以形助數(shù) 以數(shù)解形

?董苗紅

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能。”數(shù)學(xué)思想有許多，數(shù)形結(jié)合思想就是其中一種重要的思想。數(shù)形結(jié)合就是通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化、相輔相成來解決數(shù)學(xué)問題的一種思想方法。它既是一個重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法。在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合的思想，可把抽象的數(shù)學(xué)概念直觀化，幫助學(xué)生形成概念;可使計(jì)算中的算式形象化，幫助學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法;可將復(fù)雜問題簡單化，在解決問題的過程中，提高學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非?！薄皵?shù)”與“形”反映了事物兩個方面的屬性。數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化。本人談?wù)勗诮虒W(xué)中的點(diǎn)滴體會：

一、概念教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合

建構(gòu)主義認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)活動的本質(zhì)是：學(xué)習(xí)并非對于教師所授予的知識的被動接受，而是學(xué)習(xí)者以自身已有的知識和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動建構(gòu)過程。數(shù)學(xué)意義所指的“意義”是人們一致公認(rèn)的事物的性質(zhì)、規(guī)律以及事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，是比較抽象的概念。而“數(shù)形結(jié)合”能使比較抽象的概念轉(zhuǎn)化為清晰、具體的事物，學(xué)生容易掌握和理解。

例如：二年級上冊《乘法的初步認(rèn)識》中通過游樂場主題圖來引入乘法，為了讓學(xué)生理解乘法的意義，教材提供了大量同數(shù)連加的現(xiàn)實(shí)情境，如坐小飛機(jī)、小火車和過山車的同學(xué)，每束個數(shù)相同的氣球，每串?dāng)?shù)量相同的鑰匙以及每份數(shù)量相同的胡蘿卜、香蕉等等，為學(xué)生提供豐富而生動的直觀圖像，然后讓學(xué)生對照圖形寫同數(shù)連加算式，再引導(dǎo)學(xué)生用 “幾個幾”的方式來表達(dá)同數(shù)連加的具體情境，最后將同數(shù)連加的算式改寫成乘法算式。通過具體情境的圖形與乘法算式的結(jié)合，使學(xué)生不僅理解了乘法的意義，而且懂得了乘法是同數(shù)相加的簡便運(yùn)算。

從學(xué)生的思維活動過程來看：在這個學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生經(jīng)歷了由具體到抽象的思維過程，也就是由直觀的同數(shù)連加的具體情境圖，抽象成連加算式，再抽象成乘法算式，經(jīng)歷了由一般到特殊的思維過程。

二、計(jì)算教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合

小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中，有相當(dāng)部分的內(nèi)容是計(jì)算問題，計(jì)算教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生理解算理。算理就是計(jì)算方法的道理，學(xué)生不明白道理又怎么能更好的掌握計(jì)算方法？在教學(xué)時，教師應(yīng)以清晰的理論指導(dǎo)學(xué)生理解算理，在理解算理的基礎(chǔ)上掌握計(jì)算方法，正所謂“知其然，知其所以然。數(shù)形結(jié)合，是幫助學(xué)生正確理解算理的一種很好的方式。如，在教學(xué)“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”時，出示例題：李伯伯家有一塊 公頃的地。種土豆的面積占這塊地的 ，種土豆的面積是多少公頃？要理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理，其根本在于對分?jǐn)?shù)意義的理解。讓學(xué)生先明確 公頃就是1公頃的 ，求種土豆的面積就是求 公頃的 ，是以 公頃為單位“1”，把它平均分成5份，取其中的1份?？梢宰寣W(xué)生畫畫圖，用圖示幫助理解算理。

把算式形象化，學(xué)生看到算式就聯(lián)想到圖形，看到圖形能聯(lián)想到算式，更加有效地理解了分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理。

以上的例子就是將抽象數(shù)學(xué)語言與直觀圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來，通過“數(shù)”與“形”之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)換來理解算式的意義。

三、解決問題教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合

小學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)的過程中，往往會單維度地思考問題，這其實(shí)就是受他們空間想象能力制約的影響。兒童在觀察的過程中，只觀察到事物的表面現(xiàn)象，卻不能透過現(xiàn)象，找出事物的本質(zhì)。教師應(yīng)指導(dǎo)他們逐漸懂得看問題應(yīng)該從什么角度看，找出問題內(nèi)在的規(guī)律，逐步形成由淺入深，利用數(shù)形結(jié)合的思想，將復(fù)雜問題簡單化。

有些數(shù)學(xué)問題對于學(xué)生而言比較復(fù)雜的原因并非解答過程比較繁瑣，而是沒有方法。因此，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，要尋求一些技巧和捷徑，運(yùn)用幾何直觀也不失為一種上策。如：人教版一上P79例題6，小麗排第10，小宇排第15，小麗和小宇之間有幾人？對于一年級的孩子，他們還沒有什么解題經(jīng)驗(yàn)，他們?nèi)菀讘{直覺直接運(yùn)用這兩數(shù)計(jì)算：15-10=5（人），個別學(xué)生扳起手指逐一數(shù)出之間應(yīng)有4人。這時教師可引導(dǎo)學(xué)生畫一畫，如圖所示，

更加直觀的把題目呈現(xiàn)出來，同時也看出了結(jié)果。啟迪孩子的思維，讓孩子直觀感受人數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系，讓孩子明白有些題目通過畫圖可以畫出答案，畫圖能幫助解決問題。在以上的解決問題的過程中，滲透了數(shù)形結(jié)合的思想。

四、運(yùn)算定律的教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合

兒童的認(rèn)識規(guī)律，一般來說是從直接感知到表象，再到形成科學(xué)概念的過程。表象介于感知和形成科學(xué)概念之間，抓住這中間環(huán)節(jié)，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)初步的邏輯思維能力，具有十分重要意義。例如在學(xué)生學(xué)習(xí)了乘法分配律后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用圖形的面積計(jì)算來解釋乘法分配律：（a+b）×c=ac+bc。

數(shù)形一結(jié)合，學(xué)生恍然大悟：大長方形的面積是長（a+b）乘寬（c），即（a+b）×c;大長方形的面積也可以看作兩個小長方形的面積之和，即ac+bc。由此可以得出：（a+b）×c=ac+bc。

從這里不難看出：“數(shù)”、“形”互譯的過程，也是學(xué)生的形象思維與抽象思維協(xié)同運(yùn)用、互相促進(jìn)、共同發(fā)展的過程。由于抽象思維有形象思維作支持，從而使運(yùn)算定律變得形象生動。

綜上所述，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生懂得“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想方法后，對于小學(xué)數(shù)學(xué)知識的理解性記憶是非常有益的。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，通過數(shù)與形的結(jié)合，能夠有的放矢地幫助學(xué)生多角度、多層次地思考問題，可以養(yǎng)成多向性思維的好習(xí)慣。因此，教學(xué)中要對學(xué)生加強(qiáng)滲透“數(shù)形結(jié)合”思想，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的意識。