三參數(shù)Weibull分布的隨機比較

官春梅

(喀什師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，新疆 喀什 844000)

0 引言

隨機變量的隨機比較在可靠性分析和保險精算理論中都有其重要的意義，近年來有許多關(guān)于非負獨立隨機變量的隨機比較的成果.文獻［1］研究了指數(shù)隨機變量之和的隨機比較，文獻［2］給出了Gamma分布的隨機變量之和的隨機比較.Weibull分布是一種非常重要的壽命分布，在產(chǎn)品壽命和可靠性分析中有其重要意義.在保險精算中，Weibull分布也是極為重要的雙參數(shù)生存模型，關(guān)于保險標(biāo)底的風(fēng)險和損失度量也常用到Weibull分布.而三參數(shù)Weibull分布是Weibull模型中對數(shù)據(jù)適應(yīng)能力最強、擬合效果最好的.三參數(shù)Weibull分布是一種較為完善的分布，在擬合隨機數(shù)據(jù)時有很大的靈活性，對不同形狀的頻率分布有很強的適應(yīng)性.當(dāng)形狀參數(shù)取不同值時，它可以等效或接近于其他一些常用的分布［3-4］.關(guān)于重要概率分布的參數(shù)估計及參數(shù)特性在文獻中設(shè)計［5-11］.本文討論了三參數(shù)Weibull分布的隨機變量之間的隨機比較，給出了關(guān)于服從三參數(shù)Weibull分布的隨機變量的順序統(tǒng)計量的隨機比較的結(jié)果.

設(shè)隨機變量X服從三參數(shù)Weibull分布，其密度函數(shù)為

其中γ為位置參數(shù)，α＞0為尺度參數(shù)，β＞0為形狀參數(shù)的分布函數(shù)(x≥γ)為

記 x～W(α，β，γ).

1 三參數(shù)Weibull分布的隨機比較

定理1 假定 X 和 Y 是 Weibull分布隨機變量，且 X ～W(α1，β1，γ1)，Y ～W(α2，β2，γ2).如果兩分布的位置參數(shù)和形狀參數(shù)相同，即 γ1=γ2=γ，β1=β2=β，則 X≤lrY 當(dāng)且僅當(dāng)α1≤α2.

證明 如果X和Y的概率密度函數(shù)分別為 f1(x;α1，β，γ)和 f2(x;α2，β，γ)，則有

X≤lrY?f1/f2關(guān)于X是減函數(shù)

從而由定理1容易得到下面的推論.

推論1 假定 X 和 Y 是 Weibull分布隨機變量，且 X ～W(α1，β1，γ1)，Y ～W(α2，β2，γ2).如果兩分布的參數(shù)滿足:γ1= γ2，β1=β2，α1≤α2，則 X≤stY，X≤hrY.

定理2 假定 X 和 Y 是 Weibull分布隨機變量，X ～W(α1，β1，γ1)，Y ～W(α2，β2，γ2).如果兩分布的位置參數(shù)，即 γ1=γ2=γ，則 X≤stY 當(dāng)且僅當(dāng)α1≤α2，β1= β2.

證明 如果X和Y的分布函數(shù)分別為F(x)和G(x)，從而有

定理3 假定X 和Y 是服從Weibull分布的隨機變量，即X ～W(α1，β1，γ1)，Y ～W(α2，β2，γ2).如果α1=α2β1=β2，γ1≤γ2，則 X≤stY.

3 Weibull分布次序統(tǒng)計量的隨機比較

下面討論獨立但不同分布的三參數(shù)Weibull分布的次序統(tǒng)計量的隨機比較.先給出一個概念.

引理1如果X是服從三參數(shù)的Weibull分布的隨機變量，即X～W(α，β，γ)，X的危險率函數(shù)為R(t)，則

(1)當(dāng)0≤β≤1時，R(t)是減函數(shù);(2)當(dāng)β≥1時，R(t)是增函數(shù).

為了討論方便，以下總假定隨機變量X1，X2，…，Xn相互獨立，隨機變量Y1，Y2，…，Yn也相互獨立，且Xi～ W(λi，β，γ)，Yi～ W(μi，β，γ)，i=1，2，…，n.X(i)為次序統(tǒng)計量，即

定理4 假設(shè)X1，X2(Y1，Y2)獨立且服從三參數(shù)的Weibull分布，位置和形狀參數(shù)分別為γ和β，尺度參數(shù)為 λ1，λ2(μ1，μ2)，且(λ1，λ2)?(μ1，μ2).則

(1)當(dāng)0≤β≤1 時，X(1)≥stY(1)，X(2)≥stY(2)，

(2)當(dāng) β≥1 時，X(1)≤stY(1)，X(2)≥stY(2).

證明:令函數(shù)

則Xi和Yi的分布函數(shù)分別為F(λit)和F(μit)，生成函數(shù)分別為=1－F(λit)和.故

所以 (1)當(dāng)0≤β≤1時，

所以函數(shù)φ(λ)=P(X(1)≥t)是關(guān)于λ =(λ1，λ2)的Schur凹函數(shù).又由于λ =(λ1，λ2)?(μ1，μ2)=μ，故φ(λ)≥φ(μ)，即就是 P(X(1)≥t)≥P(Y(1)≥t).從而 X(1)≥stY(1).

(2)當(dāng) β≥1 時，函數(shù) φ(λ)=P(X(1)≥t)是關(guān)于 λ 的 Schur凸函數(shù).又由于 λ?μ，故 φ(λ)≤φ(μ)，從而 X(1)≤stY(1).

下證只要β≥0，總有 X(2)≥stY(2).事實上，由于

所以函數(shù) φ(λ)=P(X(2)≤t)是關(guān)于 λ =(λ1，λ2)的 Schur凹函數(shù).又由于 λ =(λ1，λ2)?(μ1，μ2)=μ，故φ(λ)≥φ(μ)，即就是 P(X(2)≤t)≥P(Y(2)≤t).從而 X(2)≥stY(2).

類似于定理4，同樣可以證明下面的更一般的結(jié)論.

定理5 假設(shè)X1，X2，…，Xn(Y1，Y2…，Yn)獨立且服從三參數(shù)的Weibull分布，他們的位置參數(shù)和形狀參數(shù)分別為 γ 和 β，尺度參數(shù)為 λ1，λ2，…，λn(μ1，μ2，…，μn)滿足 λ?μ，λ =(λ1，λ2，…，λn)，μ =(μ1，μ2，…，μn).則:

(1)當(dāng)0≤β≤1 時，X(i)≥stY(i)，i=1，2，…，n

(2)當(dāng) β≥1 時，X(1)≤stY(1)，X(n)≥stY(n).

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