考慮潛伏期的關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)傳染機(jī)理研究

徐 凱, 周宗放, 錢(qián) 茜

(1.電子科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,四川 成都 611731； 2.成都大學(xué) 商學(xué)院,四川 成都 610106； 3.四川師范大學(xué) 商學(xué)院,四川 成都 610101)

0 引言

隨著經(jīng)濟(jì)的全球化和市場(chǎng)化以及金融市場(chǎng)的快速發(fā)展，企業(yè)、銀行、保險(xiǎn)公司等信用主體之間的信用關(guān)聯(lián)關(guān)系日趨緊密，進(jìn)而形成了關(guān)聯(lián)信用主體，以下簡(jiǎn)稱(chēng)關(guān)聯(lián)主體。以關(guān)聯(lián)主體為節(jié)點(diǎn)，關(guān)聯(lián)關(guān)系為邊構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)，稱(chēng)為關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)。在關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)中，若某些關(guān)聯(lián)主體違約，導(dǎo)致其他關(guān)聯(lián)主體違約或違約概率增大或信用評(píng)級(jí)下調(diào)，則稱(chēng)這類(lèi)信用風(fēng)險(xiǎn)為關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)[1]。眾所周知，2008年，美國(guó)次貸危機(jī)迅速蔓延至全球多個(gè)國(guó)家，導(dǎo)致多家投行等破產(chǎn)，最終釀成全球性金融危機(jī)。隨后，希臘信用評(píng)級(jí)的下調(diào)，導(dǎo)致歐債危機(jī)爆發(fā)，整個(gè)歐洲經(jīng)濟(jì)遭受重創(chuàng)。2012年初，浙江天煜建設(shè)有限公司破產(chǎn)，使互保圈中的企業(yè)深陷危機(jī)。2016年，東北特鋼和大連機(jī)床相繼出現(xiàn)債務(wù)違約，多家銀行、信托、租賃公司牽扯到其中。其實(shí)，2011年之后，受行業(yè)周期影響，兩家公司利潤(rùn)一直呈震蕩下行趨勢(shì)，且均出現(xiàn)推遲發(fā)布年報(bào)甚至不披露現(xiàn)象，但軍工的光環(huán)和大量訂單等蒙蔽了債權(quán)人，在打破剛性兌付的宏觀環(huán)境下，最終流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)暴露引發(fā)債券違約，自利潤(rùn)下滑到推遲年報(bào)披露直至首現(xiàn)違約，經(jīng)歷了相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間，債券違約的潛伏期顯而易見(jiàn)，使相關(guān)債權(quán)人遭受巨大損失。2017年初，輝山乳業(yè)股價(jià)斷崖式下跌，使得與其存在關(guān)聯(lián)關(guān)系的70多家債權(quán)人遭受巨損。上述現(xiàn)象表明，關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)的變化不僅呈現(xiàn)聯(lián)動(dòng)效應(yīng)，而且存在潛伏期。因此，探尋具有潛伏期的關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)的演化規(guī)律、識(shí)別和防范關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)更具學(xué)術(shù)價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。

