不同加工工藝圓弧齒線圓柱齒輪齒廓特性分析*

馬登秋，葉振環(huán)，吳廷強(qiáng)，張 旭，付 娟，閻昌國，汪玉蘭

(遵義師范學(xué)院 工學(xué)院，貴州 遵義 563006)

0 引 言

齒輪是重要機(jī)械傳動零件之一，廣泛應(yīng)用在航天航空、汽車工業(yè)、船舶機(jī)械、裝備制造業(yè)等設(shè)備中。長期以來，研究人員為提高普通直齒輪的承載能力，在齒廓和齒線兩個方面對傳統(tǒng)齒輪做了大量的改進(jìn)，發(fā)展出了許多新型傳動齒輪，圓弧齒線圓柱齒輪即為其中的一種新型傳動齒輪。該齒輪主要結(jié)構(gòu)特征是齒向線為一段空間圓弧曲線，齒廓根據(jù)不同加工方法表現(xiàn)出一定差異。由于該齒輪具有無軸向力、傳動平穩(wěn)、承載能力大等優(yōu)點(diǎn)，其應(yīng)用前景良好[1]。

圓弧齒線圓柱齒輪的加工方法主要有圓拉刀盤法、三刀頭旋轉(zhuǎn)切制法、數(shù)控滾切加工法、平行連桿加工法以及旋轉(zhuǎn)刀盤銑削加工法等。其中，采用圓拉刀盤法獲得的產(chǎn)品質(zhì)量不穩(wěn)定，且成本高[2]；采用三刀頭旋轉(zhuǎn)切制法存在效率低、精度不易保障等缺陷[3]；而采用數(shù)控滾切加工法加工過程中，其刀具后刀面和已加工齒面容易產(chǎn)生干涉，使得其較以加工半徑較小的齒輪[4]。

目前，針對圓弧齒線圓柱齒輪的加工方法，研究的重點(diǎn)主要為平行連桿加工法[5]、旋轉(zhuǎn)刀盤銑削加工法[6]，因此，有關(guān)于該齒輪的傳動特性研究也主要圍繞上述兩種加工方法展開。例如馬振群[7-8]對對稱弧形齒線圓柱齒輪失配嚙合傳動理論和制造系統(tǒng)進(jìn)行了研究，分析了該齒輪的真實(shí)齒面接觸問題，并提出了全齒面修形的CNC加工方法；狄玉濤等[9]在嚙合干涉、軸線平行度誤差、中心距，對嚙合性能的影響方面進(jìn)行了研究，并提出了齒面應(yīng)力和彎曲應(yīng)力計(jì)算方法和變位概念；肖華軍和王少江等[10-11]通過相關(guān)的研究工作，實(shí)現(xiàn)了面向制造的三維造型和快速原型制造；ALFONSO F A等[12-13]對直齒輪、斜齒輪和圓弧齒線圓柱齒輪傳動中的接觸應(yīng)力和傳動誤差進(jìn)行了比較，結(jié)果表明圓弧齒線圓柱齒輪具有一定優(yōu)異性；CHEN Y C[14]基于有限元方法，分析了曲線齒輪加載時(shí)的接觸應(yīng)力分布和傳遞誤差；此外，還有TSENG R T[15-16]，ZHANG X G[17]，魏永峭[18-19]等人，對圓弧齒輪的三維建模、根切條件、傳動誤差、潤滑等方面進(jìn)行的相關(guān)研究，以上這些研究成果在一定程度上推動了該齒輪的實(shí)際工程應(yīng)用。

眾所周知，根據(jù)齒輪加工方式的不同，齒輪齒廓的曲線也會有所區(qū)別：一種是任何截面齒廓都是漸開線；另一種是齒廓中截面是漸開線，其余任意截面齒廓為雙曲線，整個齒面齒廓是變雙曲線族。

因加工方法不同而導(dǎo)致的齒廓差異問題，目前尚無有針對性的研究，這對該齒輪的修形、潤滑等方面的深入研究形成了一定的制約。

因此，筆者以采用主要加工方法(平行連桿加工和旋轉(zhuǎn)刀盤銑削加工)獲得的圓弧齒線圓柱齒輪為研究對象，分析該齒輪兩種加工法的工藝特點(diǎn)，推導(dǎo)出兩種工藝所獲得的齒輪的齒面和齒廓方程，進(jìn)而獲得齒輪齒厚方程，并分析設(shè)計(jì)參數(shù)對齒厚偏差的影響，以期為齒輪系統(tǒng)的降噪、潤滑、故障診斷及齒廓修形等方面的研究提供理論基礎(chǔ)。

