基于截面曲線方程的螺旋轉子建模及數控加工

姜 海， 陳超超， 田春艷

(1.合肥學院 先進制造工程學院，合肥 230601；2.華德控股有限公司 華科技術部，浙江 慈溪 315300)

0 引 言

雙轉子流量計是一種先進的容積式流量計，具有計量準確、無脈動、噪音低、粘度適應性強等優(yōu)點，在我國已逐步得到市場認可。[1-3]該流量計中關鍵功能部件是一對相互嚙合的螺旋轉子，其結構參數直接影響了流量計的工作性能。[4-5]由于技術壟斷等原因，螺旋轉子在國外一般都采用成型刀具加工。成型刀具設計制造困難，價格昂貴，且難以滿足單件小批量生產要求。因此，結合國內現(xiàn)有實際生產條件，探索采用標準球頭銑刀對該類零件進行數控銑削加工，具有一定的理論意義和較高的實用價值。為此，我們和有關企業(yè)合作，對螺旋轉子的精確建模和多軸數控加工技術開展了研究。

1 螺旋轉子的工作原理及輪廓線形分析

雙轉子流量計的工作原理如圖1所示，兩個齒形參數、結構尺寸相同，旋向相反的螺旋轉子相互嚙合，在流體壓力作用下，按箭頭所示方向平穩(wěn)均勻地旋轉，無主被動之分；同時流體從齒槽與殼體之間的空間一份一份地流到右邊的管道，其流量與轉子轉數成正比。[3]欲使兩轉子平穩(wěn)無干涉地轉動，必須符合齒廓嚙合基本定律，即兩轉子工作齒面應是一對共扼曲面。同時，為滿足容積式流量計兩轉子之間的密封性要求，兩轉子輪齒應作無側隙、無根隙嚙合。

圖1 雙轉子流量工作原理

從嚙合原理看，能滿足上述要求的齒形有很多。考慮到制造方便、流量計容積空間最大等因素，經分析研究設計了由漸開線和過渡曲線組成的復合齒形，其截面形狀由齒頂圓弧、漸開線、過渡曲線、齒根圓弧等組合而成，如圖2所示。這樣螺旋轉子可以描述為大模數、小齒數的斜齒輪。與一般的斜齒輪不同，為滿足兩轉子嚙合轉動時密封性的要求，轉子在工作時其雙面齒廓、齒頂圓和齒根圓都必須參與嚙合；[6]同時由于齒數小(例如只有4齒)，嚙合傳動時輪齒會發(fā)生根切現(xiàn)象，[7]故形成了截面輪廓中的過渡曲線。因雙轉子流量計的兩轉子屬平面嚙合，轉子的螺旋型曲面是其端面齒形作螺旋運動形成的，故轉子設計制造須解決的核心問題是精確求取其截面輪廓曲線。

2 螺旋轉子的數字化精確建模

根據上述對螺旋轉子輪廓線形的分析，可以對各曲線段建立函數方程表達式，以求取螺旋轉子截面輪廓曲線，從而對轉子進行數字化建模。考慮到后續(xù)應用UG軟件建模的方便，宜采用直角坐標參數方程形式。

2.1 截面輪廓漸開線方程的建立

螺旋轉子截面輪廓中，與齒頂圓弧相鄰的部分為漸開線。如圖3所示，漸開線是一直線(即發(fā)生線CP)沿一半徑為rb的圓周(即基圓O)作純滾動時，直線上任一點P所形成的軌跡EPS。[7]圖中，θ是漸開線的展角，t是發(fā)生線與y軸的夾角。

圖3 截面輪廓漸開線方程的建立

當漸開線從基圓與X軸交點E作為起始位置時，t和θ取值均從0開始增大。由圖，漸開線EPS上任一點P的X坐標為：

x=OA+BP=rbcost+CPsint

(1)

因發(fā)生線CP沿基圓O作純滾動，故CP與圓弧段CE相等，即CP=rb×t

代入(1)式則有：

x=rbcost+rbtsint

(2)

同理，漸開線上任一點P的Y坐標為:

y=rbsint-rbtcost

(3)

由(2)、(3)即得漸開線EPS的直角坐標參數方程為：

(4)

相應地，與y軸對稱的另一方向漸開線EP1S1的直角坐標參數方程為：

(5)

