小學(xué)數(shù)學(xué)手賬的學(xué)理意蘊(yùn)與實(shí)施策略

□范林偉 楊雅軍

一、數(shù)學(xué)手賬的學(xué)理意蘊(yùn)

“手賬”原指經(jīng)常帶在身邊，用來記載心想、要做、怕忘的各種事情的小型筆記本?！皵?shù)學(xué)手賬”則是記錄數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的載體。它在保留其原有的記錄、計(jì)劃功能之外，更加注重讓學(xué)生運(yùn)用多元的數(shù)學(xué)表征方式來記錄在發(fā)現(xiàn)并提出問題、分析并解決問題時(shí)所經(jīng)歷的數(shù)學(xué)思考過程、獲得的結(jié)果和探究體會(huì)。

數(shù)學(xué)手賬由一系列賬頁組成，每張賬頁主要包含“我的問題、我的實(shí)踐、我的思考”三大基本板塊，力求全面呈現(xiàn)某個(gè)數(shù)學(xué)問題及其相應(yīng)的探究過程。通常，數(shù)學(xué)手賬具有如下特點(diǎn)。

（一）數(shù)學(xué)思考痕跡化

學(xué)生會(huì)把從確定問題、實(shí)施計(jì)劃、調(diào)整反思到提煉經(jīng)驗(yàn)等思考過程和思維軌跡全程記錄下來。這種自然流露作為學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過程的梳理與總結(jié)，能充分體現(xiàn)他們主動(dòng)求知、積極探究、渴望知識(shí)和樂于創(chuàng)造的良好學(xué)習(xí)狀態(tài)。

（二）數(shù)學(xué)思維可視化

為了將自己的所感、所想、所做全面地記錄下來，學(xué)生在描述問題解決的過程時(shí)會(huì)運(yùn)用多元的表征方式來表達(dá)自己的思維過程。這有效地促使學(xué)生將感性、初步的認(rèn)識(shí)提煉為理性的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)知識(shí)。

（三）數(shù)學(xué)方法多樣化

學(xué)生在解決問題時(shí)會(huì)從實(shí)物或模型、數(shù)或形等角度來全面思考并嘗試運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)方法來解答，進(jìn)而不斷豐富與強(qiáng)化自身對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)方式的理解與運(yùn)用。其間，他們還會(huì)使用個(gè)性化的表達(dá)方式將自己的思考表達(dá)出來。如學(xué)生在創(chuàng)作數(shù)學(xué)手賬時(shí)會(huì)以問題為載體直接表達(dá)探究過程，也會(huì)以故事為載體間接表達(dá)探究過程，還會(huì)以知識(shí)樹、思維導(dǎo)圖、小課題研究的形式來展示自己的探究過程。

教學(xué)中，我們將數(shù)學(xué)手賬劃分為問學(xué)手賬、固學(xué)手賬和延學(xué)手賬三類，分別在學(xué)生預(yù)習(xí)、回顧、整理、拓展等階段使用，從而培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題、調(diào)整和反思以及創(chuàng)新實(shí)踐等能力，使他們善于學(xué)習(xí)、樂于學(xué)習(xí)，從而愛上這種不一樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。

二、數(shù)學(xué)手賬的教學(xué)策略

數(shù)學(xué)手賬不僅能夠“曬”出學(xué)生的思維困惑，“曬”出他們的思維方式，還能“曬”出他們的數(shù)學(xué)創(chuàng)造。教學(xué)中，教師可以根據(jù)教學(xué)的需要合理選擇手賬類型進(jìn)行布置，這樣既能引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維分析問題，又能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)理解水平，還能借此診斷自己的教學(xué)效果。

（一）問學(xué)手賬讓學(xué)生學(xué)得有方向

愛因斯坦曾指出：“提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更重要?！睂W(xué)生在預(yù)習(xí)、在課堂上遇到問題時(shí)，可以及時(shí)地將它們記錄下來，然后借助問學(xué)手賬做深入的探究。這不僅能為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)導(dǎo)航，而且還能使他們?cè)谔釂柕倪^程中學(xué)會(huì)提出問題的策略，掌握提出問題的方法。

如學(xué)習(xí)四年級(jí)“加法交換律和結(jié)合律”時(shí)，由于內(nèi)容相對(duì)簡單，教師就安排獨(dú)立預(yù)學(xué)的方式，組織學(xué)生通過問學(xué)手賬來記錄自主學(xué)習(xí)的過程。有位學(xué)生清楚地將自己預(yù)習(xí)教材、舉例驗(yàn)證、歸納總結(jié)的過程繪制下來，還借助“朝三暮四”的故事加以描述（見圖1）。整頁手賬內(nèi)容全面、主題突出，有序地展示了預(yù)習(xí)的過程和學(xué)習(xí)的成果。

圖1

又如學(xué)習(xí)四年級(jí)“三角形的分類”時(shí)，有學(xué)生產(chǎn)生了如何分辨三角形的種類的問題。該學(xué)生帶著預(yù)習(xí)時(shí)產(chǎn)生的問題進(jìn)入課堂，然后根據(jù)課堂的探究過程，將知識(shí)回顧、探索發(fā)現(xiàn)、研究結(jié)論和自身體會(huì)描繪下來（見圖2）。從賬頁可以看出，學(xué)生在問題的導(dǎo)向下，不僅知道了三角形按角分類的方法，還認(rèn)識(shí)了直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形的特征，發(fā)現(xiàn)了這三者之間的共同點(diǎn)（每個(gè)三角形最少有兩個(gè)銳角），而且還得出了“判斷一個(gè)三角形關(guān)鍵看它三個(gè)角中最大的角是什么角”的方法。

