AT＝In.

3）不妨設(shè) ATA ＝D，則

由定義2.1 知（A-1）T為廣義正交矩陣.

由引理2.2 易知4）成立.

5）不妨設(shè)BTB ＝D，其中D為可逆對角陣，則

因此，AB為廣義正交矩陣.

注 2.1i）一般情況下，即使 A∈Mn（L）為廣義正交矩陣，A-1也不一定是廣義正交矩陣.例如，在實數(shù)域R中，令則易驗證A 為廣義正交矩陣，然而卻不是廣義正交矩陣.

ii）值得注意的是，命題2.1 的5）中，若A為廣義正交矩陣，B為標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣，則AB不一定為廣義正交矩陣.例如，在實數(shù)域R中，有

易知A為廣義正交矩陣，B為標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣，但

定義 2.2對任意的 A ＝ （aij）∈Mn（L），A 的主對角線上的元素之和稱為A的跡，記為tr（A），即

定理 2.1設(shè) A ＝ （aij）∈Mn（L），若 A 是廣義正交矩陣，則：

1）tr（AAT）＝tr（ATA）＝d1+d2+… +dn；

2）ATA、AAT均為可逆矩陣，且

證明1）由定義2.2 知

2）易知ATA為可逆矩陣且

由命題 2.1 的 2）知 AD-1AT＝ In，則

因此，AAT

是可逆矩陣且

3）由

標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣A 的轉(zhuǎn)置AT與逆矩陣A-1均為廣義正交矩陣，且A-1＝AT.然而，在一般情況下，此結(jié)論對廣義正交矩陣卻不一定成立.例如，在實數(shù)域R 中，令則那么

因此，矩陣A為廣義正交矩陣.但

下面將在一些半環(huán)上給出廣義正交矩陣的轉(zhuǎn)置與逆矩陣為廣義正交矩陣的充要條件.首先給出一些相關(guān)定義.

定義2.3［2］半環(huán)L中元素a 稱為加法可消的，當(dāng)且僅當(dāng)對任意的 b，c∈L，由 a +b ＝ a +c可得b ＝c.用K+（L）表示半環(huán) L 中所有加法可消元構(gòu)成的集合.若 K+（L）＝L，則稱半環(huán) L 是加法可消的.

定義 2.4［2］在半環(huán) L 中，設(shè) W（L）＝｛a∈L：若 b∈L，則存在元素 r∈L 使得 a +r ＝ b 或 a ＝ r +b｝.若 W（L）＝L，則稱 L 是 yoked半環(huán).

定義2.5［2］設(shè)a為半環(huán)L中的非零元，若存在非零元b∈L 使得 ab ＝0，則稱 a 是一個左零因子，而稱b是一個右零因子.若一個非零元既是左零因子又是右零因子，則稱之為零因子.

定義2.6［2］半環(huán)L 中元素a 稱為乘法可消的，當(dāng)且僅當(dāng)對任意的 b，c∈L，由 ab ＝ac可得 b ＝c.

引理 2.3［2］設(shè) L ＝ 〈L，+，.，0，1〉是加法可消的yoked半環(huán)，對任意的a∈L，若a是非零因子，則a是乘法可消的.

定理 2.2設(shè) L ＝ 〈L，+，.，0，1〉是加法可消的 yoked 半環(huán)，A ＝ （aij）∈Mn（L）為廣義正交矩陣，如果A滿足條件：存在某一行和某一列的元素均為非零因子，那么下列條件等價：

1）AT為廣義正交矩陣；

2）A-1為廣義正交矩陣；

3）D1＝aIn，其中 D1＝ATA，a∈U（L）.

證明1）?3） 不妨設(shè)

由（1）式知

進而有

又L是yoked的，所以對任意的li、lk，存在r∈L使得 li+r ＝ lk或 li＝ r +lk.若 li+r ＝ lk，則由（3）式知

又L是加法可消的.因此

不妨設(shè)A 的第p 列的元素均是非零因子，由引理2.3知對任意的是乘法可消的，則由對任意的知 r ＝ 0.因此，li＝ lk，?i，若 li＝ r+lk，類似可證不妨設(shè)不妨設(shè)A的第t行的元素全為非零因子，即對任意的為非零因子.由（2）式知

因為L是yoked的，所以對任意的dj、a，存在r∈L，使得 dj+r ＝ a 或 dj＝ r +a.若 dj+r ＝ a，則由（4）式知

又 L 是加法可消的.因此，ratj＝ 0.由為非零因子可知 r ＝0，故若 dj＝ r +a，類似可證因此

3）?2） 由 ATA ＝D1＝ aIn，a∈U（L）知

即A-1為廣義正交矩陣.

