改進(jìn)權(quán)值的加權(quán)整體最小二乘法高程擬合應(yīng)用

陳 強(qiáng),岳東杰

(河海大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院,江蘇 南京 211100)

目前我國(guó)在實(shí)際應(yīng)用中多采用的是正常高,而普遍使用的GPS(global positioning system)定位技術(shù)所獲得的是大地高,對(duì)此需要將GPS的大地高進(jìn)行轉(zhuǎn)換得到正常高[1]。高程擬合通過(guò)求得大地高和正常高的差值即高程異常進(jìn)而根據(jù)已知的大地高得到所需正常高,傳統(tǒng)的多項(xiàng)式擬合法在高程擬合中應(yīng)用較廣,二次曲面擬合是使用較多的一種也是經(jīng)驗(yàn)證精度較好的多項(xiàng)式擬合方法,但是傳統(tǒng)二次曲面法是基于最小二乘LS(least-square)原理的,并不能考慮到系數(shù)矩陣中的誤差,為了解決這一問(wèn)題需要引入整體最小二乘(TLS,total least-square)和加權(quán)整體最小二乘(WTLS,weighted total least-square)。宋拓等[1]推導(dǎo)了整體最小二乘的解法,在高程擬合實(shí)例中驗(yàn)證了整體最小二乘相比最小二乘精度上有提高;仲崇豪等[2]推導(dǎo)了加權(quán)整體最小二乘的迭代解法并在直線擬合中應(yīng)用得到結(jié)論加權(quán)整體最小二乘優(yōu)于整體最小二乘;趙輝等[3]在WTLS上采用了一種簡(jiǎn)化定權(quán),對(duì)比了LS、TLS和WTLS得出結(jié)論TLS相對(duì)于LS無(wú)明顯的精度提高,但是采用他的定權(quán)方式的WTLS實(shí)例殘差中優(yōu)化了2 m;袁豹等[4]基于協(xié)因數(shù)推導(dǎo)得出系數(shù)陣列向量的協(xié)因數(shù)陣,對(duì)比了LS、TLS和WTLS 3種方案得出結(jié)論在內(nèi)符合精度上TLS和WTLS有明顯提高,外符合精度上三者相差不大。研究對(duì)基于WTLS的二次曲面法提出了改進(jìn)的定權(quán)方式,并通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)比驗(yàn)證了新方法的可靠性,最終得出該方法下的二次曲面高程擬合能夠在一定程度提高傳統(tǒng)擬合的精度。最后將WTLS下的二次曲面模型與BP(back propagation)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[6]及多面函數(shù)模型[7]進(jìn)行了實(shí)例對(duì)比,發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)WTLS的二次曲面在研究實(shí)例中精度仍然不如多面函數(shù)法和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法,從而得出了一些新的思考與結(jié)論。

1 整體最小二乘與加權(quán)整體最小二乘

1.1 整體最小二乘

變量誤差模型(EIV)能夠綜合考慮觀測(cè)量和系數(shù)矩陣的誤差,其函數(shù)式為

L-EL=(A-EA)X,

(1)

(2)

其中:QL是觀測(cè)值協(xié)因數(shù)陣;QA是系數(shù)陣協(xié)因數(shù)陣。整體最小二乘的估計(jì)依據(jù)為

(3)

基于非線性拉格朗日的整體最小二乘推導(dǎo)是根據(jù)傳統(tǒng)拉格朗日乘法構(gòu)造非線性的目標(biāo)函數(shù),然后將式中的變量進(jìn)行求偏導(dǎo),令導(dǎo)數(shù)為零得出一系列解。在常規(guī)計(jì)算過(guò)程可采取最小二乘結(jié)果作為迭代的初始值,其迭代步驟如下:

1.2 加權(quán)整體最小二乘

對(duì)于精度不等的情況需要引入權(quán)值,在此僅介紹基于非線性拉格朗日函數(shù)的加權(quán)整體最小二乘迭代?；诜蔷€性拉格朗日函數(shù)的加權(quán)整體最小二乘迭代將觀測(cè)量和系數(shù)陣的協(xié)因數(shù)陣QL和QA表示為

(4)

其中:Q0和Qx分別為系數(shù)陣A的列向量協(xié)因數(shù)陣和行向量協(xié)因數(shù)陣,從而得到函數(shù)模型為

L-EL-AX+(XT?Im)EA=0,

(5)

(6)

