開(kāi)放世界信息更新的邏輯系統(tǒng)

曹發(fā)生

(1.中山大學(xué) 邏輯與認(rèn)知研究所,廣東 廣州 510275;2.貴州民族大學(xué)認(rèn)知科學(xué)與技術(shù)系,貴州 貴陽(yáng) 550025)

知識(shí)或人的智能很多時(shí)候表現(xiàn)為分類(lèi)的能力.一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，從房間里打開(kāi)門(mén)走出來(lái)，這里就得區(qū)分墻與門(mén).從抽象的意義上來(lái)講，知識(shí)構(gòu)成了某個(gè)領(lǐng)域中的各種分類(lèi)模式的一個(gè)集簇.有些知識(shí)系統(tǒng)不難被人們描述而掌握，有些新生事物則沒(méi)那么容易被刻畫(huà).以2003年出現(xiàn)的新事物SARS(嚴(yán)重急性呼吸綜合癥Severe Acute Respiratory Syndrome) 為例，剛開(kāi)始時(shí)候不知道它到底屬于哪一種類(lèi)型肺炎,用原有的知識(shí)很難描述，于是要打破傳統(tǒng)的封閉世界預(yù)設(shè)，建立開(kāi)放世界預(yù)設(shè).李未在文獻(xiàn)[1]中建立了一階開(kāi)放的邏輯系統(tǒng)，用來(lái)刻畫(huà)知識(shí)的增長(zhǎng)、更新和假說(shuō)的進(jìn)化.他將假說(shuō)序列看成對(duì)力學(xué)的認(rèn)識(shí)的進(jìn)程，在論文的結(jié)束語(yǔ)中指出： 開(kāi)放邏輯將在機(jī)器學(xué)習(xí)、知識(shí)獲取及數(shù)據(jù)庫(kù)維修方面有著廣闊的應(yīng)用.鞠實(shí)兒[2]詳細(xì)給出開(kāi)放類(lèi)的存在性的論述.我們結(jié)合粗糙集邏輯決策邏輯和文獻(xiàn)[2]對(duì)開(kāi)放類(lèi)的刻畫(huà)建立開(kāi)放世界信息更新的邏輯系統(tǒng).隨著信息的更新,發(fā)現(xiàn) SARS 是一種非典型肺炎，用本文語(yǔ)言描述就形式化為：(φ→P*)→[(φ,c1,vc1′);(φ,c2,vc2′);...;(φ,ck,vck′)]P.

文獻(xiàn)[2-3]給出開(kāi)放類(lèi)的定義如下:

設(shè)q為任意一階謂詞,它表達(dá)性質(zhì)Q.一個(gè)類(lèi)Q是W上的開(kāi)放類(lèi)，當(dāng)且僅當(dāng)它滿(mǎn)足如下條件：

(i)Q={x|x具有Q性質(zhì),x∈W}={x|q(x),x∈W}；

(ii)在潛在世界WR中可能存在一個(gè)體a,a具有性質(zhì)Q.

鞠實(shí)兒在文獻(xiàn)[2]以肺炎概念知識(shí)為例，將整個(gè)知識(shí)范疇劃分為：

粗糙集理論中的知識(shí)表達(dá)方式一般采用信息表或稱(chēng)為信息系統(tǒng)的形式，用信息表來(lái)刻畫(huà)粗糙邏輯和決策邏輯的語(yǔ)義[4-11].信息表就已經(jīng)設(shè)定這個(gè)映射是滿(mǎn)射，為了解決部分映射或非滿(mǎn)射情況，我們提出開(kāi)放信息系統(tǒng)，更一般的映射取代信息表恰好為建立開(kāi)放信息系統(tǒng)的語(yǔ)義提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ).

1 開(kāi)放世界信息系統(tǒng)

一方面我們要將實(shí)例抽象到理論高度，另一方面想把信息表這個(gè)映射推廣到部分映射或非滿(mǎn)映射上來(lái).出于這兩方面考慮，本文的目標(biāo)是把開(kāi)放世界形式化，給出開(kāi)放世界信息更新的邏輯系統(tǒng).

下面給出開(kāi)放世界信息系統(tǒng)的定義.