2）?1） 不妨設(shè)（A-1）TA-1＝ D3，其中 D3為可逆對角陣，則

即AT為廣義正交矩陣.

定義 2.7［10］設(shè) M 為 L - 半模，若 M 的每個基有相同的基數(shù)，則稱該基數(shù)為M的維數(shù)，記作dim（M）.

記 V（L）＝｛a∈L：存在 b∈L 使得 a +b ＝0｝.事實上，如果V（L）＝L，則L是環(huán).

定義 2. 8［2］設(shè) A ＝ （aij）∈Mn，σ 為排列的正行列式 ｜A ｜+和負(fù)行列式｜A｜-為：

其中 Sn和 An分別表示｛1，2，…，n｝的對稱群和交錯群.若｜A｜-∈V（L），則 A 的行列式

若｜A｜+∈V（L），則

引理 2.4［13］設(shè) L 為半環(huán)，dim（ν1）＝1，A ＝（α1，α2，…，αn）∈Mn（L），其中 αi＝ （a1i，a2i，…，那么A 是可逆矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A 的列向量滿足以下性質(zhì)：

3）要么 det（A）存在，且 det（A）∈U（L），要么-det（A）存在，且 -det（A）∈U（L）.

令 V（L）2＝｛a∈L：存在 b，c∈V（L）使得 bc ＝a｝.

定理 2.3設(shè) dim（ν1）＝1 且 V（L）2＝ ｛0｝，V（L）≠L.若 A ＝ （α1，α2，…，αn）∈Mn（L）滿足條件：對任意的若

則A為廣義正交矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A可逆，其中

表示A的第i列.

證明由命題2.1 的1）知只須證明充分性.由引理 2. 4，不妨設(shè) a11，a22，…，ann∈U（L），aij∈V（L），其中任意的由于 V（L）2＝ ｛0｝，所以故對任意的有

即A為廣義正交矩陣.

推論 2. 1［13］設(shè) L 是 zerosumfree 半 環(huán)，dim（ν1）＝1，若 A∈Mn（L），則以下條件等價：

1）A為廣義正交矩陣；

2）A為可逆矩陣；

3）存在置換矩陣 Q∈Mn（L）使得QA 為可逆對角矩陣.

設(shè) M 為 L-半模，｛β1，β2，…，βn｝為 M 的一組基，則對任意αj∈M，不妨設(shè)其中則

其中 A ＝（aij）∈Mn×m（L）.若｛α1，α2，…，αm｝為 M的一組基，稱 A 為基｛β1，β2，…，βn｝到基｛α1，α2，…，αm｝的過渡矩陣.

在經(jīng)典線性代數(shù)中，標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣為正交矩陣，在半模中是否也有類似的結(jié)論呢？討論此問題之前，先給出相關(guān)的一些結(jié)論.

引理 2.5［10］在L-半模 M 中，若 r（M）＝n，則有

1）M中任意標(biāo)準(zhǔn)正交集的基數(shù)都不超過n；

2）M中任意基數(shù)為n的標(biāo)準(zhǔn)正交集是M的標(biāo)準(zhǔn)正交基；

3）若M有標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么M 中任意基數(shù)為n的正交集是M的標(biāo)準(zhǔn)正交基.

如無特別說明，下面所指的L-半模均為存在標(biāo)準(zhǔn)基的有限生成半模.

定義 2. 9［10］設(shè) A ＝ ｛α1，α2，…，αm｝，B ＝｛β1，β2，…，βn｝為L-半模M 的2 個非空子集.對任意的若 αi可以表示為 β1，β2，…，βn的線性組合，且對任意的可以表示為 α1，α2，…，αm的線性組合，則稱A與B等價，記作A∽B.

引理 2.6［10］設(shè) A ＝ ｛α1，α2，…，αm｝，B ＝｛β1，β2，…，βn｝為 L- 半模 M 的兩個標(biāo)準(zhǔn)正交子集，如果A∽B，那么m ＝n.

引理 2.7［7］在 L- 半模 νn中，A∈Mn（L）為可逆矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A的列向量為νn的一組基.

