考慮群組傳播的SEIR謠言傳播模型

奚亞麗，王友國，柴 允

(1.南京郵電大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 210023；2.南京郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，江蘇 南京 210003)

0 引 言

隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的高速發(fā)展，諸如微信、Facebook、Twitter等移動(dòng)社交網(wǎng)絡(luò)的普及已經(jīng)極大地改變了信息的傳播方式[1]。沒有物理空間的限制，個(gè)人或組織之間的交互更加靈活多樣，在網(wǎng)絡(luò)社交工具的幫助下，大量的信息通過虛擬接觸而不是面對(duì)面的方式傳遞，使得傳播過程更加復(fù)雜[2]。在這種新型復(fù)雜社交網(wǎng)絡(luò)中，人們根據(jù)共同愛好、親友關(guān)系等往往聚合成特定的群組，并在群組之間進(jìn)行信息分享與交流。因此，一個(gè)群組很容易變成一個(gè)人們可能無法直接彼此認(rèn)識(shí)的小團(tuán)體。雖然一些群組成員可能不會(huì)直接與其他人聯(lián)系，但所有成員都能看到發(fā)送給群組的每條消息(包括謠言消息)。作為一種社交習(xí)慣，社交網(wǎng)絡(luò)中的用戶可能會(huì)將收到的謠言轉(zhuǎn)發(fā)給其他個(gè)人或群組[3-4]。

早期的經(jīng)典謠言傳播模型是Dally和Kendal[5]基于SIR傳染病模型提出的。在這個(gè)模型中，人群被分為三部分：不知道謠言的人、聽說過謠言并傳播它的人、知道謠言但已經(jīng)停止傳播的人。許多研究者對(duì)經(jīng)典的謠言傳播模型進(jìn)行了擴(kuò)展，以深入了解謠言傳播機(jī)制[6-7]，并且大量謠言傳播的研究都是在經(jīng)典的SIR模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。Sahafizadeh等人提出了一個(gè)新定義的SIR謠言傳播模型，研究了移動(dòng)社交網(wǎng)絡(luò)中群組傳播對(duì)謠言傳播過程動(dòng)力學(xué)的影響，并發(fā)現(xiàn)群組傳播顯著地提高了謠言的傳播速度，并且使網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的影響變得并不顯著[8]。

在現(xiàn)實(shí)社會(huì)生活中，由于個(gè)人的性格特點(diǎn)、教育背景、法律意識(shí)等因素，一些社交網(wǎng)絡(luò)用戶在知道謠言話題后不會(huì)立即傳播謠言，他們將首先會(huì)成為潛伏態(tài)(exposed state)?？紤]謠言內(nèi)容的吸引力和模糊性導(dǎo)致的潛伏態(tài)群組的存在，Xia等[9]提出了一個(gè)考慮四種狀態(tài)的SEIR謠言傳播模型，并進(jìn)行了穩(wěn)態(tài)分析來研究傳播閾值和擴(kuò)散規(guī)模大小。

受上述研究啟發(fā)，該文采用SEIR傳染病模型[10]，并在此模型基礎(chǔ)上考慮了群組傳播來研究均勻網(wǎng)絡(luò)中的謠言傳播動(dòng)力學(xué)。引入了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，并進(jìn)行了穩(wěn)態(tài)分析，研究謠言在均勻網(wǎng)絡(luò)中的傳播基本再生數(shù)。利用雅可比矩陣法[11]，通過計(jì)算雅可比矩陣的特征值來分析系統(tǒng)在均勻網(wǎng)絡(luò)中的穩(wěn)定性。通過仿真研究了謠言在不同群組傳播率以及群組參數(shù)影響下，在WS小世界網(wǎng)絡(luò)中謠言最終的作用范圍。