定義1 一個(gè)開(kāi)放世界信息系統(tǒng)S是一個(gè)多元組S=(W,A,VA∪{},f,{Bi,VBi,VCi′,VCi″,DBi,VDi,Pni}i∈I).其中:

(1)W是對(duì)象的非空集合，稱(chēng)為論域；

(2)A是屬性的非空集合；

(3)VA=∪a∈AVa,Va是屬性a的值域，其元素也稱(chēng)為關(guān)于屬性a的屬性值，或簡(jiǎn)稱(chēng)為屬性值；

(4)f:W×A→VA∪{}是一個(gè)映射，即對(duì)每一個(gè)對(duì)象的任意屬性都賦予了一個(gè)屬性值；

(5)I是有窮指標(biāo)集合對(duì)于每一個(gè)i∈I有下面的成立:

(a)Bi,CBi,DBi?A是一些特殊的屬性集合，稱(chēng)為開(kāi)放屬性集合，這些屬性可以用來(lái)給出開(kāi)放世界中的概念的刻畫(huà)；

(b)VBi,VCi′,VCi″,VDi分別是屬性集合Bi,CBi,CBi,DBi中特殊的屬性值集合，使得

(i)VBi={vb∈Vb|b∈Bi} ；

(ii)VCi′={vc′∈Vc|c∈CBi}，VCi″={vc″∈Vc|c∈CBi}使得對(duì)任意的c∈CBi都有vc′≠vc″；

(iii)VDi={vd∈Vd|d∈DBi}；

(i)Pi={x∈W|對(duì)于每一個(gè)b∈Bi有f(x,b)=vb并且對(duì)于每一個(gè)c∈CBi有f(x,c)=vc′}；

(iv)Ui={x∈W|對(duì)于每一個(gè)b∈Bi有f(x,b)=vb并且存在c∈CBi有f(x,c)≠vc′,并且存在c∈CBi有f(x,c)≠vc″,并且存在d∈DBi有f(x,d)≠vd}；

經(jīng)典的信息系統(tǒng)中f:W×A→V是一個(gè)映射，如果它是一個(gè)部分映射(這里部分映射的定義可以參考文獻(xiàn)[12])，我們通過(guò)將未給定義的原像引入一個(gè)新的表示未知屬性值的符號(hào)作為這些原像的像，補(bǔ)充成為映射.這里表示開(kāi)放世界中知識(shí)的該屬性值還未被認(rèn)知.接下來(lái)引入開(kāi)放世界信息系統(tǒng)的信息映射的定義.

定義2 設(shè)f:W×A→V∪{}是一個(gè)映射，可以定義一個(gè)映射m:A×V∪{} →2W，m(a,v)={x|f(x,a)=v}.(f可以不是滿(mǎn)射，若v無(wú)原像則m(a,v)=?.)

由映射m:A×V∪{} →2W，也可以定義f:W×A→V∪{},其中f(x,a)=v，若x∈m(a,v).此時(shí)f也記為fm，m也記為mf.

2 開(kāi)放世界信息更新的邏輯系統(tǒng)

開(kāi)放世界信息更新的邏輯LSOWIS語(yǔ)言L(fǎng)采用PAWLAK在文獻(xiàn)[6]及KHAN等在文獻(xiàn)[9]中給出的方式定義.

2.1 語(yǔ)法

定義3 開(kāi)放世界信息系統(tǒng)更新的邏輯LSOWIS語(yǔ)言L(fǎng)的字母表包括以下部分：

(1)可數(shù)無(wú)窮集合OC，其元素稱(chēng)為個(gè)體常元，用x,y,z或加數(shù)字下標(biāo)表示；

(2)可數(shù)無(wú)窮集合AC，其元素稱(chēng)為屬性常元，用a,b,c,d或加數(shù)字下標(biāo)表示；

(3)集合AC的子集合符號(hào)，用B,C,D或加下標(biāo)表示；

(6)信息算子符號(hào);(合成算子),∨(選擇算子)；

(8)合式公式變?cè)?hào)，用α,β,γ或加數(shù)字下標(biāo)表示；

(9)命題變?cè)?hào)集合PV，其元素用符號(hào)p或加數(shù)字下標(biāo)表示；

(10)技術(shù)性符號(hào)(,),[,].

定義4 信息的形成規(guī)則：

(1)每一個(gè)原子信息(φ,a,v)是信息，這里φ是下面定義中的合式公式；

(2)若σ，σ′是信息，則σ;σ′和σ∨σ′都是信息；

(3)僅由以上2條形成信息.