定理 2.4設(shè)｛ε1，ε2，…，εn｝為 L - 半模 M的一組標(biāo)準(zhǔn)基，若（α1，α2，…，αm）＝ （ε1，ε2，…，εn）A，其中 A ＝（aij）∈Mn×m（L），那么｛α1，α2，…，αm｝為M的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基當(dāng)且僅當(dāng)A為廣義正交矩陣且m ＝n.

證明必要性 若｛α1，α2，…，αm｝為標(biāo)準(zhǔn)正交基，由引理 2.6 知 m ＝ n.又｛α1，α2，…，αm｝是標(biāo)準(zhǔn)正交的，故對任意的 i，j∈n，

充分性 不妨設(shè) ATA ＝ diag（d1，d2，…，dn），則有

因此，｛α1，α2，…，αn｝為標(biāo)準(zhǔn)正交集.由引理 2.5可知｛α1，α2，…，αn｝為 M 的標(biāo)準(zhǔn)正交基.

由定理2.4 及其證明，有下面推論成立.

推論 2.2設(shè)｛ε1，ε2，…，εn｝為 L - 半模 M的一組標(biāo)準(zhǔn)基，若（α1，α2，…，αm）＝ （ε1，ε2，…，εn）A，其中 A ＝ （aij）∈Mn×m（L），則有

1）｛α1，α2，…，αm｝為 M 的標(biāo)準(zhǔn)基當(dāng)且僅當(dāng)A為標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣；

2）｛α1，α2，…，αm｝是標(biāo)準(zhǔn)正交的當(dāng)且僅當(dāng)ATA為可逆對角陣；

3）若｛α1，α2，…，αm｝為 M 的標(biāo)準(zhǔn)正交集，則A的列向量組為L-半模νn的標(biāo)準(zhǔn)正交集.

定理 2.5設(shè)｛ε1，ε2，…，εn｝為 L - 半模 M的一組標(biāo)準(zhǔn)基，則

若｛α1，α2，…，αm｝為 M 的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則 A 的行向量組為νm的一組自由基.

證明由定理2.4 和命題2.1 知A 為可逆矩陣，從而AT也為可逆矩陣，故存在B∈Mn（L）使得BAT＝In.不妨設(shè) AT＝ （β1，β2，…，βn）.由引理 2.7知｛β1，β2，…，βn｝為 νn的一組基，下證｛β1，β2，…，βn｝是自由的.對任意的 β∈νn，若

兩邊同乘矩陣B，則有

設(shè) r（M）＝ n，值得注意的是，如果 A 為 M 的標(biāo)準(zhǔn)基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣，那A的行向量組不一定為 νn的標(biāo)準(zhǔn)正交基.因為A 為廣 義正交矩陣，但AT不一定是廣義正交矩陣，故AT的列向量組不一定為νn的標(biāo)準(zhǔn)正交基.

3 標(biāo)準(zhǔn)正交集的擴張

下面將討論在L -半模M 中標(biāo)準(zhǔn)正交集擴充為標(biāo)準(zhǔn)正交基的充要條件.

定理 3.1設(shè)｛ε1，ε2，…，εn｝為 L - 半模 M的一組標(biāo)準(zhǔn)基，若

（α1，α2，…，αm）＝（ε1，ε2，…，εn）A， m≤n，

則 α1，α2，…，αm可以擴充為 M 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基當(dāng)且僅當(dāng)存在 ξm+1，…，ξn∈νn，使得

B ＝ （ξ1，…，ξm，ξm+1，…，ξn）

為廣義正交矩陣，其中ξ1，…，ξm為A的列向量.

證明必要性 若 α1，α2，…，αm可擴充為 M的標(biāo)準(zhǔn)正交基，由引理2.6知，存在αm+1，…，αn使得α1，…，αm，αm+1，…，αn為 M 一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.設(shè)

（α1，α2，…，αn）＝ （ε1，ε2，…，εn）B，

由定理2.4知，B為廣義正交矩陣且B的第i列等于A 的第 i列

充分性 令

又B 為廣義正交矩陣，故由定理2.4 知，α1，α2，…，αn為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，即 α1，α2，…，αm可擴張為M的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.

由定理3.1 和推論2.1 有如下推論.