近年來(lái)，關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)逐漸成為學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題。Chakrabarty和Zhang[2]通過(guò)考察交易對(duì)手等研究了信用風(fēng)險(xiǎn)的傳染及后果。Jorion和Zhang[3]研究發(fā)現(xiàn)信用風(fēng)險(xiǎn)的傳染源于交易對(duì)手的違約。曲昭光和陳春林[4]利用VAR模型研究發(fā)現(xiàn)傳染效應(yīng)存在于金融集團(tuán)控股的子公司之間。陳庭強(qiáng)等[5]發(fā)現(xiàn)信息不對(duì)稱(chēng)等會(huì)引起CDS交易對(duì)手之間信用風(fēng)險(xiǎn)的傳染。Barro和Basso[6]研究了銀行貸款組合中企業(yè)之間的業(yè)務(wù)關(guān)系所導(dǎo)致的傳染機(jī)制。Li和Sui[7]研究企業(yè)銀行內(nèi)生金融網(wǎng)絡(luò)中信用風(fēng)險(xiǎn)的傳染效應(yīng)，發(fā)現(xiàn)銀行破產(chǎn)與潛在貸款者呈同向變化。Sui和Li[8]研究發(fā)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)的傳染在擔(dān)保網(wǎng)絡(luò)中行進(jìn)且被加劇，并且風(fēng)險(xiǎn)傳染受到合作者影響。李智和牛曉健[9]實(shí)證檢驗(yàn)了所提出的銀行之間風(fēng)險(xiǎn)傳染度量方法的有效性。李志楠等[10]研究發(fā)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)在不同種類(lèi)的銀行之間傳染。可見(jiàn)，上述交易對(duì)手風(fēng)險(xiǎn)、關(guān)聯(lián)關(guān)系、信息不對(duì)稱(chēng)和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)等會(huì)引發(fā)信用風(fēng)險(xiǎn)的傳染，導(dǎo)致不同程度的破壞性等嚴(yán)重后果。

國(guó)內(nèi)外專(zhuān)家學(xué)者基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論和傳染病模型，廣泛研究了金融風(fēng)險(xiǎn)的傳染效應(yīng)。May等[11]指出，金融風(fēng)險(xiǎn)的傳染和傳染病的傳播相類(lèi)似，故可以運(yùn)用傳染病模型刻畫(huà)金融風(fēng)險(xiǎn)的傳染。Garas等[12]運(yùn)用SIR傳染病模型模擬全球經(jīng)濟(jì)網(wǎng)絡(luò)中危機(jī)的傳染過(guò)程。李守偉等[13]運(yùn)用SI傳染病模型研究銀行風(fēng)險(xiǎn)傳染問(wèn)題，結(jié)果表明銀行風(fēng)險(xiǎn)傳染與傳染率和關(guān)聯(lián)度同向變化，而與治理率呈負(fù)向變化，進(jìn)而得出控制銀行風(fēng)險(xiǎn)傳染的策略。馬源源等[14]研究上市公司持股網(wǎng)絡(luò)中危機(jī)的傳播進(jìn)程，發(fā)現(xiàn)蓄意攻擊比隨機(jī)攻擊的破壞性更強(qiáng)。彭疊峰等[15]借鑒傳染病學(xué)原理，引入注意力傳染機(jī)制，解釋了股市中股票動(dòng)量效應(yīng)與反轉(zhuǎn)效應(yīng)并存的事實(shí)。羅剛等[16]構(gòu)建擔(dān)保網(wǎng)絡(luò)中風(fēng)險(xiǎn)傳染病模型，實(shí)證發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)抗金融風(fēng)險(xiǎn)能力主要受網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)影響，不同的風(fēng)險(xiǎn)傳染源對(duì)金融風(fēng)險(xiǎn)的傳播速度和范圍影響不同。胡志浩和李曉花[17]將傳染病模型SIRS引入到無(wú)標(biāo)度金融網(wǎng)絡(luò)中，探討了感染率等對(duì)金融風(fēng)險(xiǎn)傳染的影響。徐攀和于雪[18]構(gòu)建SIRS風(fēng)險(xiǎn)傳染病模型，并選取實(shí)際案例進(jìn)行仿真，研究了中小企業(yè)集群互助擔(dān)保網(wǎng)絡(luò)中的風(fēng)險(xiǎn)傳染過(guò)程。吳田等[19]構(gòu)建SIR傳染病模型，對(duì)交叉性金融業(yè)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)傳染進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)傳染率是風(fēng)險(xiǎn)傳染的關(guān)鍵。龐曉波和王克達(dá)[20]利用傳染病模型SIR，基于由148個(gè)國(guó)家和地區(qū)的國(guó)際貿(mào)易數(shù)據(jù)構(gòu)建的全球宏觀經(jīng)濟(jì)網(wǎng)絡(luò)，對(duì)國(guó)際金融危機(jī)潛在傳染源的識(shí)別及其傳染力進(jìn)行分析?？梢?jiàn)，傳染病模型已被廣泛應(yīng)用于金融風(fēng)險(xiǎn)傳染效應(yīng)的研究。

