用好數(shù)軸不言“愁”

文江蘇省無錫市梅里中學(xué)七年級(jí)（13）班 甄 璽

進(jìn)入初中后，我們學(xué)習(xí)了有理數(shù)這一章。有理數(shù)這個(gè)名字聽起來比小學(xué)里學(xué)的內(nèi)容高大上了許多，它是整數(shù)（正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)）和分?jǐn)?shù)（正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)）的統(tǒng)稱，是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的集合。在這章里，我們還認(rèn)識(shí)了有理數(shù)的好朋友——數(shù)軸，它幫助我們解決了很多困擾，讓我們一起來看一看吧！

例1數(shù)軸上表示數(shù)m與n的點(diǎn)之間的距離可以表示為|m-n|。

（1）若|x- 5|=3，求x的值。

（2）A、B為數(shù)軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)是a，點(diǎn)B表示的數(shù)是b，且|a-b|=6（b＞a）。點(diǎn)C表示的數(shù)是-2。若A、B、C三點(diǎn)中的某一個(gè)點(diǎn)到另外兩個(gè)點(diǎn)的距離相等，求a、b的值。

【解答】第（1）題很簡(jiǎn)單。|x- 5|=3表示代表x的點(diǎn)到代表5 的點(diǎn)之間的距離為3，所以x=2或8。

第（2）題因?yàn)閨a-b| =6（b＞a），所以點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的距離為6，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)。題目中并沒有說A、B、C哪個(gè)點(diǎn)在中間，所以要分類討論。

如圖1，若點(diǎn)C到點(diǎn)A與到點(diǎn)B的距離相等，因?yàn)辄c(diǎn)C表示的數(shù)為-2，|a-b| =6，所以點(diǎn)A與點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離都是3。則a=-2-3=-5，b=-2+3=1。

圖1

如圖2，若點(diǎn)A到點(diǎn)C與到點(diǎn)B的距離相等，因?yàn)辄c(diǎn)C表示的數(shù)為-2，AB之間距離為6，所以a=-2+6=4，b=a+6=10。

圖2

如圖3，若點(diǎn)B到點(diǎn)C與到點(diǎn)A的距離相等，因?yàn)辄c(diǎn)C表示的數(shù)為-2，所以b=-2-6=-8，a=b-6=-14。

圖3

綜上所述，a=-5，b=1 或a=4，b=10 或a=-14，b=-8。

由此看來，做有關(guān)數(shù)軸的題目時(shí)，一定要細(xì)心。別看數(shù)軸表面平淡無奇，也許暗藏玄機(jī)，不止一解呢。

例2在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a，B點(diǎn)表示數(shù)b，C點(diǎn)表示數(shù)c，b是最小的正整數(shù)，且a、c滿足|a+ 2|+（c-7）2=0。

（1）a=______，b=______，c=______；

（2）若將數(shù)軸折疊，使得A點(diǎn)與C點(diǎn)重合，則點(diǎn)B與數(shù)______表示的點(diǎn)重合；

（3）點(diǎn)A、B、C開始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)A以每秒1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2 個(gè)單位長(zhǎng)度和4 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，假設(shè)t秒鐘過后，若點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB，點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離表示為AC，點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為BC。則AB=______，AC=______，BC=______。（用含t的代數(shù)式表示）

（4）在（3）的前提下，請(qǐng)問：3BC-2AB的值是否隨著時(shí)間t的變化而改變?若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求出它的值。

【解答】（1）b是最小的正整數(shù)，所以b=1。|a+2|+（c-7）2=0 是一個(gè)典型的“0+0”模型，因?yàn)閨a+2 |≥0，（c-7）2≥0，所以a+2=0，c-7=0，則a=-2，c=7。

（2）折疊后點(diǎn)A和點(diǎn)C重合，則折痕表示的數(shù)到A和C的距離相等，所以折痕處表示的數(shù)是2.5，而B表示1，則與點(diǎn)B重合的點(diǎn)到2.5的距離也就等于1到2.5的距離，則與點(diǎn)B重合的點(diǎn)表示的數(shù)為4。畫出數(shù)軸則能一目了然，同學(xué)們不妨自己動(dòng)手試一下。

（3）這一問條件比較多，畫一個(gè)數(shù)軸把條件標(biāo)一下，如圖4，這樣可以很輕松地得出AB=3t+3，AC=5t+9，BC=2t+6。

圖4

（4）這一問有兩種做法，可以分別是從數(shù)的角度和形的角度出發(fā)。

從數(shù)的角度：由題可得，開始移動(dòng)后，A表示-2-t，B=1+2t，C=7+4t。

所以3BC-2AB=3［（7+4t）-（1+2t）］-2［（1+2t）-（-2-t）］=12。因此值不變，為12。

從形的角度：由（3）可得，BC=2t+6，AB=3t+3。

所以3BC-2AB=3（2t+6）-2（3t+3）=12。因此值不變，為12。

在做一些信息量大，條件繁多的題目時(shí)，把條件標(biāo)注在圖上，會(huì)簡(jiǎn)單很多哦。有的題目不止一種解法，我們要善于選擇最簡(jiǎn)單的解法。

怎么樣？看了這兩題后，是不是覺得借助數(shù)軸，題目會(huì)簡(jiǎn)單了許多？快去找以前難倒你的題目試試看吧！

教 師 點(diǎn) 評(píng)

進(jìn)入初中代數(shù)的開篇，同學(xué)們走進(jìn)了有理數(shù)的世界，為了更好地探究有理數(shù)的相關(guān)知識(shí)，我們引進(jìn)了一個(gè)新的數(shù)學(xué)工具——數(shù)軸。在數(shù)軸上我們進(jìn)行了數(shù)的分類，數(shù)的大小比較；認(rèn)識(shí)了相反數(shù)，絕對(duì)值；我們還研究了有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方……然而，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離問題與動(dòng)點(diǎn)問題，卻是本章中最有難度和最為經(jīng)典的題目。小作者從兩個(gè)點(diǎn)的距離，到三個(gè)點(diǎn)之間的距離，再到動(dòng)點(diǎn)間的距離，逐步推進(jìn)，由易到難，分別從數(shù)與形兩個(gè)角度對(duì)此類題進(jìn)行分類解剖，可謂循序漸進(jìn)，娓娓道來。只要大家細(xì)細(xì)揣摩，定能理清思路，掌握打開此類題的正確方式，也定能將有理數(shù)這一章學(xué)好學(xué)會(huì)！