基于歐拉梁的管路吸振器振動(dòng)特性研究

姚伍平，彭 旭，唐文兵，張針粒，魯民月

(武漢第二船舶設(shè)計(jì)研究所，湖北 武漢， 430064)

0 引 言

在艦船上，由于轉(zhuǎn)子不平衡等原因，泵類旋轉(zhuǎn)機(jī)械存在軸頻、葉頻等十分突出的低頻振動(dòng)線譜，通過(guò)基座、管路等通道向外傳遞[1?2]。動(dòng)力吸振器（DVA）是被動(dòng)控制振動(dòng)線譜的有效手段，已經(jīng)在汽車、船舶、建筑等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。在設(shè)計(jì)和應(yīng)用動(dòng)力吸振器時(shí)，往往將控制對(duì)象簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)或多自由度系統(tǒng)，根據(jù)等效質(zhì)量和剛度來(lái)確定吸振頻率。艦船管路系統(tǒng)跨徑比大、自身固有頻率低、邊界條件復(fù)雜，對(duì)吸振頻率和控制效果有較大影響，在開展管路系統(tǒng)吸振設(shè)計(jì)時(shí)，管路已不適合簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)或多自由度系統(tǒng)。因此，有必要針對(duì)艦船管路系統(tǒng)的特點(diǎn)，開展管路吸振器的振動(dòng)特性研究。

吳崇建等[3]用彎曲波法建立了多點(diǎn)支撐歐拉梁的運(yùn)動(dòng)方程，研究了用動(dòng)力吸振器抑制梁共振的特性。Park等[4]建立了懸臂梁上集中質(zhì)量塊的頻率方程，與前人的研究成果吻合較好。尹志勇[5]等根據(jù)梁的能量傳遞理論設(shè)計(jì)了三向管路動(dòng)力吸振器，并在試驗(yàn)臺(tái)架上驗(yàn)證了控制效果。梁建等[6]以附加阻尼吸振器的固支梁作為分析模型，定性研究阻尼吸振器對(duì)電路板共振響應(yīng)的抑制作用，分析了等效質(zhì)量比、固有頻率比和損失因子等對(duì)吸振器控制效果的影響規(guī)律。劉天彥等[7]針對(duì)管路系統(tǒng)設(shè)計(jì)了動(dòng)力吸振器，并通過(guò)臺(tái)架試驗(yàn)驗(yàn)證了吸振器對(duì)特征頻率的抑制效果。雖然上述學(xué)者針對(duì)管路吸振器已開展了一些理論和試驗(yàn)研究，但是在建模、設(shè)計(jì)時(shí)均未考慮支撐剛度、激勵(lì)及吸振器的相對(duì)位置等因素對(duì)吸振效果的影響。艦船上空間有限，管路支撐方式多樣，研究如何在復(fù)雜環(huán)境中合理布置管路吸振器，提升控制效果，具有重要的工程意義。

本文以歐拉梁振動(dòng)理論為基礎(chǔ)，建立任意橫向激勵(lì)下，不同邊界下管路—吸振器系統(tǒng)的橫向振動(dòng)模型，用有限元方法驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，研究了吸振器安裝部位、控制對(duì)象和支撐剛度等對(duì)控制效果的影響規(guī)律。

1 管路吸振器系統(tǒng)振動(dòng)模型

1.1 管路—吸振器系統(tǒng)振動(dòng)模型

在兩端彈性支撐的管路上加裝管路吸振器，當(dāng)管路長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于管徑時(shí)，管路可簡(jiǎn)化為歐拉-伯努利梁，吸振器可簡(jiǎn)化為質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)。在任意橫向激勵(lì)作用下，管路—吸振器的振動(dòng)模型如圖1所示。

圖1 管路—吸振器振動(dòng)模型Fig. 1 Pipe-DVA vibration model

管路—吸振器的彎曲運(yùn)動(dòng)方程如下：

根據(jù)振動(dòng)理論[8]，梁的撓度可用振型函數(shù)和廣義坐標(biāo)表示:

