常見行列式解法探析

張夢琇* 許梅蘭

（[1]石河子大學(xué)理學(xué)院 新疆·石河子 832000；[2]烏魯木齊市第八十七中 新疆·烏魯木齊 830000）

0 前言

行列式是線性代數(shù)研究方程組的工具。求解行列式的值是解決方程組解的關(guān)鍵，在研究低階行列式時，常用行列式的性質(zhì)與展開式定理求解行列式的值；對于高階的行列式，往往觀察行列式的特點(diǎn)，根據(jù)該行列式的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，才是解決高階行列式的關(guān)鍵。本文主要研究對于同一道行列式的習(xí)題，采用不同的方法求解行列式，并總結(jié)不同方法的優(yōu)劣性。

1 習(xí)題解答

1.1 三階行列式

分析：觀察這個三階行列式，會發(fā)現(xiàn)該行列式主對角線的元素均為，其余元素全為1，根據(jù)這個三階行列式的特點(diǎn)，下面從加邊法、拆分法、利用性質(zhì)化簡以及利用方陣特征值求解行列式的值。

解：

（1）加邊法：

加邊法的本質(zhì)是逆用展開式定理，增加一行、一列元素使得前后兩個行列式的值相等，利用行列式的性質(zhì)將行列式化簡成上三角行列式。其優(yōu)點(diǎn)為：增加一行、一列元素，使得行列式的化簡變得簡單。

（2）拆分法：

拆分法主要是利用行列式的性質(zhì)，行列式的某一行（或某一列）均是兩個元素的和，這個行列式可以展開成兩個行列式的和。根據(jù)行列式的特點(diǎn)，將行列式一分為二。其優(yōu)點(diǎn)為：將復(fù)雜的行列式的求解過程，利用性質(zhì)轉(zhuǎn)成兩個較簡單的行列式的求解過程。

（3）利用性質(zhì)進(jìn)行化簡：

利用行列式的性質(zhì)化簡行列式，主要是將行列式化成含0較多的等值行列式。這種方法適用于所有的三階行列式的求解過程。

（4）利用矩陣的特征值求行列式的值：

利用方陣與行列式的關(guān)系，通過研究方陣的特征值，求解對應(yīng)行列式的值。

1.2 n階行列式

分析：觀察這個n階行列式，會發(fā)現(xiàn)該行列式主對角線的元素均為，其余元素全為1，根據(jù)這個n階行列式的特點(diǎn)，下面從數(shù)學(xué)歸納法、加邊法、拆分法以及特征值求解行列式的值，例題2的本質(zhì)是例題1的有限推廣。

（1）數(shù)學(xué)歸納法：

①當(dāng)n=1時，

②當(dāng)n=2時，

③假設(shè)當(dāng)n=k時，

所以，

當(dāng)n=k+1時，

所以，對于任意階行列式D，都有上式成立。

數(shù)學(xué)歸納法一般是用在行列式值的形式與行列式的階數(shù)有關(guān)的習(xí)題上。對于階數(shù)別較低的行列式一般我們不采用數(shù)學(xué)歸納法。

（2）加邊法：

（3）拆分法：

（4）利用方陣的特征值求解行列式的值：

2 結(jié)論

比較這兩道例題可以發(fā)現(xiàn)，隨著行列式階數(shù)的增加，拆分法、加邊法以及方陣的特征值的方法具有普遍性，但比較發(fā)現(xiàn)拆分法、加邊法以及方陣的特征值方法隨著行列式的階數(shù)增加，這三種方法的計算量會增大；而利用性質(zhì)將行列式化簡成上三角行列式不適用于高階行列式求值問題；數(shù)學(xué)歸納法適用具有相同結(jié)構(gòu)的行列式上。因此在求解行列式的值時，要先觀察行列式的特點(diǎn)，根據(jù)行列式的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ā?/p>