基于四元數(shù)傅里葉變換的Hartley變換的不確定性原理

王嵐，付應(yīng)雄

(湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院, 湖北 武漢 430062)

Hartley變換是1942年美國學(xué)者Hartley提出的一種把實(shí)值函數(shù)轉(zhuǎn)換為實(shí)值函數(shù)的積分變換, 它的正變換與反變換的計(jì)算是完全對(duì)稱的[1].文獻(xiàn)[2]中Bracewell指出Hartley變換比傅里葉變換快2至4倍,在計(jì)算過程中可以極大提高運(yùn)算速度和效率.近年來,Hartley變換引起了廣大學(xué)者的關(guān)注,并且在光學(xué)、地球物理學(xué)與密碼學(xué)等方面取得了大量的研究成果[3-7].Hartley變換與傅里葉變換同屬于正弦型的正交變換,兩者之間存在著相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系[8].四元數(shù)傅里葉變換是經(jīng)典傅里葉變換在高維空間上的推廣,它可以將一個(gè)二維信號(hào)轉(zhuǎn)換成四元數(shù)值的頻域信號(hào),近些年來成為信號(hào)處理的有力工具[9-14].

不確定性原理最初是由德國物理學(xué)家海森伯格于1927年提出[15].該原理指出一個(gè)信號(hào)不可能在時(shí)域及頻域同時(shí)有限,也就是信號(hào)的時(shí)域和頻域的分辨率不可能同時(shí)取得確定的值.因此,利用海森伯格不確定原理可以很好地分析信號(hào)在時(shí)域、頻域分辨率的大小關(guān)系.目前,經(jīng)典傅里葉變換及四元數(shù)傅里葉變換的不確定性原理已經(jīng)得到解決[15-17].然而,Hartley變換的不確定性原理卻少見相關(guān)結(jié)論.本研究建立四元數(shù)傅里葉變換與Hartley變換之間的關(guān)系,進(jìn)而給出了Hartley變換的不確定性原理.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 Hartley變換對(duì)一維函數(shù)f(x)∈L2(R),其Hartley變換及其逆變換分別定義為

其中cas(2πux)=cos(2πux)+sin(2πux).

對(duì)于二維Hartley變換的定義,存在兩種不同的形式,根據(jù)Bracewell的建議[18],本文中采用標(biāo)準(zhǔn)形式的二維Hartley變換.對(duì)二維函數(shù)f(x1,x2)∈L2(R2;R),其Hartley變換及其逆變換分別定義為

(1)

其中

cas[2π(u1x1+u2x2)]=cos2π(u1x1+u2x2)+sin2π(u1x1+u2x2),

x=(x1,x2),d2x=dx1dx2,u=(u1,u2),d2u=du1du2.

可以看出,Hartley變換及其逆變換具有完全相同的形式,構(gòu)成了嚴(yán)格對(duì)稱的變換,并且Hartley變換在實(shí)數(shù)域空間中進(jìn)行.此外,Hartley變換具有傅里葉變換的大部分特征,其性質(zhì)也與傅里葉變換相似.它的一些性質(zhì),如線性性、時(shí)間展縮性,與傅里葉變換是相同的,其他的一些性質(zhì)也很相似.由于Hartley變換是一種把實(shí)值函數(shù)轉(zhuǎn)換為實(shí)值函數(shù)的積分變換,所以實(shí)數(shù)性是Hartley變換最為顯著的優(yōu)點(diǎn)[19].并且Hartley變換滿足Parseval定理,即

(2)

可以將(1)式表示為

把Hf(u)寫作奇部eo(u),oe(u)和偶部ee(u),oo(u)相加減，則可得：

Hf(u)=ee(u)-oo(u)+oe(u)+eo(u)

(3)

其中

(4)

(5)

(6)

(7)

1.2 四元數(shù)四元數(shù)[20]于1843年由W.R.Hamilton提出,并以H表示，是一種將復(fù)數(shù)推廣到四維空間的代數(shù)

H={q=q0+iq1+jq2+kq3|q0,q1,q2,q3∈R},

其中i,j,k滿足

i2=j2=k2,ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j.

由于四元數(shù)具有非交換性,所以不能直接將復(fù)數(shù)域上的各種結(jié)果推廣到四元數(shù). 四元數(shù)q可以表示成標(biāo)量q0(實(shí)部)和矢量q(通常也叫純四元數(shù))和的形式

q=q0+q=q0+iq1+jq2+kq3

(8)

其中標(biāo)量部分也表示為Sc(q)=q0.特別地,當(dāng)q2,q3=0時(shí),(8)式表示的四元數(shù)是復(fù)數(shù),這 時(shí)q=q0+iq1∈C.當(dāng)q1,q2,q3=0時(shí),(8)式表示的四元數(shù)是實(shí)數(shù),這時(shí)q=q0∈R.故四元數(shù)是實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的擴(kuò)充.

四元數(shù)q的共軸為q=q0-q=q0-iq1-jq2-kq3.q的模為

對(duì)任意的四元數(shù)q1,q2,有如下不等式成立

|q1+q2|<|q1|+|q2|

(9)

進(jìn)而有

(10)

四元數(shù)值的函數(shù)f:R2→H可以表示為

f(x)=f0(x)+if1(x)+jf2(x)+kf3(x),f0,f1,f2,f3∈R,x=(x1,x2)∈R2.