將式（4）代入式（1），然后代入式（5），可得：

式中，右邊第1項(xiàng)為激勵(lì)源，第2項(xiàng)為彈簧質(zhì)量系統(tǒng)作用在梁上的力。兩邊分別乘以，在[0，L]上積分，利用振型函數(shù)的正交性和歸一性，可得：

對(duì)式（7）進(jìn)行傅里葉變換，可得：

即

與此同時(shí)，對(duì)式（2）～式（4）進(jìn)行傅里葉變換，可得：

其中：

1.2 彈性支撐邊界下歐拉梁的振動(dòng)方程

方程（5）解的形式為：

式（14）～式（17）若有非零解，則系數(shù)的行列式應(yīng)為0。經(jīng)過(guò)計(jì)算，可得：

式（18）即為管路兩端均在彈性支撐狀態(tài)下，梁的振動(dòng)頻率方程。其中，分別為管路兩端支撐的彈性影響因素。

2 計(jì)算模型數(shù)值驗(yàn)證

選取一種艦船常用的管路，用有限元方法驗(yàn)證本文提出計(jì)算方法的準(zhǔn)確性。管路規(guī)格為外徑D=57 mm，內(nèi)徑d=50 mm，長(zhǎng)度L=2 000 mm，材料為鋼材，彈性模量為2.1E11Pa，密度為7 850 kg/m3，泊松比為0.3。用有限元軟件和本文提出的模型，分別計(jì)算管路兩端分別為剛性支撐、自由和彈性支撐時(shí)，管路的前4階固有頻率和振型圖。在有限元建模時(shí)，管路采用的beam4單元，用combin14模擬彈性支撐邊界條件。3種邊界條件下，管路的固有頻率計(jì)算結(jié)果如表1所示。

由表1可知，在剛性支撐、自由和彈性支撐等3種邊界條件下，本模型計(jì)算得到的前4階固有頻率計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果差別在1.6%以內(nèi)。

表1 三種不同邊界條件下固有頻率計(jì)算結(jié)果對(duì)比Tab. 1 Comparison of characteristic frequency under 3 boundary conditions

管路兩端分別為剛性支撐、自由和彈性支撐時(shí)，用有限元和本文提出的模型計(jì)算得到的管路前4階振型圖分別如圖2～圖4所示。

可以看出，在3種邊界條件下，本文計(jì)算得到的管路振型圖與有限元計(jì)算結(jié)果基本一致。綜合固有頻率和振型圖的計(jì)算結(jié)果來(lái)看，本文提出計(jì)算模型的準(zhǔn)確性得到了驗(yàn)證。

3 管路吸振器控制效果分析

3.1 管路吸振器參數(shù)設(shè)計(jì)

根據(jù)上一節(jié)計(jì)算結(jié)果，可知在上述剛性和彈性支撐邊界下，管路的一階固有頻率分別為為38 Hz和35 Hz，由此可以確定管路吸振器的特征頻率。按照設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，吸振器與管路的質(zhì)量比初步取為0.02，吸振器的剛度根據(jù)吸振頻率及自身質(zhì)量可確定。圖6為在管路兩端剛性支撐和彈性支撐的邊界條件下，在管路中間x/L=0.5處加裝動(dòng)力吸振器前后，在安裝部位施加單位激勵(lì)后管路的振動(dòng)響應(yīng)曲線。

可以看出，在2種邊界條件下，針對(duì)特定模態(tài)在管路加裝動(dòng)力吸振器后，在單位激勵(lì)下，該階線譜的振動(dòng)響應(yīng)得到明顯抑制，而其他頻段基本不受影響。在共振頻率處，不僅在安裝部位，管路整體的振動(dòng)都得到了有效控制。