繼而對(duì)其進(jìn)行非線性拉格朗日函數(shù)構(gòu)造,得到

調(diào)水總干渠作為“引大濟(jì)湟”的骨干工程，地處大陸腹地、中緯度高原地區(qū)，高寒少氧，為典型的半干旱大陸氣候，一年夏秋季短，冬季長(zhǎng)且寒冷，冰凍期長(zhǎng)。引水隧洞穿越達(dá)坂山，埋深最大達(dá)1 100 m，洞線長(zhǎng)24.17 km，穿越地層地質(zhì)條件極其復(fù)雜。大埋深、長(zhǎng)隧洞、高海拔是調(diào)水總干渠工程的重點(diǎn)和難點(diǎn)。2006年10月11日隧洞出口段TBM開(kāi)始掘進(jìn)，至2008年4月共完成掘進(jìn)6.77 km。2008年4月TBM進(jìn)入F4、F5斷層破碎帶后，在樁號(hào)17+140處首次出現(xiàn)卡機(jī)，之后因這種地質(zhì)條件造成了TBM掘進(jìn)機(jī)10余次卡機(jī)事故。

2KT(L-EL-AX+

(XT?Im)EA)。

(7)

通過(guò)對(duì)式(7)中的變量求偏導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為零可解出迭代過(guò)程中的變量相應(yīng)迭代公式。實(shí)際的處理運(yùn)算時(shí)可以把最小二乘估值作為初始迭代,迭代步驟如下:

(8)

(9)

2 改進(jìn)權(quán)值的WTLS二次曲面法高程擬合

傳統(tǒng)的二次曲面法高程擬合基于的是最小二乘原理,不能考慮到系數(shù)矩陣中存在的誤差,引入整體最小二乘和加權(quán)整體最小二乘從理論上可以提高其擬合的精度。因此將整體最小二乘和加權(quán)整體最小二乘引入二次曲面法,并與原始的二次曲面法進(jìn)行對(duì)比,以期得到改善的擬合結(jié)果。二次曲面擬合的函數(shù)模型為

(10)

其中:ζi代表的是點(diǎn)(xi,yi)處的高程異常;a0到a5代表的是該二次曲面待估計(jì)的參數(shù),6個(gè)參數(shù)意味著研究區(qū)域至少需要包含6個(gè)公共點(diǎn)。式(10)寫(xiě)成矩陣形式為

(11)

對(duì)上述二次曲面法分別引入整體最小二乘和加權(quán)整體最小二乘,整體最小二乘的引入由于不需要考慮權(quán)值問(wèn)題,在實(shí)際應(yīng)用中只需要同時(shí)引入觀測(cè)值和系數(shù)陣的誤差,按整體最小二乘推導(dǎo)方式得出的結(jié)果迭代計(jì)算即可。加權(quán)整體最小二乘需要考慮權(quán)值問(wèn)題,由于二次曲面模型中系數(shù)矩陣的列向量之間存在非線性的關(guān)系,可以通過(guò)協(xié)因數(shù)傳播求解得出各協(xié)因數(shù)因子之間的關(guān)系。文獻(xiàn)[4]中通過(guò)協(xié)因數(shù)推導(dǎo)得出了系數(shù)陣列向量協(xié)因數(shù)陣式:

但實(shí)例中僅在內(nèi)符合精度上相比LS和TLS有提高,外符合精度上與前兩者相當(dāng)。在文獻(xiàn)[3]中采用簡(jiǎn)化的定權(quán)方式令A(yù)的列向量權(quán)陣為

Px=In*n,PL=In*n,

實(shí)例中得到了精度上的提高。研究通過(guò)對(duì)比分析的方法將協(xié)因數(shù)傳播得到的協(xié)因數(shù)陣進(jìn)行了一定改動(dòng)和簡(jiǎn)化,令系數(shù)陣列向量的協(xié)因數(shù)陣為

Px=In*n,PL=In*n,

將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與LS、TLS和文獻(xiàn)[3]中定權(quán)方式做出了比較,得出較好的擬合精度。進(jìn)而又將該種定權(quán)方式下的WTLS二次曲面法與多面函數(shù)法和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了實(shí)例對(duì)比和分析,得出了進(jìn)一步的結(jié)論和展望。

3 實(shí)例分析

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采用某市的24個(gè)GPS水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)點(diǎn),取其中隨機(jī)均勻分布的15個(gè)點(diǎn)(1,2,3,5,7,9,10,12,13,14,15,17,19,21,24)作為已知點(diǎn),另外的9個(gè)點(diǎn)(4,6,8,11,16,18,20,22,23)作為檢核點(diǎn),具體數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