1 平行連桿與旋轉(zhuǎn)刀盤銑削工藝

圓弧齒線圓柱齒輪兩種加工工藝的示意圖如圖1所示。

圖1 圓弧齒線圓柱齒輪兩種加工工藝示意圖

1.1 平行連桿加工工藝

圓弧齒線圓柱齒輪的平行連桿加工裝置如圖1(a)所示；其機(jī)構(gòu)運(yùn)動關(guān)系簡圖如圖1(b)所示。

由圖1可知：齒面加工刀具安裝在從動桿件上，主動桿件由動力源帶動做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，主動桿件上的動力經(jīng)平行四邊形機(jī)構(gòu)連架桿傳遞到從動桿件上；整個加工過程中，刀具前刀面保持不變，即可以保證所加工的圓弧齒線圓柱齒輪凹/凸齒面齒線半徑相等，理論上使得齒輪具有等齒厚、等齒寬和全齒寬接觸的特點(diǎn)。

但該方法也存在一定的缺點(diǎn)，例如平行四邊形機(jī)構(gòu)存在剛度低、動態(tài)穩(wěn)定性差、無法實(shí)現(xiàn)高速切削等。

1.2 旋轉(zhuǎn)刀盤銑削加工工藝

旋轉(zhuǎn)刀盤銑削加工圓弧齒線圓柱齒輪示意圖如圖1(c)所示。該加工裝置中，旋轉(zhuǎn)刀盤上裝有若干銑削刀片；實(shí)際加工時(shí)，齒輪毛坯以給定速度旋轉(zhuǎn)做進(jìn)給運(yùn)動，通過調(diào)節(jié)旋轉(zhuǎn)刀盤和齒輪毛坯的速度匹配關(guān)系，即可實(shí)現(xiàn)圓弧齒線圓柱齒輪齒面的展成運(yùn)動。

已有相關(guān)的理論研究表明：

基于旋轉(zhuǎn)刀盤銑削加工出的圓弧齒線圓柱齒輪，在不同位置測量時(shí)，存在齒槽寬或者齒厚不等的現(xiàn)象，在齒線方向形成鼓形齒，對安裝誤差不敏感，易形成動壓油膜，有良好的潤滑性能；

而且該種齒輪加工方法的切削效率高，通過對現(xiàn)有機(jī)床進(jìn)行改造或設(shè)計(jì)專用機(jī)床，即可較容易地實(shí)現(xiàn)對該種齒輪的切削加工。

2 圓弧齒線圓柱齒輪齒厚計(jì)算方程

2.1 平行連桿加工齒輪齒廓方程

文獻(xiàn)[20]建立了采用平行連桿機(jī)構(gòu)加工圓弧齒線圓柱齒輪齒面的成型原理圖。在其成型原理圖上，齒輪齒面∑由齒輪端面漸開線齒廓Th沿著基圓柱齒向線掃描而成，齒輪齒面方程也由此建立。

齒面方程為：

(1)

式中:b—齒寬；rb—基圓柱半徑。

由齒面方程可知：基于平行連桿機(jī)構(gòu)加工的圓弧齒線圓柱齒輪齒面方程z坐標(biāo)是獨(dú)立參數(shù)，當(dāng)z坐標(biāo)時(shí)確定時(shí)，即可確定位置角β，進(jìn)而得到齒廓方程，即：

(2)

若要表示出另一側(cè)齒面∑′或者齒廓時(shí)，只須選取坐標(biāo)系，重復(fù)齒面方程∑或齒廓的推導(dǎo)過程即可。

2.2 旋轉(zhuǎn)刀盤銑削加工齒輪齒廓方程

為建立圓弧齒線圓柱齒輪的精確三維模型，研究齒面重構(gòu)及齒輪結(jié)構(gòu)特征，文獻(xiàn)[21]建立了基于旋轉(zhuǎn)刀盤銑削齒輪加工的圓弧齒線圓柱齒輪齒面的方程坐標(biāo)系統(tǒng)，并推導(dǎo)了齒面方程，即：

(3)

