非對稱結(jié)構(gòu)形狀記憶合金梁模型的混沌運(yùn)動(dòng)

沈曉娜,馮進(jìn)鈐,任一凡

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710048)

0 引 言

在日常生活中存在大量的非光滑因素,如碰撞、摩擦等。這些非光滑因素會對人們的生活產(chǎn)生積極,或消極的影響。因此，對于非光滑系統(tǒng)的研究是很有必要的。其中碰撞振動(dòng)系統(tǒng)是一種典型的非光滑系統(tǒng)。HOLMES和SHAW最早對線性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)做了大量的研究工作。HOLMES通過一個(gè)簡單的彈跳小球的實(shí)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在Smale馬蹄混沌等豐富的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象[1]；SHAW對周期激勵(lì)下的線性碰撞振子進(jìn)行穩(wěn)定性和分岔分析[2]。至今,人們對碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的研究已有幾十年的歷史,主要研究系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)和穩(wěn)定性、分岔和混沌等[3]。

混沌是非線性動(dòng)力系統(tǒng)的一種重要運(yùn)動(dòng)形式[4-5]。目前,關(guān)于混沌研究的解析方法主要有Shilnikov方法和Melnikov方法2種。其中Melnikov方法是一種擾動(dòng)方法[6],最初由MELNIKOV于1963年提出,主要應(yīng)用于光滑系統(tǒng)[7]。后來經(jīng)HOLMES、WIGGINS等的補(bǔ)充和推廣,用來證明穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形橫截同宿點(diǎn)的存在性,從而可能導(dǎo)致Smale意義下的混沌[8-9]。

SHAW通過對一類碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的研究,將Melnikov方法由光滑系統(tǒng)推廣到非光滑系統(tǒng)[10]；CHOW等利用Melnikov方法分析了線性碰撞系統(tǒng)的全局分岔和混沌[11-12]。DU利用Melnikov方法討論了一類非線性碰撞振子的同宿分岔[13]。文獻(xiàn)[14]討論了諧和激勵(lì)下帶平方非線性項(xiàng)的單邊碰撞系統(tǒng)的同宿分岔；文獻(xiàn)[15]通過Melnikov方法分析了具有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Duffing系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象；文獻(xiàn)[16]研究了分段Hamiltonian系統(tǒng)的二階Melnikov函數(shù)；文獻(xiàn)[17]討論了高階Melnikov函數(shù)。由于噪聲普遍存在于工程實(shí)際模型中,Melnikov方法被逐漸應(yīng)用到隨機(jī)情況下。XU等將Melnikov方法推廣到了隨機(jī)振動(dòng)中[18-19]；SHI應(yīng)用Melnikov方法分析了Josephson系統(tǒng)的混沌和分叉[20]。文獻(xiàn)[21]利用隨機(jī)Melnikov方法分析了有界噪聲激勵(lì)下Josephson系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)；文獻(xiàn)[22]利用Melnikov方法研究了有界噪聲激勵(lì)下碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)。

上述關(guān)于非光滑系統(tǒng)的Melnikov方法主要集中在對稱約束情形,對于單邊約束情形下的Melnikov方法以及混沌運(yùn)動(dòng)研究甚少。本文考慮具有單邊約束的形狀記憶合金梁模型,該模型是典型的具有非對稱結(jié)構(gòu)的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)。利用Melnikov方法分別得到系統(tǒng)非光滑同宿分叉和光滑同宿分叉出現(xiàn)Smale馬蹄混沌的必要條件,同時(shí)討論了碰撞恢復(fù)系數(shù)、諧和激勵(lì)幅值等參數(shù)對該系統(tǒng)的影響。

1 合金梁模型

考慮諧和激勵(lì)下單邊碰撞振動(dòng)系統(tǒng),非對稱結(jié)構(gòu)的形狀記憶合金梁模型所遵循的方程為

(1)

(2)

2 未擾系統(tǒng)的同宿軌

令系統(tǒng)(2)中的ε=0時(shí),得到一個(gè)未擾系統(tǒng)

(3)

其對應(yīng)的勢函數(shù)為

(4)

Hamilton函數(shù)為

(5)