定義5 開(kāi)放世界信息更新的邏輯LSOWIS語(yǔ)言L(fǎng)的合式公式的形成規(guī)則：

(2)(a,v)是合式公式，稱(chēng)為描述子；

(3)若α,β是合式公式，則α,α∧β,[σ]α是合式公式；

(4)僅由以上3條形成合式公式.

全體描述子的集合記為D，全體合式公式的集合記為P，記Pfini為每一個(gè)屬性集合符號(hào)B僅僅含有窮多個(gè)屬性的全體合式公式.除去形成規(guī)則(3)中的構(gòu)造方式[σ]α而得到的公式也稱(chēng)為布爾合式公式.

下文中的合式公式α∨β定義為(α∧β);合式公式α→β定義為(α∨β);合式公式α∨β定義為(α→β)∧ (β→α).

2.2 語(yǔ)義

開(kāi)放世界信息更新的邏輯LSOWIS語(yǔ)言L(fǎng)的語(yǔ)義是基于模態(tài)邏輯[13]的模型結(jié)構(gòu)的.

定義6 一個(gè)模型M 是一個(gè)多元組M=(W,A,VA∪ {}, {Bi,VBi,VCi′,VCi″,DBi,VDi,Pni}i∈I,m,V). 其中

(1)m:D→2W；

(2)多元組(W,A,VA∪ {},f, {Bi,VBi,VCi′,VCi″,DBi,VDi,Pni}i∈I)是一個(gè)開(kāi)放世界信息系統(tǒng)，其中f是由m按定義2所對(duì)應(yīng)映射；

(3)V:PV→2W.

模型結(jié)構(gòu)M也可以誘導(dǎo)出一個(gè)開(kāi)放世界信息系統(tǒng)，這個(gè)開(kāi)放世界信息系統(tǒng)也記為SM.

給定開(kāi)放世界信息系統(tǒng)S=(W,A,VA∪ {},f, {Bi,VBi,VCi′,VCi″,DBi,VDi,Pni}i∈I)，它本質(zhì)上是語(yǔ)義的，自然地就有語(yǔ)言L(fǎng)下的一套語(yǔ)法系統(tǒng).下文中提到開(kāi)放世界信息系統(tǒng)S=(W,A,VA∪ {},f, {Bi,VBi,VCi′,VCi″,DBi,VDi,Pni}i∈I)后就將開(kāi)放世界信息系統(tǒng)的語(yǔ)義符號(hào)和語(yǔ)言的語(yǔ)法符號(hào)用了同樣的形式字符表示，這并不影響理解本文的內(nèi)容.

定義7 給定開(kāi)放世界信息系統(tǒng)S=(W,A,VA∪ {},f, {Bi,VBi,VCi′,VCi″,DBi,VDi,Pni}i∈I). 定義信息系統(tǒng)的框架SS=(W,A,VA∪ {},{Bi,VBi,VCi′,VCi″,DBi,VDi,Pni}i∈I,m)，其中m是由f按定義2所對(duì)應(yīng)映射.模型結(jié)構(gòu)(SS,V)也記為MS.

為了給出一類(lèi)開(kāi)放世界信息更新系統(tǒng)，我們要引入一個(gè)重要的概念，即開(kāi)放世界信息系統(tǒng)的相容信息.本文給出的開(kāi)放世界信息更新系統(tǒng)就是建立在相容信息上的更新.

定義8 設(shè)多元組S=(W,A,VA∪ {},f,{Bi,VBi,VCi′,VCi″,DBi,VDi,Pni}i∈I)是一個(gè)開(kāi)放世界信息系統(tǒng).(φ,a,v)是一個(gè)關(guān)于開(kāi)放屬性a的信息，稱(chēng)它是S的相容信息，如果對(duì)于任意的x∈φMS都有f(x,a)=.