隨著關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)研究的興起，國(guó)內(nèi)專(zhuān)家學(xué)者嘗試運(yùn)用傳染病模型，對(duì)此進(jìn)行了初步探討。李永奎和周宗放[1，21]從資產(chǎn)關(guān)聯(lián)的視角，構(gòu)建傳染病模型，分別探討了關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)在無(wú)標(biāo)度和小世界網(wǎng)絡(luò)中傳染的延遲效應(yīng)；并且李永奎等[22]探討了關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)在不完全免疫狀況下的傳染情形。李麗和周宗放[23]借鑒傳染病學(xué)原理，建立企業(yè)集團(tuán)信用風(fēng)險(xiǎn)傳染的隨機(jī)動(dòng)態(tài)模型，分析了模型的穩(wěn)定狀態(tài)條件及違約高峰的到來(lái)時(shí)刻。陳庭強(qiáng)和何健敏[24]借助傳染病學(xué)原理等，建立信用風(fēng)險(xiǎn)傳染的網(wǎng)絡(luò)模型，探討了關(guān)聯(lián)關(guān)系、風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度、風(fēng)險(xiǎn)抵御能力、金融市場(chǎng)監(jiān)管強(qiáng)度和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征對(duì)信用風(fēng)險(xiǎn)傳染的影響機(jī)制。錢(qián)茜和周宗放[25]基于改進(jìn)的傳染病模型，研究了免疫情景下關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)傳染的穩(wěn)定狀態(tài)特征。

雖然上述文獻(xiàn)對(duì)金融風(fēng)險(xiǎn)包括關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)的傳染，做出了許多有益的探索，但現(xiàn)有關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)傳染的相關(guān)研究忽略了潛伏期的影響。事實(shí)上，在關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)傳染演化初期，某些關(guān)聯(lián)主體信用評(píng)級(jí)較高、盈利能力較強(qiáng)、治理較合理，這類(lèi)主體具有一定的抗關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)能力，可能已經(jīng)感染，但信用危機(jī)癥狀并未表現(xiàn)出來(lái)，本文稱(chēng)這段時(shí)間為關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)傳染的潛伏期。然而，隨著關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)傳染力的增強(qiáng)和宏觀微觀環(huán)境變化，關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)傳染的潛伏期結(jié)束，關(guān)聯(lián)主體可能轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥局黧w；感染主體經(jīng)過(guò)救助或免疫等有效的管控治理，使得自身信用風(fēng)險(xiǎn)維持在較低水平，可能轉(zhuǎn)變?yōu)槊庖咧黧w。信用風(fēng)險(xiǎn)就此在關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)中傳染演化。網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)聯(lián)主體一旦被感染，是否會(huì)立即陷入信用危機(jī)？潛伏期如何影響關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)的傳染？這些將是本文擬研究的主要問(wèn)題。

本文在關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)中，嵌入關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)傳染的潛伏期，構(gòu)建關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)傳染模型，通過(guò)仿真模擬和邏輯推理，探討了關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)的傳染機(jī)理。研究表明，關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)的傳染演化與以下四個(gè)方面因素有關(guān)：一是潛伏主體的潛伏期，二是感染主體的傳染率、恢復(fù)率和傳染力，三是信用主體的新生率和死亡率，四是關(guān)聯(lián)主體的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