1 考慮群組的新型SEIR模型

本節(jié)建立了一種考慮群組傳播的新型SEIR謠言傳播模型。社交網(wǎng)絡(luò)被認(rèn)為是具有N個(gè)標(biāo)記節(jié)點(diǎn)和E條邊的無向均勻圖。假設(shè)圖的平均度為k，節(jié)點(diǎn)表示移動(dòng)社交網(wǎng)絡(luò)中的單個(gè)用戶，邊表示用戶之間或用戶與所屬群組之間的聯(lián)系。假設(shè)時(shí)間是離散的，在每個(gè)時(shí)間步驟中，每個(gè)用戶節(jié)點(diǎn)都處于以下四種狀態(tài)之一：易感節(jié)點(diǎn)(Susceptible，簡記為S)、潛伏節(jié)點(diǎn)(Exposure，簡記為E)，傳播節(jié)點(diǎn)(Infected，簡記為I)和免疫節(jié)點(diǎn)(Removed，簡記為R)。

每個(gè)用戶節(jié)點(diǎn)都可以通過與自己相鄰的其他節(jié)點(diǎn)或其自身所在群組傳播謠言。該移動(dòng)社交網(wǎng)絡(luò)中的群組是由一組可以共享信息的用戶構(gòu)成，他們不一定是好友關(guān)系，也就是說他們可能沒有直接的聯(lián)系。假設(shè)當(dāng)一個(gè)群組中的某個(gè)節(jié)點(diǎn)接收到一條謠言時(shí)，它將自動(dòng)傳播給這個(gè)組的所有節(jié)點(diǎn)。因此，社交網(wǎng)絡(luò)中的兩個(gè)非好友節(jié)點(diǎn)可以通過他們所在群組一起共享謠言消息。

如圖1所示，在均勻網(wǎng)絡(luò)傳播謠言的過程中，如果一個(gè)易感節(jié)點(diǎn)在個(gè)體間傳播謠言過程中接收到謠言，則易感節(jié)點(diǎn)會(huì)以概率τ成為潛伏節(jié)點(diǎn)，通過群組傳播接觸到謠言信息的易感節(jié)點(diǎn)會(huì)以概率γ成為潛伏節(jié)點(diǎn)。潛伏節(jié)點(diǎn)接受到謠言后，以概率η向其鄰居節(jié)點(diǎn)傳播該謠言，以概率ε向所在群組成員傳播該謠言，若節(jié)點(diǎn)對(duì)該謠言不感興趣，則潛伏節(jié)點(diǎn)以概率υ變成免疫節(jié)點(diǎn)。當(dāng)潛伏節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)閭鞑ス?jié)點(diǎn)后，節(jié)點(diǎn)則可能繼續(xù)傳播謠言，也可能以概率θ直接轉(zhuǎn)變?yōu)槊庖哒摺?/p>

圖1 基于群組傳播的新型SEIR模型的單個(gè)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

假設(shè)是在完全連接的社交網(wǎng)絡(luò)中，在t+1時(shí)刻傳播節(jié)點(diǎn)通過個(gè)體傳播給易感節(jié)點(diǎn)，此時(shí)潛伏節(jié)點(diǎn)的數(shù)量為：

(1)

(2)

(3)

當(dāng)Δt→0時(shí)，

(4)

(5)

而在t+1時(shí)刻，傳播節(jié)點(diǎn)通過群組傳播感染易感節(jié)點(diǎn)，此時(shí)潛伏節(jié)點(diǎn)的數(shù)量為：

當(dāng)Δt→0時(shí)

(8)

將易感節(jié)點(diǎn)的群組傳播和個(gè)體間傳播狀態(tài)方程合并，即將式(5)和式(8)合并，可得到：

(9)

此時(shí)得到一個(gè)易感節(jié)點(diǎn)通過個(gè)體傳播和群組傳播受傳播節(jié)點(diǎn)感染的動(dòng)力學(xué)方程演化過程。

在謠言傳播中，除了傳播節(jié)點(diǎn)會(huì)傳播謠言給易感節(jié)點(diǎn)外，潛伏節(jié)點(diǎn)亦會(huì)通過個(gè)體和群組將謠言傳播給易感節(jié)點(diǎn)。在t時(shí)間間隔內(nèi)謠言通過群組傳播將謠言傳播給易感節(jié)點(diǎn)使其變?yōu)闈摲?jié)點(diǎn)，所以潛伏節(jié)點(diǎn)的增量為：

i(t))

(10)

(12)

當(dāng)Δt→0時(shí)

(13)

由于s(t)+e(t)+i(t)+r(t)=1，可寫出考慮群組傳播的SEIR謠言傳播模型的動(dòng)力方程組為：

(14)