定義9 給定開(kāi)放世界信息系統(tǒng)的模型M=(W,A,VA∪ {}, {Bi,VBi,VCi′,VCi″,DBi,VDi,Pni}i∈I,m,V)，定義由原子信息I=(φ,a,v)更新模型M所得模型，或稱(chēng)為M的I更新模型，記為

MI=(W,A,VA∪ {}, {Bi,VBi,VCi′,VCi″,DBi,VDi,}i∈I,mI,V)：

mI如下給出：

當(dāng)a不是開(kāi)放屬性時(shí):

mI(a′,v′):=m(a′,v′),當(dāng)a′≠a時(shí);

mI(a,v′):=m(a,v′)φM,當(dāng)v′≠v時(shí);

mI(a,v):=m(a,v) ∪φM;

當(dāng)a是開(kāi)放屬性時(shí)，當(dāng)信息I=(φ,a,v)和SM是相容的：

mI(a′,v′):=m(a′,v′),當(dāng)a′≠a時(shí);

mI(a,v′):=m(a,v′)φM,當(dāng)v′≠v時(shí);

mI(a,v):=m(a,v) ∪φM;

當(dāng)a是開(kāi)放屬性時(shí)，當(dāng)信息I=(φ,a,v)和SM不是相容的：

mI(b,v′):=m(b,v′),對(duì)于任意的b時(shí);

給定開(kāi)放世界信息系統(tǒng)的模型M=(W,A,VA∪ {}, {Bi,VBi,VCi′,VCi″,DBi,VDi,Pni}i∈I,m,V)，給定原子信息I=(φ,a,v)，那么更新模型MI的本質(zhì)理解如下：

注2fmI是由fm只改變序?qū)?x,a)的像(這里x∈φM)而得到，具體是經(jīng)過(guò)下面變化而得到的：對(duì)于個(gè)體x∈φM和開(kāi)放屬性a的序?qū)?x,a),若在fm下已經(jīng)有非像，就將這個(gè)像定位這個(gè)序?qū)υ趂mI下的像.序?qū)?x,a),若在fm下的像是，則這個(gè)序?qū)υ趂mI下的像為v. 通俗地講，是指?jìng)€(gè)體x的開(kāi)放屬性a的屬性值已經(jīng)被認(rèn)知就不能再改變，沒(méi)有認(rèn)知的屬性值就由這個(gè)信息中的v來(lái)定出屬性值.對(duì)于非開(kāi)放屬性a，這個(gè)序?qū)υ趂mI下的像為v.通俗地講，是指?jìng)€(gè)體x的非開(kāi)放屬性a的屬性值可以改變，其屬性值就由這個(gè)信息中的v來(lái)定.

注2有助于第3節(jié)的可靠性定理中關(guān)于A15的證明的理解.

由定理1可知，定義9是合理的.

下面定義關(guān)于信息σ的模型間的二元關(guān)系Rσ，用花體R來(lái)區(qū)別W上的二元關(guān)系R，但都是集合論中的二元關(guān)系.

定義10 M RσM′歸納于σ的結(jié)構(gòu)如下：

(1) M RIM′當(dāng)且僅當(dāng)M′=MI；

(2) M Rσ；σ′M′當(dāng)且僅當(dāng)存在模型M″,使得M RσM″ 且M″ Rσ′ M′；

(3) M Rσ ∨ σ′M′當(dāng)且僅當(dāng)M RσM′ 或者M(jìn) Rσ′M′.

下面給出開(kāi)放世界信息更新邏輯系統(tǒng)的合式公式在模型中的可滿(mǎn)足性的定義：

定義11 任給語(yǔ)言L(fǎng)中的合式公式α如下歸納定義模型M在w∈W上可滿(mǎn)足，記為M,wα:

(1)M,w；

(2)非M,w⊥；

(3)M,w(a,v)當(dāng)且僅當(dāng)w∈m(a,v)；

(4)M,wp當(dāng)且僅當(dāng)w∈V(p)；

(5)M,wα當(dāng)且僅當(dāng)非M,wα；

(6)M,wα∧β當(dāng)且僅當(dāng)M,wα并且M,wβ；

(7)對(duì)于任意信息σ，M,w[σ]α當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的MRσM′的 M′都有M′,wα.

注3 M,wα∨β當(dāng)且僅當(dāng)M,wα或者M(jìn),wβ；M,wα→β,當(dāng)且僅當(dāng)，若M,wα則M,wβ.

有了上面的準(zhǔn)備工作就可以給出開(kāi)放世界信息系統(tǒng)更新的邏輯系統(tǒng)的合式公式的有效性的定義.