式中:x，y，z—齒面坐標(biāo)，其中z軸為齒輪軸線方向；R1，RT—同平行連桿加工齒輪齒面方程；θ—加工過程中刀具從齒坯中截面到端面的轉(zhuǎn)角，順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)；φ1—齒輪毛坯轉(zhuǎn)角，順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)；α—刀具壓力角；u—刀具曲面上點(diǎn)沿錐曲面母線距離參考點(diǎn)的位移。

當(dāng)b=0和θ=0時(shí)，將其代入式(3)，即得到齒輪中截面時(shí)齒廓方程為：

(4)

當(dāng)齒輪齒寬b≠0和θ≠0時(shí)，有下列關(guān)系式：

(5)

結(jié)合式(3，5)，齒輪毛坯轉(zhuǎn)角φ1可表示為：

(5)

此時(shí)，圓弧齒線圓柱齒輪的齒廓方程可表示為：

(6)

2.3 弧齒圓柱齒輪齒厚計(jì)算

圓弧齒線圓柱齒輪齒的廓特性對齒輪設(shè)計(jì)、齒廓修形、潤滑、強(qiáng)度等有重要影響，但現(xiàn)有的相關(guān)研究文獻(xiàn)目前只表明，平行連桿加工和旋轉(zhuǎn)刀盤銑削加工齒廓特性有差異，并未對其特點(diǎn)進(jìn)行過準(zhǔn)確的對比分析，因此，基于以上原因，有必要對圓弧齒線圓柱齒輪的齒廓特性進(jìn)行深入的研究。

通常，圓弧齒線圓柱齒輪齒可分為兩類：法向齒厚和周向齒厚。此處，筆者主要討論周向齒厚。

任意截面(垂直于軸線)的齒厚計(jì)算示意圖如圖2所示。

圖2 任意截面齒厚計(jì)算示意圖

圖2中，A和B為齒廓上兩點(diǎn)，A和B之間的弧長即為齒厚。

當(dāng)已知A和B的坐標(biāo)時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系，可以通過計(jì)算得到該截面的齒厚，即：

(7)

式中：(xA，yA)，(xB,yB)—A和B點(diǎn)在截面內(nèi)的坐標(biāo)；S′—A和B之間弦長；Rk—齒根和齒頂之間任意一圓的半徑。

3 設(shè)計(jì)參數(shù)對圓弧齒線圓柱齒輪齒廓特性的影響

圓弧齒線圓柱齒輪結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)主要有壓力角、齒寬、齒線半徑、模數(shù)等。由于齒輪模數(shù)和壓力角有相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，此處主要討論設(shè)計(jì)參數(shù)齒寬和齒線半徑對對齒輪齒廓特性的影響。

采用平行連桿機(jī)構(gòu)加工圓弧齒線圓柱齒輪時(shí)，在m=4，z=31，齒線半徑分別為100 mm和400 mm的情況下，不同齒寬處齒厚的變化曲線如圖3所示。

采用旋轉(zhuǎn)刀盤銑削加工圓弧齒線圓柱齒輪時(shí)，在m=4，z=31，齒線半徑分別為100 mm和400 mm的情況下，不同齒寬處齒厚的變化曲線如圖4所示。

圖3 平行連桿機(jī)構(gòu)加工齒輪齒厚

圖(3，4)中，B=15 mm表示齒廓測量截面距離齒輪中截面的距離為15 mm，其他以此類推。

由圖(3，4)可知：

(1)基于平行連桿機(jī)構(gòu)加工的圓弧齒線圓柱齒輪齒厚在不同齒線半徑、不同齒寬時(shí)齒厚基本無變化，這與齒輪該種加工成型原理相吻合，原因在于該種加工方法齒輪各截面齒廓均為漸開線，齒厚不變；

(2)對于旋轉(zhuǎn)刀盤銑削加工的圓弧齒線圓柱齒輪，測量截面越遠(yuǎn)離齒輪中截面，齒厚越小，特別是齒線半徑較小時(shí)，齒厚的改變量大。原因在于該種加工方法齒輪在中截面為漸開線齒廓，其他截面齒廓為雙曲線的包絡(luò)線。

為準(zhǔn)確且清晰對比分析兩種加工方法所得齒輪齒廓的差異特性，筆者定義平行連桿加工齒輪齒厚減去旋轉(zhuǎn)刀盤銑削加工齒輪齒厚為齒厚偏差e，在此基礎(chǔ)上，分別分析齒線半徑和齒寬對齒厚偏差的影響。