上述曲線函數方程的參變量為t，t∈[t1,t2]。

2.2 截面輪廓過渡曲線方程的建立

螺旋轉子截面輪廓中，與齒根圓相鄰的部分為過渡曲線，它是因小齒數斜齒輪嚙合傳動時輪齒發(fā)生根切而形成的，也是研究的重點和難點。如前圖2所示，根據范成運動加工共軛齒廓的原理，當兩轉子嚙合傳動時，轉子上兩直徑相等的節(jié)圓相切并作無滑動的滾動；它可視為一轉子固定不動，而另一轉子的節(jié)圓沿固定轉子的節(jié)圓作純滾動。[7]因轉子齒頂圓和齒根圓都參與嚙合，故在此過程中，滾動轉子輪齒的齒頂邊緣點B生成的軌跡即為兩轉子嚙合時因根切所形成的過渡曲線。

現(xiàn)以固定轉子截面中心O為原點建立坐標系，如圖4所示。設在初始位置時，兩轉子節(jié)圓的相切點在滾動轉子上為點P，滾動轉子中心A和齒頂邊緣點B的連線AB與兩轉子中心連線AO的夾角為δ(即齒頂圓齒厚對應圓周角的一半)；當滾動轉子節(jié)圓沿固定轉子節(jié)圓作純滾動轉過t角度時，原滾動轉子中心點A到達C點，原相切點P到達點K，原齒頂邊緣點B到達點D，而兩轉子節(jié)圓的相切點則變?yōu)辄cN。

圖4 截面輪廓過渡曲線方程的建立

因兩轉子截面形狀相同，故可設兩轉子的基圓半徑均為rb，兩轉子的齒頂圓半徑均為ra，兩轉子的節(jié)圓半徑即為分度圓均半徑r，此時AB= CD =ra；因滾動轉子作純滾動，由圖4知圓弧NK長度等于圓弧NP長度，

故有

∠NCK=∠NOP=t

此時，有：

θ=-(π-t-t-δ)=-(π-(2t+δ))

(6)

設滾動轉子齒頂邊緣點D的坐標為(x,y)，由圖有以下幾何向量關系：

(7)

其中

(8)

(9)

(10)

將(6)式代入(10)式即有：

(11)

將(8)、(9)、(11)式代入(7)式，即得：

{x,y}={2rcost-racos(2t+δ),2rsint-rasin(2t+δ)}

(12)

故

(13)

公式(13)即為螺旋轉子截面輪廓過渡曲線的直角坐標參數方程；該函數方程的參變量為t，t∈[t1,t2] 。

此外，滾動轉子的齒頂圓弧段在兩轉子節(jié)圓作純滾動過程中，包絡形成了另一轉子的齒根圓弧段，它與上述過渡曲線段相切。至此，轉子截面輪廓各曲線段形式均已確定。

2.3 螺旋轉子建模實例

現(xiàn)給定一對相互嚙合的螺旋轉子，已知的基本參數如下：

兩轉子中心距81mm，轉子齒數4，端面模數20.25mm，法向壓力角20°，導程405mm。

按上述基本參數，易求得螺旋轉子建模設計所需的其它參數，如分度圓半徑r、基圓半徑rb、齒頂圓半徑ra、齒根圓半徑rf、齒頂圓齒厚Sa、齒頂圓齒厚對應的半圓周角δ等。然后在UG軟件中，按以下基本步驟進行建模。[8]

(1)通過UG的“表達式”功能，根據式(5)、式(13)，輸入轉子截面輪廓漸開線、過渡曲線的參數方程表達式，并選擇合適的參數取值范圍；再利用“規(guī)律曲線”功能，即可生成高精度的函數方程曲線；