1 模型構(gòu)建

1.1 運(yùn)用傳染病模型研究關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)傳染的合理性

傳染病模型廣泛應(yīng)用于病毒、輿情、謠言、知識(shí)傳播和創(chuàng)新擴(kuò)散等方面，成果頗豐[27～41]。羅剛等[16]、徐攀和于雪[18]與錢(qián)茜[26]指出風(fēng)險(xiǎn)在擔(dān)保網(wǎng)絡(luò)中的傳染與傳染病及病毒傳播具有相似性，并簡(jiǎn)要刻畫(huà)了二者的相似性特征。基于上述文獻(xiàn)研究，結(jié)合關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)的傳染演化特征，我們發(fā)現(xiàn)關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)中關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)的傳染演化，與社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中傳染病的傳染演化，具有許多相似性，如存在傳染源、具有潛伏性、傳染性、免疫性和循環(huán)可逆性。傳染病的傳染過(guò)程與關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)的傳染具有相似性，表現(xiàn)出兩方面的特征：一是傳染結(jié)構(gòu)相似，二是傳染模式相似。其中傳染結(jié)構(gòu)包括擴(kuò)散渠道和傳染目標(biāo)，傳染模式包括傳染輻射性和傳染進(jìn)程，具體如下：(1)傳染結(jié)構(gòu)相似。傳染病的病毒在個(gè)體構(gòu)成的群體網(wǎng)絡(luò)中擴(kuò)散和傳播，其傳播擴(kuò)散的渠道是社會(huì)群體網(wǎng)絡(luò)中的路徑，即個(gè)體之間的相互關(guān)系，其傳播擴(kuò)散的目標(biāo)是社會(huì)群體網(wǎng)絡(luò)中的個(gè)體節(jié)點(diǎn)。而關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)的傳染則是在關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)中擴(kuò)散，其傳染擴(kuò)散的渠道是關(guān)聯(lián)主體之間直接或間接的關(guān)聯(lián)關(guān)系，其傳染擴(kuò)散的目標(biāo)是關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)主體。并且，社會(huì)群體網(wǎng)絡(luò)中的個(gè)體因自身免疫能力差異，抵抗病毒入侵的能力也有所不同。而關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)中，關(guān)聯(lián)主體因其治理水平(包括運(yùn)營(yíng)、籌資、盈利和償債能力等)差異，對(duì)關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)的抵抗能力也有所不同。因此，在傳染結(jié)構(gòu)方面，關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)和病毒具有相似性。(2)傳染模式相似。在社會(huì)群體網(wǎng)絡(luò)中，病毒的傳播擴(kuò)散呈輻射形狀，而在關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)中，關(guān)聯(lián)主體感染了信用風(fēng)險(xiǎn)，對(duì)其他關(guān)聯(lián)主體產(chǎn)生輻射性負(fù)面影響。并且，傳染病的傳染進(jìn)程中，病毒一般通過(guò)接觸進(jìn)行傳染擴(kuò)散；而關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)的傳染進(jìn)程中，某個(gè)節(jié)點(diǎn)主體感染信用風(fēng)險(xiǎn)，同樣是最先對(duì)與感染節(jié)點(diǎn)主體存在關(guān)聯(lián)關(guān)系的信用主體產(chǎn)生負(fù)面影響。因此，在傳染模式方面，關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)和傳染病具有相似性。

1.2 基本假設(shè)

為方便研究，結(jié)合關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)傳染演化的特征，提出如下假設(shè)：

假設(shè)1在關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)中，有N個(gè)關(guān)聯(lián)主體，被劃分為四類(lèi)：易感主體S、潛伏主體H、感染主體I、免疫主體R：

(1)易感主體S：在關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)中，自身信用風(fēng)險(xiǎn)水平比較低，容易受到與其關(guān)聯(lián)的較高信用風(fēng)險(xiǎn)主體的傳染。此類(lèi)關(guān)聯(lián)主體自身信用風(fēng)險(xiǎn)處在較低水平，但容易被高信用風(fēng)險(xiǎn)關(guān)聯(lián)主體傳染，更容易被與之關(guān)聯(lián)關(guān)系緊密的高信用風(fēng)險(xiǎn)主體傳染，且在關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)中數(shù)量較多，一旦被傳染，將進(jìn)入潛伏期，轉(zhuǎn)變?yōu)闈摲黧w。

