關于不定方程x3±33m=Dy2

管訓貴

(泰州學院 數(shù)理學院，江蘇 泰州 225300)

0 引言及主要結(jié)論

設D>2是不能被6k+1型素數(shù)整除的無平方因子正整數(shù)。文獻[1-3]對于較小的正整數(shù)m討論了方程

x3±33m=Dy2，gcd(x,y)=1

(1)

的求解問題。本文證明了以下一般性的結(jié)果。

定理1不定方程(1)有正整數(shù)解(m,x,y)的充要條件是方程

(2)

由定理1直接可得

推論1若2|D，2|/m，或2|/D，2|m，則不定方程x3+33m=Dy2，gcd(x,y)=1無整數(shù)解；若2|D，2|m，或2|/D，2|/m，則不定方程x3-33m=Dy2，gcd(x,y)=1無整數(shù)解。

推論2若D含有素因子p，滿足p≡5(mod 12)，則不定方程(1) 無正整數(shù)解。

推論3不定方程x3+27=11y2滿足gcd(x,y)=1的正整數(shù)解僅有(x,y)=(8,7)；不定方程x3-729=47y2滿足gcd(x,y)=1的正整數(shù)解僅有(x,y)=(56,61)。

1 若干引理

即

(3)

(4)

下證gcd(d,a)=1。因為若設gcd(d,a)=d1>1，則d1有素因數(shù)q，使得q|d，q|a。 而d|(a+b)，故q|(a+b)，推得q|b，與gcd(a,b)=1矛盾。因此gcd(d,a)=1。此時由(4)式得d|p，所以d=1或p。 引理1得證。

證明參見文獻[4]。

由引理2立得

證明參見文獻[5]。

2 定理1的證明

1)先證必要性。設(m,x,y)是方程(1)的正整數(shù)解，則(1)式成為

(x±3m)(x2?3mx+32m)=Dy2。

(5)

因為gcd(x,y)=1，所以由(1)式知3|/D且3|/x，從而x±3m?0(mod 3)。根據(jù)引理1得gcd(x±3m,x2?3mx+32m)=1。 設p|D，則p=2或p≡5(mod 6)，故由引理3知，p|/(x2?3mx+32m)。于是(5)式可化為

x±3m=Da2，

(6)

x2?3mx+32m=b2，

(7)

這里a,b都是正整數(shù)，滿足gcd(a,b)=1且y=ab。由(6)，(7)兩式可得(2Da2?3m+1)2+32m+1=(2b)2,即

(2b+2Da2?3m+1)(2b-2Da2±3m+1)=32m+1。

(8)

注意到2b+2Da2?3m+1與2b-2Da2±3m+1不能同時被3整除，否則有3|4b,3|2(2Da2?3m+1)，即3|b,3|a,與gcd(a,b)=1矛盾。故(8)式可化為

(9)

或

(10)

當(9)式成立時，由(9)式可解出

(11)

(x,y)=(Da2?3m,ab),

3 推論的證明

先證推論1。

再證推論2。

由定理知，方程(1)有正整數(shù)解(m,x,y)的充要條件是方程(2)有正整數(shù)解(m,a)，且D的奇素因子p都滿足p≡11(mod 12)。若D含有素因子p滿足p≡5(mod 12)，則不定方程(1) 必無正整數(shù)解。推論2得證。

最后證推論3。