(2)畫出相應的齒頂圓、齒根圓及必要的輔助線等；然后通過對相應曲線段和圓弧段的修剪、旋轉調整至適宜位置、對稱操作等，得到單個齒廓曲線，如圖5所示；

圖5 在UG中所得的螺旋轉子單個齒廓曲線

(3)通過陣列、修剪等操作，得到完整的轉子截面輪廓。

(4)在此基礎上，構建相應的空間螺旋線作為引導線，經掃掠操作即生成一個完整螺旋螺旋轉子三維數字化模型。

用同樣方法，可完成另一旋向相反的螺旋轉子建模。

為驗證上述建模設計方法及結果的合理性，通過UG軟件對構建的螺旋轉子數模進行運動仿真，如圖6所示。利用UG的干涉分析功能，首先確認雙轉子運動過程中相互嚙合的工作齒面無干涉；然后模擬雙轉子在壓差作用下各自轉動的效果。仿真結果表明，兩轉子在無干涉情況下，嚙合運轉能緊密且平穩(wěn)持續(xù)地進行。

圖6 雙轉子嚙合運動仿真

3 螺旋轉子零件的數控加工

3.1 數控加工原理

根據螺旋轉子零件的形狀結構特點，結合國內現(xiàn)有生產條件，宜采用四軸銑削加工中心，用標準球頭銑刀進行加工。數控銑削的基本原理如圖7所示，其中機床上的旋轉工作臺帶動工件繞X軸旋轉即實現(xiàn)A軸運動。加工時，工件沿X軸方向相對于刀具作均速直線進給，同時沿A軸作勻速旋轉[9]，直線運動距離和旋轉角度之間保持相應的比例關系，這樣刀具即加工出一條空間螺旋線；然后工件快速復位，刀具在YOZ平面聯(lián)動，快速運動到下一條螺旋線起始點，依次加工下一條螺旋線，直到完成整個螺旋面的銑削。

圖7 標準球頭銑刀數控銑削螺旋轉子的原理

加工過程中，機床通過Y、Z 軸聯(lián)動，可依次調整刀具相對于工件在軸向及徑向的位置，這樣可控制刀具在YOZ平面所到達的相應點位，從而由系列刀具切削點擬合組成轉子的截面輪廓曲線；同時配合X、A軸聯(lián)動加工出一條條螺旋線，由螺旋線組成螺旋面，實現(xiàn)螺旋轉子的數控加工，其過程類似于“行切法”加工。

3.2 數控加工程序的編制

考慮到完全采用自動編程所生成的數控程序，其實質是沿每條加工路徑用小直線段來逼近空間型面，與轉子螺旋面的形成機理有一定差異，不利于精度提高；故采用手工編程結合自動編程的方法進行數控編程。[10-12]首先根據轉子的數字模型，應用UG的CAM模塊，通過設置相應的加工精度、刀軸矢量、干涉檢查等，計算出銑削加工每條螺旋線時，刀具在螺旋線切削始點處的刀位點數據；然后按上述X、A軸聯(lián)動加工螺旋線的原理，采用手工編程方法，并引入宏變量，以刀具在螺旋線切削始點處的刀位點數據對宏變量進行賦值，編寫出空間螺旋線加工子程序，供主程序多次調用；這樣大大簡化了程序結構，精簡了程序量，且易于修改。

編程時加工走刀路徑的規(guī)劃，可按照齒槽的形狀，遵循由外而內、盡量左右對稱的原則，即先分別加工轉子一個齒槽左、右兩邊最外側的型面螺旋線，然后刀具沿Y、Z方向聯(lián)動進給一個切削行寬度，加工相鄰的左右兩條型面螺旋線；依次加工直至切削完成一個齒槽；接著A軸旋轉90°，用同樣方法加工下一個齒槽，直至完成全部加工。經宇龍多軸數控加工仿真軟件的模擬運行及相關數控切削加工實驗，表明該編程方法簡潔高效，效果良好。轉子零件數控程序部分代碼如下所示：

O1006

G0 G54 Z100 G90

X-6.Y0

M03 S3500

#1=0

#2=81

#101=44.238

#102=56.029

M98 P8106

#101=44.148

#102=55.45

M98 P8106

………

………

4 結 語

本文分析了螺旋轉子零件的型面輪廓形成原理，在此基礎上推導求取了其截面輪廓曲線的函數方程，進而應用UG軟件構建了其三維精確數模；采用自動編程結合手工編程，編寫了螺旋轉子的數控加工程序；通過相關實驗驗證了上述方法和結果的正確性。本文所提供的方法應用于企業(yè)實際，可較好解決現(xiàn)有生產條件下采用標準刀具加工螺旋轉子的技術問題，具有一定的推廣應用前景。