(2)潛伏主體H：在關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)中，潛伏主體是指已經(jīng)被傳染信用風(fēng)險(xiǎn)，其信用風(fēng)險(xiǎn)處在比較高的水平，但并不具備傳染其他關(guān)聯(lián)主體的能力，即不能通過(guò)關(guān)聯(lián)關(guān)系影響或提高其他關(guān)聯(lián)主體的信用風(fēng)險(xiǎn)水平的關(guān)聯(lián)主體。此類(lèi)關(guān)聯(lián)主體在網(wǎng)絡(luò)中數(shù)量也比較多，其自身信用風(fēng)險(xiǎn)處在較高水平，內(nèi)外因素影響之下，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間τ(τ≥0，為平均潛伏期)，轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥局黧w。網(wǎng)絡(luò)中具有較高信用風(fēng)險(xiǎn)的潛伏主體，度過(guò)平均潛伏期，形成感染主體，且容易形成連鎖反應(yīng)，嚴(yán)重危害關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)。

(3)感染主體I：在關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)中，感染主體是指已經(jīng)被傳染，自身信用風(fēng)險(xiǎn)很高，并且會(huì)傳染其他關(guān)聯(lián)主體。此類(lèi)主體自身信用風(fēng)險(xiǎn)處在很高水平，在網(wǎng)絡(luò)中所處的位置及數(shù)量變動(dòng)代表了關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)在關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)中的演化過(guò)程，在網(wǎng)絡(luò)中所占比例的變化表征了關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)的傳染強(qiáng)度。感染主體經(jīng)過(guò)救助或免疫等有效的管控治理，使得自身信用風(fēng)險(xiǎn)維持在較低水平，轉(zhuǎn)變?yōu)槊庖咧黧w。

(4)免疫主體R：在關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)中，自身信用風(fēng)險(xiǎn)水平比較低，因免疫主體均為感染主體轉(zhuǎn)變而來(lái)，故在信用風(fēng)險(xiǎn)識(shí)別和管控方面具備相對(duì)優(yōu)勢(shì)和經(jīng)驗(yàn)，稱(chēng)這部分關(guān)聯(lián)主體為免疫主體。此類(lèi)主體使自身信用風(fēng)險(xiǎn)維持在較低水平，本文中的免疫主體即健康主體，擁有永久性免疫能力，不會(huì)再被感染主體傳染。

假設(shè)2在關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)中，感染主體通過(guò)關(guān)聯(lián)關(guān)系，傳染其他與其關(guān)聯(lián)的易感主體。λ表示易感主體被關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)傳染轉(zhuǎn)變?yōu)闈摲黧w的概率(0<λ≤1)。

感染主體并非一直處在感染狀態(tài)，若自身免疫能力(運(yùn)營(yíng)和籌資等)提高或得到外部救助(資金或物質(zhì)救助等)，一段時(shí)間后轉(zhuǎn)變?yōu)槊庖咧黧w，在此，不失一般性，假設(shè)如下：

假設(shè)3若感染主體自身免疫力提高或得到救助后，感染主體將以γ被治愈，成為免疫主體，稱(chēng)γ為恢復(fù)率(0<γ≤1)。

由關(guān)聯(lián)主體構(gòu)成的關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)時(shí)刻處在動(dòng)態(tài)變化中，現(xiàn)實(shí)狀況表明通常會(huì)有信用主體進(jìn)入網(wǎng)絡(luò)，也會(huì)有信用主體自然消失或退出網(wǎng)絡(luò)。故不失一般性，有如下假設(shè)：

假設(shè)4信用主體新進(jìn)入網(wǎng)絡(luò)，稱(chēng)之為出生，新生率為M；信用主體自然消失或退出網(wǎng)絡(luò)，稱(chēng)之為死亡，死亡率為m，關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)處在不斷發(fā)展壯大中，故0

1.3 建立模型

易感主體被傳染后并不是馬上具有傳染能力，而是先進(jìn)入潛伏期，且感染主體恢復(fù)后具有終身免疫力，描述此情況的傳染病模型就是SHIR。根據(jù)如上假設(shè)，運(yùn)用動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論，可得如下SHIR模型(1)。

(1)