定義12 任給語(yǔ)言L(fǎng)中的合式公式α，稱(chēng)α在模型M上是可滿(mǎn)足的，如果對(duì)于任意的w∈W都有，M,wα.稱(chēng)α是有效的，如果對(duì)于任意的模型M中α是可滿(mǎn)足的.

下文記αM={x|M,xα}.

定義13 給定語(yǔ)言L(fǎng)的開(kāi)放世界信息系統(tǒng)的S=(W,A,VA∪ {},f, {Bi,VBi,VCi′,VCi″,DBi,VDi,Pni}i∈I)，離散時(shí)間序列N的可列個(gè)模型{Mi|i∈N}是開(kāi)放世界信息系統(tǒng)隨著信息更新而變化得到的一列模型，如果M0=MS,則稱(chēng)這個(gè)模型序列(記為MS)為該開(kāi)放世界信息系統(tǒng)的在離散時(shí)間序列上的更新模型序列，簡(jiǎn)稱(chēng)為該開(kāi)放世界信息系統(tǒng)的模型序列(在不強(qiáng)調(diào)信息系統(tǒng)的時(shí)候也簡(jiǎn)記為M).在M上定義一個(gè)先后次序關(guān)系≥，M′≥ M當(dāng)且僅當(dāng)存在i,j使得M′=Mi,M= Mj且i≥j.

下面表明這樣給出的系統(tǒng)中存在真正的開(kāi)放類(lèi).為了把鞠實(shí)兒給出的開(kāi)放類(lèi)的定義的2條性質(zhì)著重刻畫(huà)出來(lái)，將開(kāi)放類(lèi)(a,v)M=m(a,v)={x|M,x(a,v)} 定義如下：

(i) (a,v)M= {x|?M′≥ M,M′,x(a,v),x∈W(a,)M}(記性質(zhì)“?M′≥ M,M′,x(a,v)”為Q性質(zhì)),

(ii)在潛在世界(a,)M中可能存在一個(gè)體y,y具有性質(zhì)Q.

不難驗(yàn)證{x|M,x(a,v)}={x|?M′≥ M,M′,x(a,v),x∈W(a,)M}，從而(a,v)M確實(shí)是一個(gè)開(kāi)放類(lèi).

接下來(lái)剖析如此定義的開(kāi)放系統(tǒng)的模型的本質(zhì)屬性.由開(kāi)放類(lèi)的定義可以得到本文描述的開(kāi)放系統(tǒng)的模型具有的一個(gè)本質(zhì)屬性：

性質(zhì)1 給定開(kāi)放世界信息系統(tǒng)的模型序列{MS={Mi|i∈}，那么這些模型必然滿(mǎn)足下列開(kāi)放信息系統(tǒng)條件:對(duì)于任給的M′, M∈MS，若M′≥ M，則且

從數(shù)學(xué)的角度來(lái)考察開(kāi)放世界信息系統(tǒng)S=(W,A,VA∪{},f, {Bi,VBi,VCi′,VCi″,DBi,VDi,Pni}i∈I)中這個(gè)映射f的定義.首先如果f是個(gè)部分映射，也即是存在個(gè)體x和屬性a,它們的組合(x,a)沒(méi)有像，即個(gè)體x的屬性a的屬性值還未知，只要引入一個(gè)未知值符號(hào)，就可以將部分映射擴(kuò)展成為映射.引入符號(hào)后不妨設(shè)f為映射,這也是在表示開(kāi)放系統(tǒng)的時(shí)候引入的原因.在各種類(lèi)型信息系統(tǒng)[4-9]中f表示的是一個(gè)信息表，信息表就預(yù)設(shè)了它是個(gè)滿(mǎn)映射.如果它不是滿(mǎn)映射情況又會(huì)如何呢？某個(gè)屬性a的屬性值v在當(dāng)前的信息系統(tǒng)下沒(méi)有原像，意味著在這個(gè)模型下，該屬性值還沒(méi)被人們認(rèn)知.但是可能在信息更新后的系統(tǒng)中這個(gè)屬性值v有原像，即更新后的模型下屬性值v才被真正認(rèn)識(shí)到，即表明：對(duì)于屬性a來(lái)說(shuō)，隨著時(shí)間的推移人們會(huì)發(fā)現(xiàn)新的屬性值.這非常符合人類(lèi)對(duì)開(kāi)放世界的認(rèn)知.正是因?yàn)檫@個(gè)可以不是滿(mǎn)射的性質(zhì)，我們就可以借助于它來(lái)刻畫(huà)開(kāi)放世界.