圖2

（二）固學(xué)手賬讓學(xué)生學(xué)得有質(zhì)量

古語云，溫故而知新。在日常的知識(shí)回顧、優(yōu)化提升或單元整理時(shí)，教師可以組織學(xué)生創(chuàng)作固學(xué)手賬，以此來整理和歸納新知與技能，促使學(xué)生在數(shù)學(xué)問題的解決中熟悉解決問題的策略與方法，學(xué)會(huì)舉一反三，提高數(shù)學(xué)運(yùn)用與數(shù)學(xué)理解能力，起到固本強(qiáng)基、拓展思維的作用。

如學(xué)習(xí)三年級(jí)“24時(shí)計(jì)時(shí)法”時(shí)，教師為了鞏固學(xué)生對(duì)12時(shí)計(jì)時(shí)法與24時(shí)計(jì)時(shí)法之間換算的認(rèn)知，促進(jìn)學(xué)生對(duì)計(jì)算經(jīng)過時(shí)間的方法的理解，組織學(xué)生繪制了固學(xué)手賬。從學(xué)生作品（見圖3）中可以發(fā)現(xiàn)，該生在解決問題時(shí)既借助了直觀的時(shí)間尺模型來幫助思考，又使用了兩種不同的方法來解決問題。這種“你知道嗎”的表現(xiàn)方式生動(dòng)地展示了學(xué)生對(duì)計(jì)時(shí)方法的理解與感悟以及熟練運(yùn)用知識(shí)解決問題的自信心。

圖3

再如學(xué)習(xí)四年級(jí)“觀察物體（二）”時(shí)，有學(xué)生為了讓自己清晰地回憶數(shù)圖形的方法，將操作演示的思考方法淋漓盡致地記錄成數(shù)學(xué)手賬（見圖4）。

圖4

從賬頁中可知，該學(xué)生為了數(shù)出這個(gè)組合體中小正方體的個(gè)數(shù)，將隱藏在內(nèi)部的實(shí)際構(gòu)造繪制出來，從而確定了所用正方體的具體數(shù)量。在這一過程中學(xué)生不僅解決了問題，學(xué)會(huì)了有序思考此類問題的思維方式，而且有效地提高了自身觀察、操作、想象、分析與推理的意識(shí)和能力。

又如學(xué)習(xí)三年級(jí)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”后，有學(xué)生產(chǎn)生了要研究“11的速算”的想法。其間，他通過列舉以及對(duì)豎式結(jié)構(gòu)的分析，發(fā)現(xiàn)了它們的共同點(diǎn)，明確了“與11相乘”的規(guī)律（見圖5）。最后，他還真切地提出“數(shù)學(xué)是一門有趣的學(xué)科，我們要善于發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，大膽猜測(cè)，通過實(shí)踐來驗(yàn)證猜測(cè)，一定能解決問題”。這樣的探究不但強(qiáng)化了學(xué)生靈活運(yùn)用“猜測(cè)—舉例—驗(yàn)證”的思想方法，還使他們品嘗了成功的喜悅，感受到數(shù)學(xué)的無窮魅力。

圖5

（三）延學(xué)手賬讓學(xué)生學(xué)得有趣味

為了激發(fā)學(xué)生的探究興趣，拓寬學(xué)生的學(xué)習(xí)視野，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)眼光和用數(shù)學(xué)解決問題的意識(shí)，教師還可將數(shù)學(xué)手賬延伸到課堂之外，全面拓寬學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的廣度和深度。

如一年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)“找規(guī)律”以后，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過舉例、驗(yàn)證的方式對(duì)“開關(guān)問題”進(jìn)行探究，進(jìn)而得到結(jié)論，并且最終發(fā)現(xiàn)有關(guān)奇偶數(shù)計(jì)算的規(guī)律。一學(xué)生借助列表法有序地將自己是如何進(jìn)行歸納推理的過程描繪了出來（見圖6）。從“調(diào)皮的單數(shù)、雙數(shù)”這一主題，我們也可以看出該學(xué)生在解決這個(gè)問題的過程中心中肯定充滿了期待和探究的興趣以及得出結(jié)論時(shí)的那種喜悅感。

圖6

又如學(xué)習(xí)四年級(jí)“三角形內(nèi)角和”之后，有學(xué)生自發(fā)探究了“圖形內(nèi)角和的秘密”。該學(xué)生在三角形內(nèi)角和的基礎(chǔ)上利用分割法依次研究了四邊形、五邊形和六邊形的內(nèi)角和，最后通過數(shù)學(xué)推理明確了n邊形的內(nèi)角和的求解方法為“180×（n-2）”。他完整地將“我的問題、我的實(shí)踐、我的反思”記錄成了一頁手賬（見圖7）。他坦言：“數(shù)學(xué)中解決問題的方法可能有很多，但我們要尋找更快捷、更簡便的方法?！笨梢姡粌H感受到了數(shù)學(xué)公式的簡潔美，還體會(huì)到了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真正樂趣，也享受到了解決問題帶來的成功感和自信心。

圖7

總之，根據(jù)教學(xué)的需要合理選擇數(shù)學(xué)手賬的類型，能有效地促進(jìn)學(xué)生內(nèi)化知識(shí)，掌握技能，使他們學(xué)得有方向、有質(zhì)量、有趣味、有活力。