其中，e-zt表示一個(gè)信用主體進(jìn)入潛伏狀態(tài)后，在t時(shí)間段內(nèi)仍在潛伏狀態(tài)的概率(不考慮死亡)。Θ(t)表示t時(shí)刻隨機(jī)取一條邊與感染主體相連的概率，本文中網(wǎng)絡(luò)考慮的是度不相關(guān)網(wǎng)絡(luò)，故Θ(t)表示形式為(2)。

(2)

其中，φ(k)代表度為k的節(jié)點(diǎn)的傳染力，即度為k的節(jié)點(diǎn)單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的接觸次數(shù)[42]。模型(1)中第二個(gè)方程中的積分為黎曼·斯蒂爾杰斯積分，有

Θ(η)e-M(1-η)mtP(t-η)dη-MHk(T)

(3)

P(t-η)dη-(γ+M)Ik(t)

(4)

可見(jiàn)，上述網(wǎng)絡(luò)比較復(fù)雜，在此僅取概率函數(shù)P(t)為如下的狀態(tài)函數(shù)

(5)

當(dāng)t>τ時(shí)，將(3)、(4)、(5)帶入模型(1)，得到網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)演化時(shí)滯SHIR模型(6)。

(6)

當(dāng)0≤t≤τ時(shí)，得模型(6)滿足的初始條件

(7)

此時(shí)，當(dāng)t=0時(shí)，Sk(0)+Ik(0)=1，k=1,2,…,n。

2 模型分析

模型(6)的第一和第三個(gè)方程不含Hk(t)和Rk(t)，因此，為研究方便，當(dāng)t>τ時(shí)，本文僅討論下述模型(8)。

(8)

定義在關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)的傳染概率λ小于某值λc時(shí)，關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)不再具有傳染性，稱(chēng)λc為關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)的傳染閾值。

(9)

將(9)中的第二個(gè)方程帶入上述(2)，H*滿足自相容條件，可以得到

=f(Θ*)

(10)

Θ*=0顯然是方程(10)的一個(gè)平凡解。又f(Θ*)連續(xù)可微，得

即f(Θ*)關(guān)于Θ*嚴(yán)格單調(diào)遞增。

依定理1可見(jiàn)，關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、感染主體恢復(fù)率γ、信用主體新生率M、潛伏主體的平均潛伏期τ和感染主體的傳染力φ(k)均會(huì)影響關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)的傳染閾值。關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)的傳染閾值與感染主體恢復(fù)率、信用主體新生率和潛伏主體的平均潛伏期均呈同向變化；而與感染主體的傳染力呈反向變化。

3 數(shù)值仿真分析

故BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)的傳染閾值可表示為

(11)

將BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)平均度和節(jié)點(diǎn)度分布P(k)代入(10)，整理得

(12)

將(11)代入(12)，解方程得出Θ*的解析解為

(13)

將(13)代入(9)，得：

(14)

(15)

可見(jiàn)，在BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，信用主體的新生率、潛伏主體的潛伏期和免疫主體的恢復(fù)率影響感染主體密度。在關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)λ<λc時(shí)，關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)不具有傳染性，當(dāng)λ>λc，具有傳染性。

3.1 與不考慮潛伏期的比較分析

穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)感染主體密度為：

(2)當(dāng)考慮潛伏期時(shí)，即當(dāng)τ>0，關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)傳染閾值為：λc=3(γ+M)w3eMτ。

穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)感染主體密度為：

圖1 感染主體密度I*、平均潛伏期τ與傳染概率λ間的互動(dòng)關(guān)系

圖1揭示了w=2，M=0.05，m=0.01，γ=0.8時(shí)，穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)感染主體密度I*與平均潛伏期τ、傳染概率λ之間的關(guān)系。顯而易見(jiàn)，不考慮平均潛伏期時(shí)感染主體密度I*0總是大于考慮平均潛伏期時(shí)感染主體密度I*，因此，考慮潛伏期能夠降低關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)中感染主體密度。

3.2 感染主體密度的數(shù)值仿真分析

在BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，運(yùn)用軟件MATLAB2018a進(jìn)行仿真，刻畫(huà)關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，感染主體密度I*與潛伏主體的平均潛伏期τ、感染主體的傳染概率λ、感染主體的恢復(fù)率γ、信用主體的新生率M和死亡率m之間的變化關(guān)系。