這就是刻畫(huà)開(kāi)放系統(tǒng)的模型具有的另一個(gè)本質(zhì)屬性：

性質(zhì)2 給定開(kāi)放世界信息系統(tǒng)的模型序列MS={Mi|i∈} ，那么這些模型必然滿(mǎn)足下列開(kāi)放信息系統(tǒng)條件:對(duì)于任給的開(kāi)放類(lèi)屬性a，對(duì)于任給的M′, M∈MS，若M′≥ M，則(VCa)M′? (VCa)M.

在認(rèn)識(shí)世界的時(shí)候隨著時(shí)間的推移人們會(huì)發(fā)現(xiàn)新的屬性值，也會(huì)發(fā)現(xiàn)新的屬性，本文對(duì)該特性已給出了描述，因?yàn)榧俣▽傩詀在當(dāng)前模型下沒(méi)被發(fā)現(xiàn)認(rèn)識(shí)到，該屬性和任意的論域個(gè)體都沒(méi)給定像，即是說(shuō)f此時(shí)的模型下只是個(gè)部分映射.本文引入未知屬性值符號(hào)和若干個(gè)屬性值符號(hào)va,這些屬性值可能在以后的模型世界中能被認(rèn)知.當(dāng)前模型下的f,只要將(x,a)映成即可，于是就將部分映射擴(kuò)展成映射.這樣我們就描述了特性——在認(rèn)識(shí)世界的時(shí)候隨著時(shí)間的推移人們會(huì)發(fā)現(xiàn)新的屬性.

2.3 公理及推理規(guī)則

2.3.1 公理

(1)信息公理

A1.命題公理中的3條公理;

A2.(a,v)→(a,v′),對(duì)所有的v≠v′;

A3.∨v∈VCa(a,v),對(duì)所有的a∈AC;

(2)更新公理

A4.[I]p?p;

A5.[I]α?[I]α;

A6.[I](α→β)? ([I]α→[I]β);

A7.[(φ,a,v)](a′,v′)? (a′,v′),當(dāng)a≠a′;

A8.[(φ,a,v)](a,v′)? (φ∧(a,v′)),當(dāng)v≠v′;

A9.[(φ,a,v)](a,v)? (φ→(a,v));

A10.[σ;σ′]α? [σ][σ′]α;

A11.[σ∨σ′]α? ([σ]α∧[σ′]α);

(3)開(kāi)放世界公理

A13.(a,v)→[I](a,v),當(dāng)a∈B∪C∪D;

2.3.2 推理規(guī)則

2.4 形式證明

例1 證明[I](α∧β)? ([I]α∧ [I]β).

證(1) [I]((α∧β)?[I](α∨β)(命題邏輯推理,RE規(guī)則).

(2) [I](α∨β) ?[I](α∨β) )(A5).

(6)([I]α∧[I]β)?([I]α∧ [I]β) (命題邏輯推理).

(7)[I](α∧β)?([I]α∧ [I]β)((1)-(6),命題邏輯推理).

例2 證明Pi→[I1;I2;...;In]Pi，這里Pi=∧b∈Bi(b,vb)∧ ∧c∈CBi(c,vc′).

證以n=2為例給出證明，一般情形同理可證.

