基于統(tǒng)計回歸方法對線性代數(shù)課后作業(yè)量與成績關系探討

鄭凱璐

摘?要：該文提出了一種基于統(tǒng)計回歸方法研究課后作業(yè)量的影響因素以及如何幫助老師更加合理的布置課后作業(yè)的方案，找出其影響課后作業(yè)量的因素，對其建立線性回歸模型，對于各種無法量化的定性的因素，采用了定性變量的數(shù)量化方法進行分析，通過軟件進行擬合優(yōu)度檢驗、方程的顯著性檢驗（F-檢驗）、變量的顯著性檢驗（t-檢驗）、逐步回歸分析、拉格朗日檢驗、異方差檢驗等后，選取與被解釋變量有關的因素，加以統(tǒng)計分析得出最后結果。

關鍵詞：作業(yè)量;學生掌握程度;回歸分析;定性變量的量化;最優(yōu)解

一、具體問題及分析

線性代數(shù)課程作業(yè)量的影響因素有很多，如：老師授課的多少，學生的課余時間，其余課程的作業(yè)量等，我們需找出作業(yè)量與影響因素之間的關系。因為影響因素較多，我們決定采用回歸分析的方法進行研究，這就需要大量數(shù)據(jù)，我們決定通過向學生進行問卷調(diào)查的形式采取抽樣調(diào)查的方法獲取數(shù)據(jù)。其中，作業(yè)量通過學生完成作業(yè)時間來衡量，若以題數(shù)衡量，由于每題的難易程度不同，難以標準化。在獲取數(shù)據(jù)后利用 EViews 系統(tǒng)軟件對所取得數(shù)據(jù)結果進行分析，并采用擬合優(yōu)度檢驗、方程的顯著性檢驗（F-檢驗）、變量的顯著性檢驗（t-檢驗）、逐步回歸分析、拉格朗日檢驗、異方差檢驗，用以評判所取因素對課后作業(yè)量的差異性，從而判斷結果的可信性。

二、模型的假設

1.t-檢驗

t-檢驗是用 t 分布理論來預測差異發(fā)生的概率，從而得出變量因素是否顯著。

當總體分布是正態(tài)分布，那么樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的離差統(tǒng)計量呈 t 分布。檢驗統(tǒng)計量為：其中，t 為樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的離差統(tǒng)計量，為樣本平均數(shù)，μ為總體平均數(shù)，為樣本標準差，n 為樣本容量。

2.White 檢驗思想

在異方差形式未知的情況下，假設當模型中包括了 3 個自變量，形如：

其中為方程 的殘差值，此時 White 檢驗就是上述回歸的整體顯著性的 F 檢驗，如果此時 F 檢驗顯著，那么就存在異方差，反之則不存在異方差。但是當自變量增多的時候，上述回歸中的自變量將呈現(xiàn)出幾何級增加，因此將大量損失自由度。因此存在的一個改進為，作回歸：

此時采用 F 檢驗來檢驗的原假設即可。

三、模型的建立與求解

我們考慮影響線性代數(shù)課程的因素，因而我們根據(jù)實際學習狀況，從學生、教師的角度客觀的考察影響因素，并對所收集到的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，從而確定影響作業(yè)量的因素。從實際學習生活中，我們知道對課后作業(yè)量的布置影響主要來自學生和教師兩個方面，在滿足假設前提的基礎上，得出聽講程度、學生接受程度、教師授課水平、作業(yè)難易度、作業(yè)題目數(shù)量、其余課程的數(shù)量、其余作業(yè)所需時間的影響因素。將作業(yè)量看成被解釋變量，以上其中因素看成解釋變量，對所建立方程進行回歸分析。

通過分析可以得出學生聽課程度、教師授課水平和其余作業(yè)所需時間和作業(yè)量成正比例關系，作業(yè)難易度與作業(yè)量成反比例關系，這就要求教師在實際授課過程中考慮學生的聽課程度，對于學生認真聽課的情況要給予適當多的作業(yè)量，從而達到復習鞏固更好掌握知識;授課水平較高的教師因為能給出較高的教學質(zhì)量，因此可能會多布置作業(yè);回歸結果顯示的其余作業(yè)所需時間與作業(yè)量成正比例關系是超出一般理解的，因此這就建議教師了解學生所有課程的作業(yè)時間，通過合理安排線性代數(shù)作業(yè)的時間來達到讓學生學習達到最大效益。

四、結論檢驗

影響作業(yè)量的因素有學生聽課程度、教師授課水平、作業(yè)難易度、其余作業(yè)所需時間。結合實際可以得出學生聽課程度、教師授課水平和其余作業(yè)所需時間和作業(yè)量成正比例關系，作業(yè)難易度與作業(yè)量成反比例關系。檢驗過程中采用了逐步回歸分析，逐步回歸分析發(fā)現(xiàn)方程擬合優(yōu)度不高并且存在異方差，因此采用WHITE檢驗異方差，用WLS（最小二乘法）對方程修正異方差，在使用1/resid的權重后發(fā)結果沒有很理想，因此采用1/resid^2的權重，得出可決系數(shù)為0.999952，并且方程能通過t-檢驗、F-檢驗、擬合優(yōu)度檢驗，模型建立合理。當老師每節(jié)課布置 1 小時的作業(yè)量時，學生掌握程度可達到最大為 6.36，即掌握程度為 63.6%。

五、模型的評價與推廣

1.模型的優(yōu)點

（1）用經(jīng)濟學問題類比所需解決的問題，將學生對知識的掌握程度類比成經(jīng)濟學中的收益，通過對各種因素的考察、分析得出模型所需要的變量（2）模型中對難以量化的變量采用了性變量的數(shù)量化方法進行分析，從而將變量數(shù)據(jù)化方便統(tǒng)計分析;（3）統(tǒng)計分析、回歸分析等方法成熟，計算可靠，結果直觀可信;

2.模型的缺點

（1）樣本數(shù)據(jù)有限，代表性不強;（2）假設條件較為理想，實際難以達到這樣的理想水平;（3）各量化指標對學生掌握程度的影響使得非線性因素增加，導致問題變復雜，產(chǎn)生誤差;（4）模型處理時雖然形式簡單，便于計算，而且也選取了真實可靠的數(shù)據(jù)，但是學生學習問題并不具有普遍性，此模型得出的結論只能反映學生對知識掌握程度與作業(yè)量的大致關系。

3.優(yōu)化

在模型的優(yōu)化與處理軟件選擇部分，如果有更加充足的數(shù)據(jù)，可以通過使用 Matlab、SPSS 軟件對作業(yè)量情況進行進一步線性回歸分析，而不是像本文中對于模型的結論與求解大多是通過對于簡單經(jīng)濟學軟件 EViews 分析得來。

參考文獻

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