圖2 考慮不同傳染概率λ時(shí)，感染主體密度I*與平均潛伏期τ的關(guān)系

圖2描述了在關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)w=2，M=0.05，m=0.01，γ=0.8時(shí)，考慮感染主體不同傳染概率λ1=0.1,λ2=0.2,λ3=0.3時(shí)，感染主體密度I*與潛伏主體平均潛伏期τ之間的變化關(guān)系。由圖2可以看出：(1)當(dāng)感染主體的傳染概率保持不變時(shí)，隨著潛伏主體平均潛伏期的增大，網(wǎng)絡(luò)中關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)的傳染性減小，越來(lái)越少的關(guān)聯(lián)主體被傳染，故感染主體密度隨之減小，這與現(xiàn)實(shí)相一致；(2)當(dāng)平均潛伏期不變時(shí)，隨著傳染概率的增大，網(wǎng)絡(luò)中關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)的傳染效應(yīng)增強(qiáng)，故網(wǎng)絡(luò)中感染主體密度會(huì)隨之增大，即網(wǎng)絡(luò)中感染主體數(shù)量和占比會(huì)隨著關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)傳染性的增強(qiáng)而增多，這與現(xiàn)實(shí)情況一致?？梢?jiàn)，潛伏主體的平均潛伏期和感染主體的傳染概率是影響感染主體密度的重要因素。

圖3 考慮不同恢復(fù)率γ時(shí)，感染主體密度I*與平均潛伏期τ的關(guān)系

圖3描述了在關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)w=2，M=0.05，m=0.01，λ=0.1時(shí)，假定感染主體不同恢復(fù)率γ1=0.4,γ2=0.6,γ3=0.8時(shí)，感染主體密度I*與潛伏主體平均潛伏期τ之間的變化關(guān)系。由圖3可見(jiàn)：⑴當(dāng)感染主體的恢復(fù)率不變時(shí)，隨著潛伏主體平均潛伏期的增大，網(wǎng)絡(luò)中關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)的傳染性減小，越來(lái)越少的關(guān)聯(lián)主體被傳染，故感染主體密度隨之減小，這與現(xiàn)實(shí)情況相符；⑵當(dāng)平均潛伏期不變時(shí)，隨著恢復(fù)率的增大，感染主體的個(gè)數(shù)會(huì)減少，即感染主體的密度會(huì)隨著恢復(fù)率的增大而降低，符合客觀現(xiàn)實(shí)狀況。由此表明，感染主體的恢復(fù)率和潛伏主體的平均潛伏期是影響感染主體密度的重要因素。

圖4 考慮不同新生率M時(shí)，感染主體密度I*與平均潛伏期τ的關(guān)系

圖4描述了當(dāng)w=2，γ=0.4，m=0.01，λ=0.1時(shí)，考慮感染主體不同新生率M1=0.01,M2=0.05,M3=0.1時(shí)，關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)感染主體密度I*與潛伏主體平均潛伏期τ之間的變化關(guān)系。為了更清晰的探究關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)的傳染性，此處新生率的大小暫且代表了關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)的最初值，故新生率的變化代表了網(wǎng)絡(luò)初值的變化。由圖4可得：(1)當(dāng)新生率不變時(shí)，隨著潛伏主體平均潛伏期的增大，網(wǎng)絡(luò)中關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)的傳染性減小，越來(lái)越少的關(guān)聯(lián)主體被傳染，這與現(xiàn)實(shí)情況相符；(2)當(dāng)平均潛伏期不變時(shí)，隨著新生率的提高，感染主體的邊際密度會(huì)增加，即新生率越高，感染主體密度減少的速度會(huì)越快；(3)當(dāng)平均潛伏期無(wú)限延長(zhǎng)時(shí)，不同新生率下感染主體的密度會(huì)趨于同一穩(wěn)定值，最終感染密度會(huì)趨于零值，新生率越高，感染密度趨于零值的時(shí)間越短。這可能是外部的救助、自身免疫及網(wǎng)絡(luò)的自愈能力所致。因此，信用主體的新生率和潛伏主體的平均潛伏期是影響感染主體密度的重要因素。

