用函數(shù)描述變化規(guī)律

田載今

人教版初中數(shù)學(xué)教科書在“一次函數(shù)”一章中，引入了函數(shù)的初級概念.本文在此基礎(chǔ)上，再擴充一些函數(shù)的知識，希望能幫助同學(xué)們進一步認識函數(shù).

一、函數(shù)反映變量之間的單值對應(yīng)關(guān)系

函數(shù)是描述變量之間單值對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.在初中數(shù)學(xué)教科書中，函數(shù)被定義為：在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么x叫作自變量，y叫作x的函數(shù).

上述定義中只涉及兩個變量，一個是自變量，另一個是函數(shù)，它們之間單值對應(yīng).這樣的函數(shù)叫作一元函數(shù)，即只有一個自變量的函數(shù).

初中數(shù)學(xué)中只討論一元函數(shù)，但是廣義的函數(shù)不是只有一元函數(shù)，如果在一個變化過程中，一個變量對于其他兩個或更多的變量所組成的變量組的每一組確定值，都有唯一確定的對應(yīng)值，那么這個變量叫作這組變量的函數(shù)，自變量是組成這組變量的各個變量.例如，長方形的面積S=ab.這里，長a和寬b組成一組自變量.對于它們的每一對取值（如a=2，b=1;a=3，b=2;a=3.5，b=2.4;…），面積S都有唯一確定的對應(yīng)值（如2，6，8.4，…）.S=ab描述了S對a和b這一組變量的單值對應(yīng)，它是一個二元函數(shù)，與此類似，長方體的體積V=abc是三元函數(shù)，其中長方體的長a、寬b、高c組成一組自變量。

一般地，如果一個變量對于n個變量所組成的變量組的每一組確定值，都有唯一確定的對應(yīng)值，那么這個變量就是一個n元函數(shù).二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).

二、函數(shù)的表達形式

函數(shù)的本質(zhì)是變量之問的單值對應(yīng).不論什么形式，只要能表示這樣的對應(yīng)關(guān)系，就可以用來表示函數(shù)，表示函數(shù)多用解析式、圖象、表格等，其中以解析式最為常用.例如，圓的面積S=Πr2是一元函數(shù)解析式（自變量為r），長方形的面積S=ab是二元函數(shù)解析式（自變量為a，6）.函數(shù)解析式中等號的左邊表示函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的運算式，它不僅明確地表示出哪個是函數(shù)哪些是自變量.而且清晰地反映了函數(shù)與自變量之間的運算關(guān)系，即如何由自變量的值得到相應(yīng)的函數(shù)值.因此，這種解析式叫作顯函數(shù)表達式.一元顯函數(shù)的解析式可以概括為y=f（x）的形式.n元顯函數(shù)的解析式則可以概括為y=f（x1，x2，…，xn）的形式.

大家知道，含有未知數(shù)的等式叫作方程，如二元方程5x+y=1，3x²+2x-0.5y=6.雖然這兩個方程不是y=f（x）的形式，但是從它們可以分別推出y=-5x+1，y=6x²+4x-12.顯然，所得兩式都是一元函數(shù)的顯函數(shù)y=f（x）的形式，這就是說，這兩個方程各自隱含了一個函數(shù).一般地，像5x+y=1，3x²+2x-0.5y=6這種隱含了某種函數(shù)關(guān)系的方程，叫作隱函數(shù)表達式，由此可知，函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系，

請注意，任一方程不一定都隱含了唯一確定的函數(shù).例如，方程X²+y²=1中，x的取值范圍是-1≤x≤1.對于x的每一確定的值，y的對應(yīng)值不都是唯一確定的.如x=0時，y的對應(yīng)值為±1（不唯一）;x=√2/2時，y的對應(yīng)值為±√2/2（不唯一）.因此，不能說這個方程反映了y與x的單值對應(yīng)關(guān)系.這個方程不，是一個隱函數(shù)表達式.但是，如果事先規(guī)定y≥0（或y≤0），則由該方程可以推出函數(shù)y=√（1-x2）（或y=-√（1-x2））.

利用方程和函數(shù)之間的聯(lián)系，可使它們互相轉(zhuǎn)化，為解決問題另辟蹊徑.例如，圖象法解二元一次方程組就是把二元一次方程轉(zhuǎn)化為一次函數(shù).方程組4x-3y=6;2x+y=3中的兩個方程都是隱函數(shù)表達式，它們分別對應(yīng)一次函數(shù)y=（4/3）x-2與y=-2x+3.畫出這兩個函數(shù)的圖象，它們交點的坐標（1.5，0）同時滿足兩個函數(shù)，也就是說x=1.5，y=0是這兩個方程的公共解.這樣，就用畫函數(shù)圖象替代消元法的計算而得到了方程組的解.

三、函數(shù)圖象直觀表現(xiàn)了變量的單值對應(yīng)

解析式是多項式形式的函數(shù)，叫作多項式函數(shù)x的一次多項式的一般形式為kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0），所以形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，是x的一次函數(shù).特別地，當y=kx+b中的常數(shù)項b=0時，一次函數(shù)y=kx（k≠0）又叫作正比例函數(shù).一次函數(shù)是最簡單的多項式函數(shù).一般地，函數(shù)y=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an（常數(shù)a0≠0）叫作n次函數(shù).如二次函數(shù)y=x²+3x+5，三次函數(shù)y=2x³+3x²+4x+5.

函數(shù)y=kx+b的圖象是直線，因此函數(shù)y=kx+b也叫作（直）線性函數(shù).函數(shù)y=kx+b的圖象也叫作直線y=kx+b.當x=0時，y=b，即直線y=kx+b與y軸交于點（0，b）.常數(shù)b叫作直線y=kx+b在y軸上的截距.通過描點法畫圖象可以發(fā)現(xiàn)：當k>0時，直線y=kx+b從左向右上升;當k<0時，直線y=kx+b從左向右下降|k|越大，直線越陡，因為k的值決定直線y=kx+b的傾斜情況（包括傾斜方向和傾斜程度），所以k叫作直線y=kx+b的斜率，斜率和截距這兩個常數(shù)確定后，直線y=kx+b在平面直角坐標系中的位置就確定了.y=kx+b叫作這條直線的斜截式，它是解析幾何中常用的直線方程形式之一.

二元函數(shù)的圖象不是平面曲線，而是三維空間坐標系中的立體圖形，例如，函數(shù)z=x+y（z是x，y的函數(shù)）的圖象是一個無邊無際的平面，原點（0，0，0）和點（1，0，1），（0，1，1），（1，2，3），（-1，4，3）等都在這個平面上，因為這些點的坐標（x，y，z）滿足z=x+y.