3.2 吸振器控制效果影響因素分析

a）吸振器與激勵(lì)力位置關(guān)系

圖2 剛性支撐條件下管路振型圖Fig. 2 Pipe model shape under rigid support

圖3 自由狀態(tài)下管路振型圖Fig. 3 Pipe model shape under free boundary

圖4 彈性支撐條件下管路振型圖Fig. 4 Pipe model shape under elastic support

艦船上空間緊張，管路支撐和吸振器的安裝位置都受到一定約束。因此，合理選擇管路吸振器和激勵(lì)力的布置位置，對(duì)于提高控制效果具有重要意義。圖7為管路吸振器的控制頻率為管路的1階固有頻率（35 Hz），管路分別在剛性和彈性支撐狀態(tài)下，受單位激勵(lì)作用管路的振動(dòng)響應(yīng)。

由圖7可以看出，針對(duì)特定管路模態(tài)，不論管路兩端為剛性還是彈性支撐，激勵(lì)力及吸振器的位置均對(duì)管路的振動(dòng)響應(yīng)有重要影響。針對(duì)控制頻率，激勵(lì)越靠近振動(dòng)模態(tài)的位移極值點(diǎn)，管路整體的振動(dòng)越大；吸振器布置越靠近振動(dòng)模態(tài)的位移極值點(diǎn)，管路整體的控制效果越好；如果管路兩端為剛性支撐邊界，不論吸振器及激勵(lì)的位置如何變化，總有較好的控制效果；若管路兩端為彈性支撐，如果激勵(lì)的位置不在位移極值點(diǎn)，那么吸振器離激勵(lì)位置越遠(yuǎn)，控制效果越差。在圖7（a）中，當(dāng)DVA的位置與激勵(lì)距離△=0.75L時(shí)，加裝吸振器后管路最大位移與加裝前的比值為0.65，加裝DVA對(duì)管路振動(dòng)控制效果較差。

圖5 中間加裝動(dòng)力吸振器前后安裝部位振動(dòng)響應(yīng)對(duì)比（兩端剛性支撐）Fig. 5 Vibration response before and after DVA install(Both ends fixed)

圖6 中間加裝動(dòng)力吸振器前后安裝部位振動(dòng)響應(yīng)對(duì)比（兩端彈性支撐）Fig. 6 Vibration response before and after DVA install(Both ends with elastic support)

b）非共振頻率控制效果

艦船上管路系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)線譜除了來(lái)自于系統(tǒng)自身固有頻率，也包含來(lái)自設(shè)備的軸頻、葉頻等線譜激勵(lì)，后者在很多時(shí)候是管路振動(dòng)響應(yīng)線譜的主要來(lái)源。因此，針對(duì)線譜激勵(lì)的控制具有重要的實(shí)際意義。同樣受限于空間，合理選擇吸振器的布置位置，對(duì)于控制效果也具有重要意義。以艦船上常見的100 Hz振動(dòng)激勵(lì)為對(duì)象，設(shè)計(jì)控制頻率為100 Hz的吸振器。圖8為管路分別在剛性和彈性支撐狀態(tài)下，在100 Hz頻率處，激勵(lì)位置與吸振器位置的變化對(duì)管路振動(dòng)響應(yīng)的影響規(guī)律。

由圖8可以看出，針對(duì)特定激勵(lì)，不論管路兩端為剛性還是彈性支撐，激勵(lì)力及吸振器的位置均對(duì)管路的振動(dòng)響應(yīng)有重要影響。針對(duì)控制頻率，如果吸振器的安裝位置與激勵(lì)的位置重合，那么管路整體的振動(dòng)會(huì)受到良好抑制，如果激勵(lì)和吸振器均處于振動(dòng)模態(tài)的位移極值點(diǎn)，抑振效果更加顯著；如果吸振器的安裝位置與激勵(lì)位置不重合，不論管路兩端是剛性還是彈性支撐，隨著二者之間距離的增大，控制效果越來(lái)越差；當(dāng)吸振器與激勵(lì)的距離大于一定值時(shí)，會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的負(fù)面效果，顯著放大管路的振動(dòng)。在圖8（b）和圖8（e）中，激勵(lì)的位置處于x/L=0.25，若吸振器的位置加在x/L=0.75處，那么加裝DVA后，管路的振動(dòng)反而被放大，加裝吸振器后管路上最大位移幅值與加裝前的比值分別為3.22和4.79。

