一次方程（組）與一元二次方程

2.1 一次方程（組）與一元二次方程

考點(diǎn)，易混易錯(cuò)點(diǎn)解讀：

在中考中，有關(guān)一次方程（組）常見(jiàn)的命題點(diǎn)有：一元一次方程的解法，二元一次方程組的解法，一次方程（組）的實(shí)際應(yīng)用.

等式的性質(zhì)是解方程的依據(jù)，在運(yùn)用等式的性質(zhì)時(shí)，要注意以下兩點(diǎn)：（1）等號(hào)兩邊的運(yùn)算要相同，參與運(yùn)算的數(shù)或式子也要相同，即等號(hào)兩邊要同時(shí)加上（或減去或乘以或除以）相同的數(shù)或式子.（2）等號(hào)兩邊除以一個(gè)式子時(shí)，一定要注意這個(gè)式子是否可以等于0.如果該式子可以等于0，兩邊同時(shí)除以該式子后，所得等式就不一定成立.

在解一元一次方程時(shí)，常見(jiàn)的錯(cuò)誤有：（1）去分母時(shí)，常數(shù)項(xiàng)漏乘各分母的最小公倍數(shù).（2）移項(xiàng)時(shí)，某一項(xiàng)從等號(hào)一邊移到另一邊時(shí)，沒(méi)有變號(hào).（3）對(duì)于含參數(shù)的一元一次方程，將系數(shù)化為1時(shí)，如果未知數(shù)的系數(shù)是一個(gè)式子，沒(méi)有對(duì)該式子能否為0進(jìn)行分類(lèi)討論.

用代人消元法解二元一次方程組時(shí)，首先將其中一個(gè)方程變形，用含一個(gè)未知數(shù)的式子表示另一個(gè)未知數(shù)，然后將這個(gè)式子代入另一個(gè)方程中，從而達(dá)到消元的目的.在變形和代入的過(guò)程中，要嚴(yán)格依照移項(xiàng)和去括號(hào)的法則，避免出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤，

在中考中，有關(guān)一元二次方程常見(jiàn)的命題點(diǎn)有：一元二次方程的解法，一元二次方程根的判別式，一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，

一元二次方程的解法有四種：直接開(kāi)平方法、配方法、公式法與因式分解法.在解方程時(shí)要靈活運(yùn)用.若方程的右邊為0，且左邊能分解因式，則宜選用因式分解法;若方程是形如X2=c（c≥0）、（ax+b）2=C的一類(lèi)方程，則宜選用開(kāi)平方法;若方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)時(shí)，則宜選用配方法;若用直接開(kāi)平方法、配方法、因式分解法都不簡(jiǎn)便時(shí)，則用公式法，

解一元二次方程的注意事項(xiàng)有：（1）對(duì)于左右兩邊含有相同未知數(shù)因式的一元二次方程，應(yīng)將方程化為一般形式后再求解（或?qū)⒎匠套優(yōu)榈忍?hào)一邊是0.另一邊是含未知數(shù)的式子，利用因式分解法求解），切勿直接約去相同未知數(shù)因式，否則會(huì)丟根.（2）用因式分解法解一元二次方程時(shí)，方程的右邊要化為0，左邊分解因式.（3）利用公式法求解時(shí)，一定要先將一元二次方程化為一般形式，然后再用求根公式求解，

如果所給方程的二次項(xiàng)系數(shù)含有字母參數(shù)，要看清題干中有沒(méi)有說(shuō)明這個(gè)方程是一元二次方程.如果題干指明這個(gè)方程是一元二次方程，或通過(guò)暗含條件，比如“方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”“方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”“方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”等，可以判斷它是一元二次方程，除了根據(jù)方程根的情況，結(jié)合根的判別式得到字母的值或取值范圍，還要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)限制條件.如果不能確定所給方程是一元二次方程，那么要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論.

利用根與系數(shù)的關(guān)系解題時(shí)，首先要把一元二次方程化為一般形式，然后在根的判別式大于或等于零的前提下正確使用根與系數(shù)的關(guān)系.

在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，通過(guò)解一元二次方程得到的根要符合實(shí)際情況，比如幾何圖形的邊長(zhǎng)為正數(shù)，商品的成本下降率應(yīng)小于1.不符合實(shí)際情況的根應(yīng)舍去.

高頻考點(diǎn)例題點(diǎn)撥

高頻考點(diǎn)1 方程的解

例1 （2019.南充）關(guān)于x的一元一次方程2x^a-2+m=4的解為x=1，則a+m的值為（

）.

A.9

B.8

C.5

D.4

解析：由題意可得a-2=1，2+m=4，解得a=3，m=2，所以a+m=3+2=5，故選C.

點(diǎn)撥：解決涉及方程的解的問(wèn)題，直接把方程的解代人方程，然后得到一個(gè)等式，即可求得其他字母的值，

例2 （2019.巴中）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組ax-y=4，的解是x=2，則a+b的值

3x+by=4

y=-2，是（

）.