由u

2) 系統(tǒng)存在兩條連接鞍點(diǎn)S(0,0)的同宿軌

(6)

(7)

式中：

令式(5)中參數(shù)k=2.0,α=2.0,h=1.0,作出不同Hamilton量值在相平面上的軌線,如圖1所示。圖1中S為鞍點(diǎn),C1、C2為中心點(diǎn),黑色實(shí)線代表連接鞍點(diǎn)的兩條同宿軌。

圖 1 未擾系統(tǒng)(3)的同宿軌Fig.1 The homoclinic orbits of the unper- turbed system (3)

3 Melnikov函數(shù)與混沌運(yùn)動(dòng)

通過Melnikov理論,可以得到系統(tǒng)(2)的Melnikov函數(shù)。由于此系統(tǒng)是單邊約束的不對稱結(jié)構(gòu),因此分2部分計(jì)算系統(tǒng)(2)的Melnikov函數(shù)。

3.1 非光滑同宿軌 的Melnikov函數(shù)

M(t0)=γA1-μA2+fA3-r0A4

(8)

式(8)中A1、A2為阻尼項(xiàng)，推導(dǎo)如下：

式(8)中A3為諧和激勵(lì)項(xiàng),推導(dǎo)如下:

(11)

令

則

A3=2sin(ωt0)[sin(ωT0)W1-cos(ωT0)W2]

(12)

式(8)中A4為碰撞項(xiàng),推導(dǎo)如下:

(13)

根據(jù)Smale-Binkhoff定理知,當(dāng)Melnikov函數(shù)存在簡單零點(diǎn)時(shí),臨界條件為

(14)

由式(14),得到系統(tǒng)(2)右側(cè)出現(xiàn)Smale馬蹄意義下混沌的必要條件為

(15)

3.2 光滑同宿軌 的Melnikov函數(shù)

M(t0)=γB1-μB2+fB3

(16)

式中:B1、B2為阻尼項(xiàng);B3為諧和激勵(lì)項(xiàng)。推導(dǎo)如下:

(17)

(18)

-2sin(ωt0)W4

(19)

(20)

同理,根據(jù)式(14),得到系統(tǒng)(2)左側(cè)出現(xiàn)Smale馬蹄混沌的必要條件為

(21)

4 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證解析結(jié)果(式(15)、(21))的正確性,分為幾個(gè)部分進(jìn)行數(shù)值仿真。

4.1 非光滑同宿軌

圖 2 h取不同值時(shí)εf隨εr0變化的 Melnikov臨界線Fig.2 Melnikov critical line when h takes different values

從圖2可以看出,固定參數(shù)h,f隨著r0的增大而增大。從能量的角度分析,因?yàn)閞0越大,系統(tǒng)損耗的能量就越大,而外激勵(lì)能夠?yàn)橄到y(tǒng)提供能量,促進(jìn)振子的運(yùn)動(dòng)。同時(shí)可以看出,在r0不變的情況下,h越大,臨界值f越小,表明較大的h有助于系統(tǒng)混沌的生成。

在h=1.0,εr0=0.2時(shí),臨界值εf≈0.36。為驗(yàn)證此條件下Melnikov方法推導(dǎo)的必要條件的正確性，在圖2中取臨界值之下的點(diǎn)A(0.2,0.35),在上述條件下作出系統(tǒng)右側(cè)的相圖及Poincare截面圖，如圖3(a)所示。從圖3(a)可以看出,系統(tǒng)右側(cè)運(yùn)動(dòng)較為規(guī)則,且Poincare截面圖只有4個(gè)點(diǎn)。計(jì)算其對應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)λ，得λ≈-0.13<0,可判定此條件下系統(tǒng)右側(cè)作非混沌運(yùn)動(dòng)。

在圖1中取臨界值之上的點(diǎn)B(0.2,0.56),作出系統(tǒng)右側(cè)的相圖,Poincare截面圖,如圖3(b)所示。從圖3(b)中可以看出,系統(tǒng)右側(cè)運(yùn)動(dòng)較為雜亂,且Poincare截面圖中的點(diǎn)也變得散亂。計(jì)算其對應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)λ≈0.007>0,可判定此條件下系統(tǒng)右側(cè)作混沌運(yùn)動(dòng)。