如果網(wǎng)絡(luò)中存在潛伏節(jié)點(diǎn)或傳播節(jié)點(diǎn)，則系統(tǒng)不會(huì)達(dá)到穩(wěn)態(tài)，所以令e(t)=0，i(t)=0，則雅各比行列式為：

(15)

基本再生數(shù)R0被定義為在其傳播壽命期間，完全易感人群中被單個(gè)謠言傳播者感染的下一個(gè)體的平均數(shù)[12]。為了研究文中模型的基本再生數(shù)，使用雅可比矩陣的非零特征值，經(jīng)過簡單的計(jì)算，得到模型的閾值如下：

(16)

當(dāng)R0>1時(shí)，在網(wǎng)絡(luò)中有謠言傳播。上式表明當(dāng)λ>0時(shí)，有一種類似于流行疾病的謠言在網(wǎng)絡(luò)中傳播。隨著網(wǎng)絡(luò)中潛伏或傳播個(gè)體數(shù)量的增加，s的值減小，當(dāng)R0值小于1時(shí)，潛伏和傳播個(gè)體數(shù)量從其峰值開始下降。為了有一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng),當(dāng)υ?λ，R0的值應(yīng)該很高。當(dāng)s≈r，若υ≈λ傳播者(潛伏者)的數(shù)量開始從峰值向下減小,免疫者個(gè)人數(shù)量的增加，潛伏者和傳播者的數(shù)量減少，直到系統(tǒng)得到穩(wěn)定狀態(tài)。

利用Runge-Kutta方法對(duì)模型的常微分方程進(jìn)行求解[13-14]，來分析移動(dòng)社交網(wǎng)絡(luò)中群組傳播對(duì)謠言傳播的影響。表1給出了數(shù)值仿真模型的假設(shè)條件和初始值。

表1 數(shù)值仿真模擬的假設(shè)和初始值

從圖2、3可以看出，隨著傳播率和免疫率的增加，傳播者的峰值時(shí)刻減少。主觀結(jié)果是社交網(wǎng)絡(luò)上的人對(duì)他們收到的信息越敏感，謠言傳播就越快。另一方面，當(dāng)人們更加敏感的時(shí)候，他們對(duì)謠言的反應(yīng)也會(huì)更多，因此系統(tǒng)會(huì)更快地達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。結(jié)果還表明，當(dāng)擴(kuò)散速率與免疫速率之比一定時(shí)，傳播者的數(shù)量隨著傳播率和免疫率的增加，主觀表現(xiàn)是人們對(duì)謠言更感興趣，更有意愿去傳播，類似于從眾心理。將圖中左右兩圖各自對(duì)比分析表明，加入群組傳播后，謠言傳播規(guī)模更大且更快，達(dá)到了系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)，同時(shí)傳播者的峰值比不考慮群組傳播時(shí)更大。

(a)不考慮群組傳播 (b)考慮群組傳播

(a)不考慮群組傳播 (b)考慮群組傳播

圖4 群組度的變化對(duì)傳播者個(gè)體分布的影響

2 仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)

本節(jié)對(duì)前一節(jié)提出的考慮群組傳播的新型SEIR謠言傳播模型進(jìn)行仿真和分析。在該模型中，網(wǎng)絡(luò)被表示為一個(gè)有N個(gè)節(jié)點(diǎn)和E條邊的圖。節(jié)點(diǎn)代表社交網(wǎng)絡(luò)中的個(gè)體，邊代表個(gè)體之間的連接。為了模擬現(xiàn)實(shí)中的社交網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建了一個(gè)WS[15]小世界網(wǎng)絡(luò)。在謠言傳播過程中，根據(jù)所提出的模型，個(gè)體可能處于上述四種狀態(tài)之一。為了避免偶然誤差的影響，進(jìn)行了蒙特卡羅模擬，每個(gè)實(shí)驗(yàn)的仿真結(jié)果都是超過100次運(yùn)行后的平均結(jié)果。模型初始狀態(tài)的假設(shè)和參數(shù)值如表1所示。實(shí)驗(yàn)考慮了不同情況下群組傳播參數(shù)不同概率和傳播免疫率的情形。圖5為新型SEIR模型中考慮群組傳播時(shí)的WS小世界網(wǎng)絡(luò)上的仿真結(jié)果，圖6為謠言擴(kuò)散速率遠(yuǎn)大于免疫速率時(shí)的仿真結(jié)果。