A.1

B.2

C.一1

D.0

解析：將方程組的解代入方程組，得a=1，b=1，所以a+b=2，故選B.

點(diǎn)撥：方程組的解就是方程組中所有方程的公共解.把方程組的解代入方程組的每一個(gè)方程，即可求出a，b的值.

高頻考點(diǎn)2-次方程（組）與數(shù)學(xué)文化

例3（2019.甘肅）中國(guó)古代人民很早就在生產(chǎn)、生活中發(fā)現(xiàn)了許多有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，其中《孫子算經(jīng)》中有個(gè)問(wèn)題，原文是：“今有三人共車(chē)，二車(chē)空;二人共車(chē)，九人步.人與車(chē)各幾何？”譯文為：今有若干人乘車(chē)，若每3人共乘一輛車(chē)，則最終剩余2輛車(chē);若每2人共乘一輛車(chē)，則最終剩余9個(gè)人無(wú)車(chē)可乘，問(wèn)共有多少人、多少輛車(chē)，

點(diǎn)撥：對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，原文表達(dá)的意思也許我們看不懂，但題目往往都會(huì)給出譯文，解決問(wèn)題時(shí)，我們只需要按照譯文的意思，找已知量、未知量和等量關(guān)系，然后設(shè)未知數(shù)，列方程，解方程即可，本題還可以設(shè)共有x輛車(chē)，請(qǐng)讀者朋友列方程解決問(wèn)題.

高頻考點(diǎn)3 一元二次方程的根

例4 （2019.甘肅）若一元二次方程X2_2kX+k²=0的一根為x=-1，則k的值為（

）.

A.一1

B.0

C.1或-1

D.2或0

解析：把x=-1代人方程得1+2k+k²=0，解得k=-1.故選A.

點(diǎn)撥：用配方法解一元二次方程時(shí)，共有四個(gè)步驟，第一步是變形：將ax²+bx+c=0（a≠0）中的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，要注意等號(hào)兩邊的每一項(xiàng)都要除以二次項(xiàng)系數(shù).第二步是移項(xiàng)：把二次項(xiàng)和一次項(xiàng)移到等號(hào)左邊，常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊.第三步是配方：等號(hào)兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，將方程配方為（x+m）²=n的形式，第四步是開(kāi)方：利用直接開(kāi)平方法求得方程的兩個(gè)根.

高頻考點(diǎn)5 一元二次方程根的判別式

例6 （2019.成寧）若關(guān)于x的一元二次方程x²-2x+m=0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）.

A.m<1

B.m≤1

C.m>1

D.m≥1

解析：∵關(guān)于x的一元二次方程x²-2x+m=0有實(shí)數(shù)根，

∴△=（-2）²-4m≥0.

解得m≤1.故選B.

點(diǎn)撥：本題考查一元二次方程根的判別式，一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則△≥0.注意“一元二次方程有實(shí)數(shù)根”包含兩種情況：（1）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.（2）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

高頻考點(diǎn)6 一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用

例7（2019.東營(yíng)）為加快新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換，提高公司經(jīng)濟(jì)效益，某公司決定對(duì)近期研發(fā)出的一種電子產(chǎn)品進(jìn)行降價(jià)促銷(xiāo)，使生產(chǎn)的電子產(chǎn)品能夠及時(shí)售出.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，這種電子產(chǎn)品銷(xiāo)售單價(jià)定為200元時(shí)，每天可售出300個(gè);若銷(xiāo)售單價(jià)每降低1元，則每天可多售出5個(gè)，已知每個(gè)電子產(chǎn)品的固定成本為100元.這種電子產(chǎn)品降價(jià)后的銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，公司每天可獲利32 000元？

解析：設(shè)降價(jià)后的銷(xiāo)售單價(jià)為x元，則降價(jià)后每天可售出[ 300+5（200-x）]個(gè).

依題意，可得（x-100）[300+5（200-x）]-32000.

解得x1=x2=180.

180<200.符合題意，

答：這種電子產(chǎn)品降價(jià)后的銷(xiāo)售單價(jià)為180元時(shí)，公司每天可獲利32000元，

點(diǎn)撥：根據(jù)總利潤(rùn)=每個(gè)產(chǎn)品的利潤(rùn)×銷(xiāo)售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論.找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，

5.已知一元二次方程3x²+4x -k =0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是____ .

6.隨著粵港澳大灣區(qū)建設(shè)的加速推進(jìn)，廣東省正加速布局以SG等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè).據(jù)統(tǒng)計(jì)，目前廣東省5G基站的數(shù)量約為1.5萬(wàn)座，計(jì)劃到2020年底，全省5G基站數(shù)是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站數(shù)量將達(dá)到17.34萬(wàn)座.

（1）計(jì)劃到2020年底，全省5G基站的數(shù)量是多少萬(wàn)座？

（2）按照計(jì)劃，求2020年底到2022年底全省5G基站數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率.