(1) (b,vb)→[I2](b,vb) (A13),

(2) [I1]((b,vb)→[I2](b,vb)) ((1),RN),

(3) [I1]((b,vb)→[I2](b,vb))→([I1](b,vb)→[I1][I2](b,vb)) (A6),

(4) [I1](b,vb)→[I1][I2](b,vb)((2),(3),MP),

(5) (b,vb)→[I1](b,vb) (A13),

(6) (b,vb)→[I1][I2](b,vb)((5),(4),命題邏輯的定理),

(7) (b′,vb′)→[I1][I2](b′,vb′) (與(6)同理),

(8) ((b,vb)∧ (b′,vb′))→([I1][I2](b,vb)∧[I1][I2](b′,vb′))((6),(7),命題邏輯的定理),

(9)([I2](b,vb)∧ [I2](b′,vb′))→[I2]((b,vb)∧ (b′,vb′)) (例1),

(10)[I1](([I2](b,vb)∧[I2](b′,vb′))→[I1][I2]((b,vb)∧ (b′,vb′))) ((9),RM規(guī)則),

(11)([I1][I2](b,vb)∧[I1][I2](b′,vb′))→[I1]([I2](b,vb)∧ [I2](b′,vb′)) (例1),

(12)((b,vb)∧(b′,vb′))→[I1][I2]((b,vb)∧ (b′,vb′)) ((8),(11),(10),命題邏輯推理),

(13)(∧b∈Bi(b,vb))→[I1][I2](∧b∈Bi(b,vb)) (重復(fù)(12)的證明若干次),

(14)(∧b∈Bi(b,vb)∧∧c∈CBi(c,vc′))→[I1][I2](∧b∈Bi(b,vb)∧ ∧c∈CBi(c,vc′)) (再重復(fù)(12)的證明若干次).

Pi→[I1;I2;…;In]Pi直觀(guān)解釋為：隨著信息的更新，開(kāi)放世界中的開(kāi)放類(lèi)成員可能會(huì)增加.這也正是開(kāi)放系統(tǒng)的模型具有的一個(gè)本質(zhì)屬性.

下面給出開(kāi)放世界公理的直觀(guān)解釋?zhuān)@非常有助于理解下一節(jié)的可靠性定理的證明過(guò)程.

A13.(a,v)→[I](a,v),當(dāng)a∈B∪C∪D直觀(guān)解釋為：更新一次信息，開(kāi)放世界中的開(kāi)放類(lèi)成員可能會(huì)增加.這為開(kāi)放系統(tǒng)的模型的本質(zhì)屬性提供基礎(chǔ)保證.

3 開(kāi)放世界信息更新的邏輯系統(tǒng)的可靠性

KHAN等[8]給出了信息系統(tǒng)及其動(dòng)態(tài)更新系統(tǒng)的可靠性，本節(jié)來(lái)證明開(kāi)放世界信息系統(tǒng)更新的邏輯系統(tǒng)的可靠性.

引理1 每一條公理都是有效的.

證明選證公理A2、A6、A13和A15的有效性，其余的公理同樣能證明(A1—A11和文獻(xiàn)[8]中的公理一樣，他們已經(jīng)證明信息系統(tǒng)及其更新系統(tǒng)具有可靠性，所以略去的其中的大部分公理的有效性的證明，只是著重給出開(kāi)放公理的有效性的證明).

A2.(a,v)→(a,v′),對(duì)所有的v≠v′;任給模型M及任意的w∈W，若有w∈(a,v)M，而因v≠v′得于是有w∈((a,v))M.由公式的可滿(mǎn)足性的定義有w∈((a,v)→(a,v′))M.由有效性的定義得A2有效.

A6.[I](α→β)?([I]α→[I]β);任給模型M及任意的w∈W，要證得w∈(A6)M，即要證2個(gè)命題:(1)若w∈([I](α→β))M則w∈([I]α→[I]β)M；(2)若w∈([I]α→[I]β)M則w∈([I](α→β))M.

(1)若w∈([I](α→β))M，即是MI,wα→β.設(shè)M,w[I]α即是MI,wα，結(jié)合MI,wα→β，于是有MI,wβ.這即是M,w[I]β.故w∈([I]α→[I]β)M.

(2)若w∈([I]α→[I]β)M，即是說(shuō)若w∈([I]α)M則w∈([I]β)M.于是若w∈αMI則w∈βMI.即是w∈(α→β)MI，所以w∈([I](α→β))M.

A13.(a,v)→[I](a,v),當(dāng)a∈B∪C∪D;任給模型M及任意的w∈W，要證得w∈(A13)M，即要證命題:若w∈(a,v)M則w∈([I](a,v))M.下面就I的可能情況討論：

(1)當(dāng)I=(φ,a,v)時(shí)，再就w是否屬于φM來(lái)討論.(1.1) 當(dāng)w?φM時(shí)，因?yàn)橐呀?jīng)設(shè)有w∈(a,v)M，即是M,w(a,v)，再因w?φM于是MI,w(a,v)，這就有w∈(a,v)MI即w∈([I](a,v))M；(1.2)當(dāng)w∈φM時(shí)，(1.2.1)信息I與信息系統(tǒng)SM相容，由相容的定義有若w∈φM都有f(w,a) =.因f(w,a)=，信息I=(φ,a,v)就是要得到fI(w,a)=v，于是有w∈((a,v))MI即w∈([I](a,v))M；(1.2.2)信息I與信息系統(tǒng)SM不相容，因?yàn)橐呀?jīng)設(shè)有w∈(a,v)M，即是M,w(a,v)，于是MI,w(a,v)，這就有w∈(a,v)MI即w∈([I](a,v))M；