推論 3.1設(shè)L 是zerosumfree半環(huán)，dim（ν1）＝1.令 ε1，ε2，…，εn為 L- 半模 M 的一組標(biāo)準(zhǔn)基，則M的任意標(biāo)準(zhǔn)正交集α1，α2，…，αm可以擴充為標(biāo)準(zhǔn)正交基，當(dāng)且僅當(dāng)存在對任意的存在唯一的使得 αi＝kiεji，其中 ki∈U（L）且對任意的若 i≠l，則 j≠jl.

引理 3.1［13］在半環(huán) L 中，若 V（L）≠L 且dim（ν1）＝1，則 U（L）+V（L）＝U（L）.

引理3.2［14］設(shè)L為半環(huán)，那么

1）對任意的 a，b∈L，a+b∈V（L）?a，b∈V（L）；

2）對任意的a∈V（L），r∈L，有ra，ar∈V（L）.

定理 3.2設(shè) dim（ν1）＝1 且 V（L）∩U（L）＝?.令｛ε1，ε2，…，εn｝為 L - 半模 M 的一組標(biāo)準(zhǔn)基，（α1，α2，…，αm）＝（ε1，ε2，…，εn）A，其中

A ＝ （aij）∈Mn×m（L）， m ＜ n，

則 α1，α2，…，αm可以擴充為標(biāo)準(zhǔn)正交基當(dāng)且僅當(dāng)A的每列的不同位置恰有一個乘法可逆元，其余元素全為加法可逆元.

證明充分性 不妨設(shè) a11，a22，…，amm∈U（L）.首先證明存在 β 不能由 α1，α2，…，αm線性表出，其中

若任意這樣的 β 均可由 α1，α2，…，αm線性表出，則存在 k1，k2，…，km∈L，使得

k1ai1+k2ai2+… +kmaim∈V（L），

由引理 3.2 和 aii∈U（L）知 ki∈V（L）.又因為

am+1，1，am+1，2，…，am+1，m∈V（L）.

因此，由引理 3.2 和（5）式知

k1am+1，1+k2am+1，2+ … +kmam+1，m∈V（L），

矛盾.設(shè) γ 不能由 α1，α2，…，αm線性表出，其中

由（7）式有

由引理3.1 知

則B的每列的不同位置恰有一個乘法可逆元，其余元素全為加法可逆元.若 α1，…，αm，αm+1是標(biāo)準(zhǔn)正交基，則結(jié)論成立，若 α1，…，αm，αm+1不是標(biāo)準(zhǔn)正交基，則重復(fù)以上證明過程可知 α1，α2，…，αm可擴充為M的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.

必要性 若 α1，α2，…，αm可擴充為 M 的標(biāo)準(zhǔn)正交基，由引理 2.6 知，則存在 αm+1，…，αn使得α1，α2，…，αn為 M 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，故存在矩陣C∈Mn（L），使得

同理，由｛ε1，ε2，…，εn｝是 M 的一組標(biāo)準(zhǔn)基，故存在矩陣 B∈Mn（L），使得

故BC ＝In.由引理2.1及引理2.4知B的每列的不同位置恰有一個乘法可逆元，其余元素全為加法可逆元，且對任意的有B的第i列等于A的第i列.

引理3.3［2］若1∈V（L），則 V（L）＝L.

定理3.3若半環(huán)L滿足V（L）∩U（L）≠?，設(shè) α1，α2，…，αn-1為 L - 半模 M 的標(biāo)準(zhǔn)正交集，若 r（M）＝ n，則必存在 αn使得 α1，α2，…，αn-1，αn為M的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.

證明若 V（L）∩U（L）≠?，則由引理 3.3 易知V（L）＝L.因為r（M）＝n，所以存在β∈M不能由｛α1，α2，…，αn-1｝線性表出，令

由 α1，α2，…，αn-1是標(biāo)準(zhǔn)正交的，則

故 α1，α2，…，αn-1，αn為 M 的正交集，由引理2.5知 α1，α2，…，αn-1，αn為 M 的標(biāo)準(zhǔn)正交基.

4 結(jié)論

本文給出了廣義正交矩陣的定義及其等價刻畫，并討論了一類特殊的半環(huán)上有限生成半模中標(biāo)準(zhǔn)正交集擴充為標(biāo)準(zhǔn)正交基的充要條件.遺憾的是，一般交換半環(huán)上，標(biāo)準(zhǔn)正交集擴充為標(biāo)準(zhǔn)正交基的充要條件仍未能給出.