表1 點(diǎn)位數(shù)據(jù)Table 1 Point bit data m

3.1 LS、TLS及WTLS對(duì)比

研究分別對(duì)基于最小二乘、整體最小二乘和加權(quán)整體最小二乘的二次曲面法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)計(jì)算,結(jié)果見(jiàn)表2～表4及圖1。由表2可知,LS和TLS 2種方案擬合出的二次曲面系數(shù)在小數(shù)點(diǎn)保留到4位時(shí)保持一致，而WTLS擬合出的二次曲面系數(shù)與前兩者存在一定差異，說(shuō)明實(shí)例中LS和TLS擬合出的二次曲面幾乎一致，而WTLS擬合出的二次曲面與上兩者有差別。從表3和圖1的已知點(diǎn)和檢核點(diǎn)殘差中可以看出，LS和TLS的已知點(diǎn)和檢核點(diǎn)殘差均存在極個(gè)別點(diǎn)上的略微差異，而WTLS得到的檢核點(diǎn)殘差整體上比LS和TLS約小1 mm。由表4可知,內(nèi)符合精度上三者保持一致，外符合精度上LS和TLS保持一致，WTLS的外符合精度相比LS、TLS提高了1.2%，比文獻(xiàn)[1]中的TLS提高了0.6%。最終得出在實(shí)例中TLS相對(duì)于LS沒(méi)有改變擬合的效果，而經(jīng)過(guò)定權(quán)方式的WTLS能夠一定程度提高擬合精度(提高1.2%)，驗(yàn)證了該定權(quán)方式下WTLS在高程擬合中的可行性。

表2 二次曲面法系數(shù)Table 2 Coefficient of quadric surface method

表3 二次曲面法已知點(diǎn)殘差

表4 二次曲面法精度對(duì)比

3.2 WTLS二次曲面與其他方法對(duì)比

由3.1知WTLS相對(duì)于LS和TLS能夠提高二次曲面高程擬合的精度,再將WTLS下的二次曲面與多面函數(shù)模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)對(duì)比,對(duì)比分析結(jié)果見(jiàn)表5、表6和圖2。

由表5和圖2可知,在已知點(diǎn)殘差上WTLS二次曲面法與多面函數(shù)法整體上是相當(dāng)?shù)?，?duì)于檢核點(diǎn)殘差多面函數(shù)法比WTLS二次曲面小0.2 mm，而B(niǎo)P神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)無(wú)論在已知點(diǎn)殘差和檢核點(diǎn)殘差上整體都小于前兩者，約小3.5 mm。由表6可知,在內(nèi)符合精度上WTLS和多面函數(shù)法是相當(dāng)?shù)?，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)比前兩者提高了10%左右，外符合精度上多面函數(shù)法比WTLS二次曲面提高1.8%，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)比WTLS二次曲面提高了21%左右，故得出結(jié)論,雖然基于WTLS的二次曲面法要優(yōu)于LS和TLS的，但與多面函數(shù)法與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法相比，其精度在實(shí)例中還是沒(méi)這2種好，尤其與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比差較多。

圖1 二次曲面法檢核點(diǎn)殘差對(duì)比Fig.1 Comparison of check point residuals of quadric surface method

表5 多種算法已知點(diǎn)殘差

表6 多種算法精度對(duì)比

圖2 多種算法檢核點(diǎn)殘差對(duì)比Fig.2 Comparison of check point residuals with multi-algorithm

4 結(jié)論

加權(quán)整體最小二乘能夠綜合考慮誤差方程系數(shù)陣和觀測(cè)量存在的誤差,且通過(guò)給定的定權(quán)方式為系數(shù)陣賦權(quán),把影響較大的因子賦予更大權(quán)值,因此該方法相較于最小二乘和整體最小二乘更加合理,最終的計(jì)算結(jié)果也說(shuō)明在高程擬合的應(yīng)用中加權(quán)整體最小二乘具有一定的優(yōu)勢(shì),相比于前兩者能夠得到較好的精度,該方法在定權(quán)方式上存在著一定的可研究性。雖然研究給定的定權(quán)方式能夠較好的提高擬合精度,但研究出一種穩(wěn)定適用性廣且精度更好的定權(quán)方式是仍需解決的一個(gè)問(wèn)題;在算法的迭代過(guò)程中存在收斂速度慢,需要人工找尋最優(yōu)閾值的問(wèn)題,因此在迭代部分研究出一種自適應(yīng)的算法也是需要解決的問(wèn)題。相比較于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和多面函數(shù)法,經(jīng)過(guò)WTLS下的二次曲面法仍然在精度上差一點(diǎn),尤其是與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比,故是否可以將WTLS融于多面函數(shù)法以及借鑒WTLS的思考

方式將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行改進(jìn)也是以后值得思考和進(jìn)一步研究的問(wèn)題。