定義線性賦范空間

L2(R2;H)={f:R2→H,‖f‖2<∞},

其中函數(shù)f的范數(shù)定義為

1.3 四元數(shù)傅里葉變換結(jié)合經(jīng)典的傅立葉變換,學(xué)者們提出了四元數(shù)傅立葉變換[21-22].四元數(shù)乘法的非交換性導(dǎo)致四元數(shù)傅里葉變換具有3種不同的定義方式,即右邊四元數(shù)傅里葉變換、雙邊四元數(shù)傅里葉變換以及左邊四元數(shù)傅里葉變換.本文中僅涉及到右邊四元數(shù)傅里葉變換,下面給出右邊四元數(shù)傅里葉變換的定義.

對(duì)二維函數(shù)f(x1,x2)∈L2(R2;H),其四元數(shù)傅里葉變換及其逆變換分別定義為

(11)

文獻(xiàn)[16]中給出了四元數(shù)傅里葉變換的一些性質(zhì),下面給出四元數(shù)傅里葉變換關(guān)于變量xk的偏導(dǎo)性,

引理1當(dāng)i=1,2時(shí),對(duì)于f(x)∈L2(R2;H),有如下等式成立

經(jīng)典的Hartley變換具有實(shí)數(shù)性,故下文中取函數(shù)f(x)∈L2(R2；R)∈L2(R2;H).

引理2Hartley變換如(1)式所定義四元數(shù)傅里葉變換如(11)式所定義則對(duì)任意的f(x)∈L2(R2;R),四元數(shù)傅里葉變換Fqf與Hartley變換Hf之間存在如下關(guān)系

(12)

引理2的證明利用Euler公式,我們可以重寫(11)式如下：

則四元數(shù)傅里葉變換Fqf可寫作奇部eo(u)、oe(u)和偶部ee(u)、oo(u)相加減

Fqf(u1,u2)=ee(u)-ioe(u)-jeo(u)+koo(u)

(13)

其中,奇部eo(u)、oe(u)如(5)、(6)式所定義,偶部ee(u)、oo(u)如(4)、(7)式所定義,

相應(yīng)地有

Fqf(-u1,-u2)=ee(u)+ioe(u)+jeo(u)+koo(u)

(14)

Fqf(-u1,u2)=ee(u)+ioe(u)-jeo(u)-koo(u)

(15)

Fqf(u1,-u2)=ee(u)-ioe(u)+jeo(u)-koo(u)

(16)

結(jié)合(13)～(16)式可得

Fqf(u1,u2)+Fqf(-u1,u2)+Fqf(-u1,-u2)+Fqf(u1,-u2)=4ee(u)，

Fqf(u1,u2)-Fqf(-u1,u2)+Fqf(-u1,-u2)-Fqf(u1,-u2)=4koo(u)，

Fqf(u1,u2)+Fqf(u1,-u2)-Fqf(-u1,-u2)-Fqf(-u1,u2)=-4ioe(u)，

Fqf(u1,u2)-Fqf(-u1,-u2)+Fqf(-u1,u2)-Fqf(u1,-u2)=-4jeo(u),

從而,由(3)式可知結(jié)論成立.

2 不確定性原理

不確定性原理是信號(hào)處理領(lǐng)域中重要的原理之一[15],它說明任何信號(hào)在時(shí)間域與頻率域不可能同時(shí)是有限支撐的,也就是說較窄時(shí)間波形產(chǎn)生較寬頻譜,而較寬的時(shí)間波形產(chǎn)生較窄的頻譜, 時(shí)間波形的寬度和頻譜寬度不可能同時(shí)任意小.下面首先給出函數(shù)f(x)在時(shí)間域和頻率域上的支撐的定義.

定義1當(dāng)i=1,2時(shí),對(duì)任意的變換T,f(x),xif(x)∈L2(R2；R),Tf(u),uiTf(u)∈L2(R2;R),f(x)在時(shí)間域上的支撐Δxi定義為

其中

同樣地,我們定義f(x)在頻率域上的支撐為

其中

下面給出關(guān)于實(shí)函數(shù)f(x),g(u)的施瓦茨不等式：

引理3[23]設(shè)f(x),g(u)在L2(R2;R)上可積,則

利用上述引理1～3,進(jìn)一步討論Hartley變換的不確定性原理.

定理1若定義1中變換T取如(1)式所定義的Hartley變換Hf,且滿足‖f‖2=1時(shí),有如下不等式關(guān)系成立

(17)

進(jìn)一步有

定理1的證明(12)式可整理為

則

同理可得到Hf(-u1,u),Hf(u1,-u2),且由(12)式計(jì)算可得

|Hf(u1,u2)|=|Hf(-u1,-u2)|=|Hf(-u1,u2)|=|Hf(u1,-u2)|

(18)

利用引理2,經(jīng)計(jì)算可得

由(10)、(18)式及Hf的實(shí)數(shù)性,經(jīng)計(jì)算可得

|Hf(u1,u2)|2+|Hf(-u1,-u2)|2+|Hf(-u1,u2)|2+|Hf(u1,-u2)|2=

4|Hf(u1,u2)|2

從而,利用引理1、引理3以及(2)式,有如下不等式成立

其中l(wèi)∈{1,2},l≠i.(17)式得到證明.

進(jìn)而可得