模糊切換分布參數(shù)系統(tǒng)的非脆弱控制器設(shè)計

付 俊，劉俊輝，朱陽陳

（1.洛陽鐵路信息工程學(xué)校，河南 洛陽 471023；2.河南科技大學(xué)信息工程學(xué)院，河南 洛陽 471023）

0 引言

自從關(guān)于T-S 模糊模型的文章發(fā)表以來，大量的國內(nèi)外學(xué)者都開始涉及此方向的研究，原因是它在處理非線性系統(tǒng)問題上是一個非常有效的工具［1］。因此，模糊系統(tǒng)到目前為止仍然吸引著許多研究人員的廣泛研究［2-5］，通過構(gòu)建李雅普諾夫函數(shù)得到穩(wěn)定性條件所需要的線性矩陣不等式［6］，基于并行分布補(bǔ)償控制理論提出更寬松的穩(wěn)定性條件［7］。值得注意的是，以上所提到的理論都是通過把分布參數(shù)系統(tǒng)近似成集中參數(shù)系統(tǒng)來處理，這種近似方法就使得系統(tǒng)的控制性能受到限制。在實(shí)際的應(yīng)用過程中，例如研究一個有質(zhì)量分布的彈性飛行器的運(yùn)動軌跡時，可以把它看作集中參數(shù)系統(tǒng)，即質(zhì)量集中于質(zhì)心而不必分析其內(nèi)部每一點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，但針對彈性振動進(jìn)行研究時，就需要逐點(diǎn)進(jìn)行考慮，這就是分布參數(shù)系統(tǒng)。許多化工、熱工、航空航天和生物控制等工程均是分布參數(shù)系統(tǒng)控制研究的領(lǐng)域［8-11］，即采用偏微分方程建模。因此，基于偏微分方程的分布參數(shù)系統(tǒng)研究變得極為重要，同時也增加了控制器的設(shè)計難度。文獻(xiàn)［12］利用模糊控制和Galerkin 理論相結(jié)合的方法，對時滯分布參數(shù)系統(tǒng)的模糊觀測器進(jìn)行了研究，最后通過線性矩陣不等式的形式得到了穩(wěn)定性條件。文獻(xiàn)［13］針對一類帶有馬爾科夫跳變的分布參數(shù)系統(tǒng)，研究了具有事件觸發(fā)的濾波器設(shè)計問題。然而對帶有時滯的非線性切換分布參數(shù)系統(tǒng)的模糊控制卻沒有被考慮。

在過去的幾十年里，切換系統(tǒng)在很多的實(shí)際系統(tǒng)中得到了很大程度上的應(yīng)用［14］。切換系統(tǒng)是指由多個子系統(tǒng)和作用在其中的切換規(guī)則組成的一類系統(tǒng)，其穩(wěn)定性不但與系統(tǒng)的子系統(tǒng)是否穩(wěn)定有關(guān)，還與作用在其中的切換規(guī)則有著重要關(guān)系。就構(gòu)建切換信號這方面而言，大部分已有文獻(xiàn)是采用依賴狀態(tài)和依賴時間的切換信號，文獻(xiàn)［15］對離散脈沖帶有時滯的切換系統(tǒng)提出了平均停留時間的方法，文獻(xiàn)［16］中基于狀態(tài)的切換規(guī)律，研究了一類非線性參數(shù)切換系統(tǒng)的全局自適應(yīng)有限時間的穩(wěn)定問題，但是本文考慮的切換信號是任意的。

經(jīng)過以上討論，在前人研究的基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步研究了一類帶有時滯模糊切換分布參數(shù)系統(tǒng)的控制器設(shè)計問題。運(yùn)用T-S 模糊模型描述非線性系統(tǒng)，基于非脆弱控制和PDC 控制理論，設(shè)計了比例空間微分模糊控制器。并且考慮了耗散性能指標(biāo)，使得系統(tǒng)具有較好的抗干擾性能，以矩陣不等式的形式給出了控制器設(shè)計方法。最后通過對實(shí)際例子的仿真舉例驗(yàn)證了所提方法的可行性和準(zhǔn)確性。

1 問題描述

本文考慮一類具有時間延遲的半線性拋物型分布參數(shù)系統(tǒng)，其描述如下：

其邊界條件和初始條件分別為

考慮使用下面一類連續(xù)時間T-S 模糊系統(tǒng)來描述式（1），其第i 條模糊規(guī)則表示為：

或者

引理2［18］：給出常矩陣X 和Y，對于任意的ε＞0，下面不等式成立：

2 控制器設(shè)計與穩(wěn)定性分析

基于T-S 模糊模型和并行分配補(bǔ)償（PDC）理論，設(shè)計如下的模糊控制器

根據(jù)系統(tǒng)式（4）和控制器式（5）可得組成的閉環(huán)模糊控制系統(tǒng)為

式中

那么對于任意的切換信號都可以使得控制器式（5）保證系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定且滿足耗散性能。

證明：選擇如下的Lyapunov 函數(shù)

對上述Lyapunov 函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，可得

結(jié)合閉環(huán)模糊控制系統(tǒng)式（6）和系統(tǒng)式（9）可得：

為了求出連續(xù)偏導(dǎo)和邊界處的解使得系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，利用格林公式和狄利克雷邊界條件可得：

根據(jù)引理2 可得

基于式（10）～式（12），可得

其中，

因此，結(jié)合不等式（7）和式（14），并根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性理論可得模糊切換分布參數(shù)系統(tǒng)式（6）是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

同時，根據(jù)定理1，可得

不等式（15）等價于

此處假設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零初始條件，對不等式（16）在［0，］進(jìn)行積分可得

因此，可得到閉環(huán)系統(tǒng)式（6）滿足耗散性能指標(biāo)。證明結(jié)束。

式中

式中

可得到控制器增益。

3 仿真

根據(jù)一類反應(yīng)擴(kuò)散過程，首先考慮如下模糊切換系統(tǒng)：

針對如下邊界條件和初始條件

其中

選擇系統(tǒng)隸屬函數(shù)如下：

最后，假定

解不等式（19）可得

和微分項(xiàng)增益

仿真如下，圖1 和圖2 分別為y1（x，t）和y2（x，t）的狀態(tài)軌跡仿真圖，圖3 為‖y1（x，t）‖1和‖y2（x，t）‖2的軌跡仿真圖，圖4 為切換信號。如圖1～圖3 所示。

圖1 y1（x，t）的軌跡

圖2 y2（x，t）的軌跡

圖3 ‖y1（x，t）‖2和‖y2（x，t）‖2的軌跡

圖4 切換信號的軌跡

4 結(jié)論

針對帶有時滯非線性切換分布參數(shù)系統(tǒng)，本文提出了一種有效的控制器設(shè)計方法。通過應(yīng)用T-S模糊模型和PDC 控制理論，結(jié)合非脆弱控制技術(shù)，設(shè)計了模糊比例-空間微分（P-sD）控制器。以線性矩陣不等式的形式給出系統(tǒng)鎮(zhèn)定的充分條件，可以很容易得到控制器增益。并且在設(shè)計中考慮了耗散性能指標(biāo)。最后通過MATLAB 仿真驗(yàn)證了控制器設(shè)計方法的有效性。