(b) f=5.6—— 右側(cè)相圖；· Poincare截面圖圖 3 系統(tǒng)(2)右側(cè)相圖及Poincare截面圖Fig.3 Phase diagram poincare cross-section diagram on the right side of system

為了進(jìn)一步驗(yàn)證上述結(jié)果的有效性,圖4給出了系統(tǒng)(2)右側(cè)位移u隨參數(shù)f變化的分岔圖?？梢钥闯觯寒?dāng)參數(shù)f=3.5時(shí)，系統(tǒng)并沒有產(chǎn)生混沌；隨著f的增大,系統(tǒng)右側(cè)經(jīng)歷倍周期級聯(lián),最終產(chǎn)生局部混沌。同時(shí)可以看出,當(dāng)f=5.6時(shí),系統(tǒng)有局部混沌現(xiàn)象的產(chǎn)生。與前面結(jié)果的吻合，進(jìn)一步驗(yàn)證了Melnikov方法的有效性。

圖 4 位移u隨參數(shù)f變化的分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram of displacement u with parameter f

4.2 系統(tǒng)復(fù)雜的混沌運(yùn)動(dòng)

固定系統(tǒng)參數(shù)k=2.0、ω=1.1、α=2.0、r0=2.0、γ=0.1、ε=0.1,討論非光滑同宿分叉與光滑同宿分叉同時(shí)存在時(shí)系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)。給式(15)、(21)取等號，分別作出系統(tǒng)(2)右側(cè)非光滑同宿軌與左側(cè)光滑同宿軌中臨界值εf隨著μ變化的Melnikov臨界線,如圖5所示。

圖 5 系統(tǒng)(2)非光滑同宿軌與光滑同宿軌 的Melnikov臨界線Fig.5 Melnikov critical line of non-smooth homoclinicorbit and smooth homoclini- corbit of the system (2)

圖5中，線下為非混沌區(qū)域，線上可能為混沌區(qū)域。從圖5可以看出，隨著μ的增大,εf也在不斷增大。從能量的角度看，因?yàn)棣淘酱?系統(tǒng)阻尼越大,要使系統(tǒng)產(chǎn)生混沌,需要的外激勵(lì)就越大,所以f就越大。取μ=0.1,系統(tǒng)非光滑同宿軌對應(yīng)的臨界值εf≈0.167,光滑同宿軌對應(yīng)的臨界值εf≈-0.177 1。在圖5中取點(diǎn)A(0.1,0.15)，使得-0.177 1<εf=0.15<0.167。取μ=1.5,光滑同宿軌對應(yīng)的臨界值εf≈0.949 8,非光滑同宿軌對應(yīng)的臨界值εf≈0.295 6。在圖5中取B(1.5,0.8),使得0.295 6<εf=0.8<0.949 8;取點(diǎn)D(1.5,1.0),使得f=1.0>0.949 8。取μ=0.8,系統(tǒng)光滑同宿軌對應(yīng)的臨界值εf≈0.386 4,非光滑同宿軌對應(yīng)的臨界值εf≈0.231 3。在圖5中取點(diǎn)C(0.8,0.08)，使得εf=0.08<0.231 3<0.386 4。

圖5中A(0.1,0.15)點(diǎn)所在的區(qū)域是非光滑同宿軌與光滑同宿軌所對應(yīng)的Melnikov臨界線的交叉區(qū)域。對于系統(tǒng)左側(cè)來說是可能的混沌區(qū)域,對于右側(cè)來說是非混沌區(qū)域。為了驗(yàn)證圖5所示結(jié)果的正確性,分別做出A點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)下，系統(tǒng)(2)的仿真結(jié)果,如圖6所示。由圖6(a) 可以看出，在A點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)下系統(tǒng)左側(cè)運(yùn)動(dòng)比較雜亂，且Poincare截面圖中的點(diǎn)也比較散亂，并計(jì)算其對應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)λ≈0.001>0 ，那么可知當(dāng)前參數(shù)下系統(tǒng)光滑同宿軌發(fā)生分叉。 同樣由圖6(b)可以看出，在A點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)下系統(tǒng)右側(cè)運(yùn)動(dòng)較為規(guī)則且Poincare截面圖只有3個(gè)點(diǎn)，可以得到此條件下系統(tǒng)右側(cè)作周期為3的非混沌運(yùn)動(dòng)，與圖6所示結(jié)果吻合。