綜上，在針對(duì)特定模態(tài)頻率和針對(duì)特定激勵(lì)應(yīng)用吸振器時(shí)，管路系統(tǒng)的振動(dòng)特性存在較大差異，后者對(duì)激勵(lì)及吸振器位置更為敏感。因此，以特定激勵(lì)為管路系統(tǒng)振動(dòng)控制對(duì)象時(shí)，吸振器的布置應(yīng)盡量靠近激勵(lì)位置。

3）管路支撐剛度

由管路的頻率方程可知，管路的振動(dòng)特性不僅取決于自身，也取決于管路兩端的支撐剛度。綜合而言，管路支撐的彈性影響因素對(duì)管路的振動(dòng)特性影響最大。圖9為2種規(guī)格管路的1階固有頻率隨彈性影響因素的變化情況。管路規(guī)格分別為D=57 mm，d=50 mm，L=2 000 mm和D=114 mm，d=100 mm，L=3 000 mm。

圖7 激勵(lì)及吸振器位置對(duì)特定模態(tài)控制效果的影響Fig. 7 Influence of DVA position on control effect aimed at specific modal

圖8 激勵(lì)及吸振器位置對(duì)特定激勵(lì)控制效果的影響Fig. 8 Influence of DVA position on control effect aimed at specific excitation

圖9 管路一階固有頻率隨支撐剛度的變化曲線Fig. 9 First characteristic frequency vs support stiffness

4 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)本文的研究工作，可以得出以下結(jié)論：

1）本文提出的一種管路吸振器的振動(dòng)特性計(jì)算方法，在剛性支撐、自由支撐和彈性支撐等不同類型的邊界條件下，管路的前4階固有頻率與有限元計(jì)算結(jié)果偏差在1.6%以內(nèi)，振型的計(jì)算結(jié)果基本一致。

2）針對(duì)特定模態(tài)頻率，如果激勵(lì)的位置不在振動(dòng)極值點(diǎn)，那么吸振器離激勵(lì)位置越遠(yuǎn)，控制效果越差，甚至沒(méi)有控制效果；吸振器及激勵(lì)的位置對(duì)管路剛性支撐條件的影響要小于彈性支撐。針對(duì)特定頻率的激勵(lì)，吸振器與激勵(lì)位置重合時(shí)有良好的控制效果，如果吸振器的安裝位置與激勵(lì)位置不重合，不論管路兩端是剛性還是彈性支撐，那么隨著二者之間距離的增大，控制效果越來(lái)越差，在某些條件下管路振動(dòng)甚至放大超過(guò)3倍。因此，在應(yīng)用管路吸振器時(shí)，應(yīng)區(qū)分控制對(duì)象為特定模態(tài)頻率還是特定激勵(lì)；以特定激勵(lì)為管路系統(tǒng)振動(dòng)控制對(duì)象時(shí)，高度重視吸振器的布置位置，盡力使其靠近激勵(lì)。

3）若彈性影響因素特定區(qū)間內(nèi)，管路1階固有頻率對(duì)支撐剛度十分敏感。當(dāng)大于10時(shí)，管路兩端類似剛性支撐，支撐剛度的增大對(duì)1階固有頻率的影響在10%以內(nèi)；當(dāng)小于0.1時(shí)，管路兩端類似自由狀態(tài)，支撐剛度的減小對(duì)1階固有頻率的影響在1%以內(nèi)。因此，以管路振動(dòng)模態(tài)頻率為控制對(duì)象設(shè)計(jì)吸振器時(shí)，需要重視管路兩端支撐剛度的影響。