圖5描述了在關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)w=2，γ=0.4，M=0.01，λ=0.1時(shí)，考慮信用主體不同死亡率m1=0.001,m2=0.01,m3=0.1時(shí)，感染主體密度I*與潛伏主體平均潛伏期τ之間的變化關(guān)系。不難發(fā)現(xiàn)，在其他條件不變的情況下，隨著潛伏主體平均潛伏期的增大，網(wǎng)絡(luò)中關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)的傳染性減小，越來(lái)越少的關(guān)聯(lián)主體被傳染，即感染主體密度呈降低趨勢(shì)，但下降幅度不大，這與現(xiàn)實(shí)情況相符；當(dāng)平均潛伏期和其他條件不變時(shí)，隨著死亡率的提高，感染主體的密度會(huì)減少，即感染主體的密度會(huì)隨著死亡率的提高而降低，這可能是因?yàn)樗劳龅拇蠖鄟?lái)自感染主體，故感染主體所占比例降低。因此，信用主體的死亡率和潛伏主體的平均潛伏期是影響感染主體密度的重要因素。

圖5 考慮不同死亡率m時(shí)，感染主體密度I*與平均潛伏期τ的關(guān)系

4 結(jié)論

隨著經(jīng)濟(jì)的全球化和一體化，經(jīng)濟(jì)社會(huì)中的擔(dān)保公司、證券公司、銀行、企業(yè)等關(guān)聯(lián)主體之間的信用關(guān)聯(lián)關(guān)系日趨復(fù)雜，相互之間的信用交易日益頻繁，容易形成關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)及傳染鏈條，極易對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)產(chǎn)生極大的危害，已成為現(xiàn)代社會(huì)和經(jīng)濟(jì)的重要風(fēng)險(xiǎn)源。關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)沿著關(guān)聯(lián)關(guān)系鏈條傳染演化，呈聯(lián)動(dòng)效應(yīng)，并且存在潛伏期，一旦爆發(fā)，將波及其他關(guān)聯(lián)主體，嚴(yán)重危害關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)乃至整個(gè)金融系統(tǒng)，極大阻礙了社會(huì)經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定發(fā)展。因此，探尋具有潛伏期的關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)的傳染演化機(jī)理，識(shí)別、防范和管控關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)更具重要的理論價(jià)值與現(xiàn)實(shí)意義。然而實(shí)踐中，卻沒(méi)能很好地把握關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)傳染的潛伏期，導(dǎo)致錯(cuò)失風(fēng)險(xiǎn)管控良機(jī)，釀成信用危機(jī)甚至爆發(fā)全球金融危機(jī)。本文的主要貢獻(xiàn)是應(yīng)用傳染病模型，并引入潛伏主體及其潛伏期，對(duì)關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)的傳染機(jī)制進(jìn)行刻畫(huà)。進(jìn)一步，在BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，通過(guò)數(shù)值仿真分析發(fā)現(xiàn)：(1)關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)的傳染閾值與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有關(guān)，與潛伏主體的平均潛伏期、感染主體的恢復(fù)率以及信用主體的新生率呈同向變化，而與感染主體的傳染力呈反向變化；(2)潛伏主體平均潛伏期越長(zhǎng)、感染主體恢復(fù)率越大、死亡率越高，感染主體密度越??；(3)感染主體傳染概率越大，感染主體密度越大，信用主體新生率越高，感染主體密度減小的速度會(huì)越快。上述結(jié)論與現(xiàn)實(shí)關(guān)聯(lián)主體網(wǎng)絡(luò)中危機(jī)發(fā)生現(xiàn)象一致，同時(shí)為企業(yè)、銀行、擔(dān)保公司等信用主體管控關(guān)聯(lián)信用風(fēng)險(xiǎn)提供一種新的視角。