巧求圓中的陰影面積

文 郭 琳

同學(xué)們在解決圓中的陰影面積這類問題的過程中應(yīng)該“以不變應(yīng)萬變”，利用核心方法——割補(bǔ)法，將陰影面積變換成規(guī)則圖形的面積和或者差的形式，做到“無論圖形怎么變換，我自有解決的辦法”。

例1已知：如圖1，AB為半圓⊙O的直徑，C、D為半圓⊙O的三等分點(diǎn)，若AB=12，求陰影部分的面積。

【分析】不難發(fā)現(xiàn)陰影部分不規(guī)則，那么我們可以考慮兩種方式。一種方式是連接BD，將不規(guī)則的陰影部分分割成三角形和弓形，同時(shí)利用BD和OC之間互相平行的關(guān)系，借助三角形同底等高面積相同的關(guān)系，將△CDB的面積轉(zhuǎn)化為△ODC的面積；另一種方式是連接OD交BC于P點(diǎn)，將△PCD的面積轉(zhuǎn)化為△PBO的面積，這樣整個(gè)陰影部分變成扇形OBD，將不規(guī)則圖形借助割補(bǔ)的方式變成了規(guī)則圖形。

解：連接OD交BC于點(diǎn)P，連接OC。

∵C、D為圓的三等分點(diǎn)，

∴∠COD=60°，∠BOD=60°。

又∵OC=OD，

∴△COD為等邊三角形，

∴CD=OB，∠CDO=60°。

在△CPD和△BPO中，

∴△CPD≌△BPO（AAS）。

∴S陰影=S扇形BOD=。

例2（2019·江蘇揚(yáng)州）如圖2，將四邊形ABCD繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°至四邊形AB′C′D′的位置，若AB=16cm，則圖中陰影部分的面積為________cm2。

【分析】由圖形的旋轉(zhuǎn)可以得到四邊形ABCD和四邊形AB′C′D′的面積相同，如果記AB和C′D′的交點(diǎn)為P，則兩個(gè)四邊形減掉三角形APD′后的面積相同，也就是左上角那個(gè)不規(guī)則多邊形AD′PBCD的面積可以轉(zhuǎn)化為四邊形APC′B′的面積，這樣整個(gè)不規(guī)則圖形的面積可以轉(zhuǎn)化為規(guī)則的扇形ABB′的面積。初中階段常用的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)變換，在我們解決陰影面積問題，化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形的過程中經(jīng)常會(huì)用到。

解：記AB和C′D′的交點(diǎn)為P。

由題意，可知S四邊形ABCD=S四邊形AB′C′D′，

又S△APD′=S△APD′，

∴S陰影=S扇形ABB′=π×162=32π。

例3（2019·江蘇宿遷）如圖3，正六邊形的邊長為2，分別以正六邊形的六條邊為直徑向外作半圓，與正六邊形的外接圓圍成的6個(gè)月牙形的面積之和（陰影部分面積）是（ ）。

【分析】正確地識別圖形是解題的關(guān)鍵，所以我們可以從陰影部分的產(chǎn)生過程來尋找解決陰影面積的方法。從整體來觀察，整個(gè)花朵圖形可以看成是中間圓的面積加上六個(gè)月牙的面積，也可以看成是正六邊形的面積加上六個(gè)半圓的面積。這樣一來，月牙的面積其實(shí)是整體面積與中間大圓面積的差。

解：6個(gè)月牙形的面積之和=。

故選A。

例4如圖4所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，分別以B、C為圓心，2為半徑畫弧，求陰影部分的面積。

【分析一】通過觀察圖形，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這是兩個(gè)扇形（扇形BAE與扇形CAD）重疊的一個(gè)組合圖形，陰影部分正好是重疊部分的面積，因此我們可以用如下方法來求解。

解法一：陰影部分面積=扇形BAE的面積+扇形CAD的面積-△ABC的面積。

如圖5，過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F。

∵∠BAC=90°，AB=AC=2，AF⊥BC，

∴扇形BAE的面積=扇形CAD的面積，

即S陰影=2S扇形BAE-S△ABC

=π-2。

【分析二】觀察圖6，我們不難發(fā)現(xiàn)，整個(gè)圖形，包括陰影部分都是軸對稱圖形，其對稱軸是BC的垂直平分線AF。因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，所以BF=CF=AF，如果將AF左右兩側(cè)的陰影部分繞F點(diǎn)逆時(shí)針或者順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°之后，它們會(huì)和原來的圖形構(gòu)成一個(gè)扇形，而陰影部分會(huì)轉(zhuǎn)化成扇形的一部分——弓形。這就是借助旋轉(zhuǎn)變換將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積。

解法二：如圖6所示，過點(diǎn)A作AF⊥BC，垂足為F。以點(diǎn)F為旋轉(zhuǎn)中心，分別將陰影ADF部分逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，將陰影AEF部分順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則陰影部分面積=扇形ABC的面積-△ABC的面積。

S陰影=S扇形ABC-S△ABC

=π-2。

【分析三】雖然要求的是圖形的面積，但是我們依然可以考慮采用代數(shù)方法，即利用圖形中面積的和差所隱含的等量關(guān)系來構(gòu)造方程去解決。雖然中間的陰影部分和左右兩個(gè)白色區(qū)域并不規(guī)則，但是它們共同構(gòu)成的圖形（比如等腰直角三角形ABC或者扇形面積）都是非常容易求出來的，借助方程組的思想便可以解決這類問題。

解法三：設(shè)陰影部分面積為X，每一處空白部分面積為Y。

解這個(gè)方程組，得X=π-2。

同學(xué)們在解決圓中陰影面積問題的過程中，要注意觀察圖形，借助割補(bǔ)法，利用圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等變換，將陰影部分面積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積來解決，基本的思想方法就是化不規(guī)則為規(guī)則。