(2)當(dāng)I=(φ,a,v′)時(shí)，(2.1)信息I與信息系統(tǒng)SM相容，由信息I與信息系統(tǒng)SM相容的定義得若w∈φM，則f(w,a)=，這與已設(shè)w∈(a,v)M(即是說(shuō)f(w,a)=v))矛盾，于是w?φM，由定義知集合 (a,v)MI先從(a,v)M要去掉像值為v的w這樣的元素，再加上信息給帶來(lái)的那些φM中的元素，于是顯然有w∈(a,v)MI即w∈([I](a,v))M；(2.2)信息I與信息系統(tǒng)SM不相容，因?yàn)橐呀?jīng)設(shè)有w∈(a,v)M，即是M,w(a,v)，于是MI,w(a,v)，這就有w∈(a,v)MI即w∈([I](a,v))M；

(3)當(dāng)I=(φ,b,vb),b≠a時(shí)，因?yàn)橐呀?jīng)設(shè)有w∈(a,v)M，即是M,w(a,v)，于是MI,w(a,v)，這就有w∈(a,v)MI即w∈([I](a,v))M.

綜上所述，故A13有效.

A15.[(Pi*,c1,vc1″);(Pi*,c2,vc2″);...;(Pi*,ck,vck″)]Pi-→(Pi-∨(Pi*∧ ∧c∈CBi(c,))).任給模型M及任意的w∈W，要證得w∈(A15)M，即要證命題:

引理2 每一規(guī)則都保持有效性.

證明MP規(guī)則保持有效性的證明：任給模型M及任意的w∈W，因α,α→β都是有效的，故w∈αM，w∈(α→β)M,于是w∈βM.由有效性的定義得β是有效的,因此MP規(guī)則保持有效性.

RI規(guī)則保持有效性的證明：任給模型M及任意的w∈W，因α是有效的，MI也是一個(gè)模型，故w∈αMI，由MI的定義即得w∈([I]α)M，由有效性的定義得[I]α是有效的，因此RI規(guī)則保持有效性.

由引理1和引理2即得可靠性定理.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)剖析開(kāi)放系統(tǒng)的模型的本質(zhì)屬性，表明這樣給出的系統(tǒng)中存在真正的開(kāi)放類(lèi).通過(guò)擴(kuò)展一般的信息系統(tǒng)中的信息表這個(gè)映射，將信息系統(tǒng)拓展到開(kāi)放信息系統(tǒng)上,從而結(jié)合開(kāi)放類(lèi)和信息系統(tǒng)建立了開(kāi)放世界信息更新的邏輯系統(tǒng).

邏輯研究學(xué)者們總希望得到能夠描述具體實(shí)例世界的形式系統(tǒng).從分析具體的開(kāi)放類(lèi)的實(shí)例——SARS入手，上升到理論深度，再通過(guò)將信息系統(tǒng)的信息表映射推廣到一般的非滿(mǎn)映射上來(lái)，進(jìn)一步給出開(kāi)放類(lèi)的邏輯系統(tǒng)的刻畫(huà).這無(wú)論是從現(xiàn)實(shí)的需要還是純理論的推廣中都得出建立開(kāi)放世界信息更新的邏輯系統(tǒng)是必要的.結(jié)合PAWLAK等提出的粗糙集邏輯和鞠實(shí)兒提出的開(kāi)放類(lèi)，給出開(kāi)放世界信息更新的邏輯系統(tǒng)，它刻畫(huà)了開(kāi)放世界信息系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)更新.KHAN和BANERJEE在文獻(xiàn)[9]給出多主體信息系統(tǒng)更新的邏輯系統(tǒng).接下來(lái)進(jìn)一步的工作可以將單主體的開(kāi)放世界信息系統(tǒng)的更新推廣到多主體的情形，這將是有意義和令人鼓舞的事情.