3.1 齒寬對齒厚偏差的影響

取齒輪m=4，z=31，RT=100 mm、200 mm、300 mm、400 mm時(shí)，分別在中截面和距離中截面15 mm、30 mm及45 mm的截面內(nèi)測量輪齒齒厚，并求取齒厚偏差，其變化趨勢如圖5所示。

由圖5可知：

(1)齒寬對圓弧齒線圓柱齒輪齒厚偏差有較大影響，總的趨勢是齒厚偏差隨齒寬增大而增大。該結(jié)果表明，基于旋轉(zhuǎn)刀盤銑削加工的圓弧齒線圓柱齒輪從中截面到端面輪齒逐漸變薄，齒輪承載能力下降；

(2)由于齒輪齒厚逐漸變薄，使得齒面靠近端面部分不接觸，如果設(shè)計(jì)時(shí)取較大齒寬，必將造成材料浪費(fèi)，增加經(jīng)濟(jì)成本；

(3)在同一截面內(nèi)，從齒根到齒頂，齒厚偏差逐漸增大，齒厚逐漸變薄，特別是在齒線半徑較小且遠(yuǎn)離中截面時(shí)，變化趨勢越明顯；但在中截面附近時(shí)，齒厚偏差幾乎為0。

圖5 齒寬對齒厚偏差的影響

3.2 齒線半徑對齒厚偏差的影響

在相同參數(shù)下，筆者求取在同一截面不同齒線半徑的齒厚偏差，其變化趨勢如圖6所示。

圖6 齒線半徑對齒厚偏差的影響

由圖6可知：齒線半徑對圓弧齒線圓柱齒輪齒厚偏差在不同截面有不同的影響。在中截面，齒厚偏差基本為零，原因在于對于平行連桿機(jī)構(gòu)加工齒輪，其齒面由漸開線方程沿齒向線掃略而得，在任意截面內(nèi)齒廓均為漸開線；對于旋轉(zhuǎn)刀盤銑削加工齒輪，無論齒線半徑取值如何，輪齒中截面均為漸開線齒廓。

當(dāng)選定相同漸開線方程基本參數(shù)后(齒輪基本參數(shù))，兩種加工方法齒輪齒厚大小相同，因此基本偏差基本為0，圖6(a)中的曲線波動原因在于存在測量誤差。

在其他任意截面內(nèi)，隨著齒線半徑的增加，齒厚偏差逐漸增大，齒厚逐漸變薄，當(dāng)齒線半徑較小時(shí)，甚至出現(xiàn)輪齒兩側(cè)齒廓曲線相互干澀的現(xiàn)象(齒廓曲線相交)。

圓弧齒線圓柱齒輪齒廓如圖7所示。

圖7 圓弧齒線圓柱齒輪齒廓

由圖7可知：齒線半徑接近或小于齒輪寬度時(shí)，基于旋轉(zhuǎn)刀盤銑削加工的齒輪可以完全被切斷，因此，此時(shí)將無法對圓弧齒線圓柱齒輪實(shí)現(xiàn)正常的銑削加工。

4 結(jié)束語

筆者以圓弧齒線圓柱齒輪為研究對象，分析了圓弧齒線圓柱齒輪的兩種常見加工方法(平行連桿加工法和旋轉(zhuǎn)刀盤銑削加工法)，并基于上述兩種加工方法分別給出了圓弧齒線圓柱齒輪的齒面和齒廓方程，進(jìn)而推導(dǎo)了齒厚計(jì)算表達(dá)式，分析了設(shè)計(jì)參數(shù)對齒厚偏差的影響。

研究的主要結(jié)論如下：

(1)平行連桿加工齒輪各截面齒廓均為漸開線，齒厚不變；旋轉(zhuǎn)刀盤銑削加工齒輪中截面為漸開線，其他截面為雙曲線，齒厚從中截面到端面逐漸減?。?/p>

(2)齒寬對齒厚偏差有較大影響，齒厚偏差隨齒寬增大而增大。在同一截面內(nèi)，從齒根到齒頂，齒厚偏差逐漸增大，齒厚逐漸變?。?/p>

(3)在中截面，齒線半徑對齒厚偏差無影響；在其他截面，隨著齒線半徑的增加，齒厚偏差逐漸增大，齒厚逐漸變薄。當(dāng)齒線半徑較小時(shí)，兩側(cè)齒廓甚至相互干澀。