(a)不考慮群組傳播 (b)考慮群組傳播

(a) υ≈λ不考慮群組傳播 (b) υ≈λ考慮群組傳播

在WS小世界網(wǎng)絡(luò)下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，考慮了三種不同的情況，群組傳播參數(shù)的概率不同，傳播免疫率也不同，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下:

在圖5中，分析了群組傳播對(duì)謠言傳播整體動(dòng)態(tài)變化的影響。可以看出，群組傳播對(duì)傳播時(shí)間和傳播高峰期的傳播者數(shù)量有很大的影響。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)考慮群組傳播時(shí)，需要非常多的人對(duì)謠言免疫才能使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)。

圖6比較了傳播參數(shù)變化對(duì)謠言傳播的影響，通過有無群組傳播以及參數(shù)υ和λ是否相近進(jìn)行對(duì)比分析，群組傳播對(duì)傳播時(shí)間和傳播高峰期的傳播者數(shù)量有很大的影響；當(dāng)擴(kuò)散速率與免疫速率之比一定時(shí)，傳播者的數(shù)量隨著參數(shù)的增加而變多，而當(dāng)免疫速率遠(yuǎn)小于擴(kuò)散速率時(shí)，傳播者的峰值數(shù)量多于免疫速率與擴(kuò)散速率相近時(shí)的數(shù)量，而對(duì)傳播速度沒有較大的影響。這與現(xiàn)實(shí)社交網(wǎng)絡(luò)中謠言傳播過程相吻合，且表明群組傳播加快了謠言的傳播速度，同時(shí)使得謠言擴(kuò)散程度更大，即謠言的影響范圍越廣。

圖7比較了群組規(guī)模和群組程度對(duì)謠言傳播的影響，改變?nèi)航M大小(X)和群組度(M)來研究謠言傳播者的動(dòng)態(tài)變化過程。從圖7中可以看出，群組程度直接影響傳播者的比例和傳播者的傳播速度。隨著群組程度的增加(群組數(shù)量減少)，傳播者的比例增加，傳播速度加快，峰值時(shí)間減小。研究表明，在移動(dòng)社交網(wǎng)絡(luò)中，假設(shè)當(dāng)人們所屬的群組平均數(shù)量(即個(gè)體的群組程度)為常數(shù)時(shí)，擁有較大的群組比擁有較多的群組對(duì)謠言傳播更有效。

圖7 WS網(wǎng)絡(luò)仿真群組程度變化I(t)動(dòng)態(tài)過程

3 結(jié)束語

主要研究目的是分析群組傳播對(duì)社交網(wǎng)絡(luò)謠言傳播過程的影響。除了之前提出的模型中謠言只通過社交網(wǎng)絡(luò)中的直接聯(lián)系人傳播的共同假設(shè)外，謠言傳播個(gè)體也可以將謠言發(fā)布到存在其他間接未知個(gè)體的群組中。

為此，通過加入群組傳播參數(shù)建立了一種考慮群組傳播的新型SEIR謠言傳播模型，在均勻網(wǎng)絡(luò)上研究了群組傳播對(duì)謠言傳播過程動(dòng)力學(xué)的影響。通過穩(wěn)態(tài)分析，研究了謠言傳播在均勻網(wǎng)絡(luò)上的全局動(dòng)力學(xué)行為，根據(jù)動(dòng)力方程組計(jì)算給出了模型的基本再生數(shù)，即傳播閾值。此外，進(jìn)行了基于個(gè)體的仿真，在WS小世界網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行了是否考慮群組和不同傳播參數(shù)的對(duì)比實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，群組傳播對(duì)謠言傳播過程有很大的影響，極大地加快了謠言傳播的進(jìn)程。平均群組度的增加，會(huì)導(dǎo)致傳播速度和傳播者峰值規(guī)模均有所增加；結(jié)果還表明，群組規(guī)模越大，謠言的影響范圍越廣。