(a) 光滑同宿軌

(b) 非光滑同宿軌—— 相圖；· 截面圖圖 6 A點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)下系統(tǒng)(2)的相圖及 Poincare截面圖Fig.6 Phase diagram and Poincare section of system (2) under the parameter corresponding to point A

同樣，圖5中B(1.5,0.8)點(diǎn)所在的區(qū)域是非光滑同宿軌與光滑同宿軌所對應(yīng)的Melnikov臨界線的交叉區(qū)域。對于系統(tǒng)左側(cè)來說是非混沌區(qū)域,對于右側(cè)來說是可能的混沌區(qū)域。圖7給出了B(1.5，0.8)點(diǎn)在所對應(yīng)的參數(shù)下,系統(tǒng)(2)的仿真結(jié)果。

由圖7(a)可以看出，在B點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)下系統(tǒng)左側(cè)運(yùn)動(dòng)是非常規(guī)則的，且Poincare截面圖只有2個(gè)點(diǎn)，驗(yàn)證了此條件下系統(tǒng)左側(cè)作周期為2的非混沌運(yùn)動(dòng)。同樣由圖7(b)可以看出，在B點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)下系統(tǒng)右側(cè)運(yùn)動(dòng)較為混亂，Poincare截面圖中的點(diǎn)也是混亂的，且計(jì)算其對應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)λ≈0.06>0 ，進(jìn)一步驗(yàn)證了此條件下系統(tǒng)右側(cè)作混沌運(yùn)動(dòng)，與圖5所示結(jié)果吻合。

由圖7(b)可以看出:在B點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)下系統(tǒng)右側(cè)運(yùn)動(dòng)較為混亂,Poincare截面圖中的點(diǎn)也是混亂的。計(jì)算其對應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)λ，得λ≈0.06>0,進(jìn)一步驗(yàn)證了此條件下系統(tǒng)右側(cè)作混沌運(yùn)動(dòng)。由圖7(a)可以看出:在B點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)下系統(tǒng)左側(cè)運(yùn)動(dòng)是非常規(guī)則的,且Poincare截面圖只有2個(gè)點(diǎn)。驗(yàn)證了此條件下系統(tǒng)左側(cè)作周期為2的非混沌運(yùn)動(dòng),與圖5所示結(jié)果相吻合。

(a)光滑同宿軌

(b) 非光滑同宿軌—— 相圖；· 截面圖圖 7 B點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)下系統(tǒng)(2)的相圖 及Poincare截面圖Fig.7 Phase diagram and Poincare section of system (2) under the parameter corresponding to point B

由圖5可以看出，點(diǎn)C(0.8,0.08)所在區(qū)域?yàn)橄到y(tǒng)左右兩側(cè)公共的非混沌區(qū)域,點(diǎn)D(1.5,1.0)所在區(qū)域?yàn)橄到y(tǒng)左右兩側(cè)公共的可能混沌區(qū)域。為了驗(yàn)證圖5所示結(jié)果的準(zhǔn)確性,同樣分別作出點(diǎn)C和點(diǎn)D對應(yīng)的參數(shù)條件下系統(tǒng)左右兩側(cè)的相圖和Poincare截面圖,如圖8所示。由圖8(a)可以看出，在C點(diǎn)的參數(shù)條件下，系統(tǒng)左右兩側(cè)運(yùn)動(dòng)都是非常規(guī)則的,且Poincare截面圖都只有1個(gè)點(diǎn)。因此，在此條件下系統(tǒng)左右兩側(cè)都作周期為1的非混沌運(yùn)動(dòng)。由圖8(b)可以看出，在點(diǎn)D的參數(shù)條件下,系統(tǒng)左右兩側(cè)運(yùn)動(dòng)都很雜亂，且Poincare截面圖的點(diǎn)也是非?；靵y的。在此條件下系統(tǒng)左右兩側(cè)都作混沌運(yùn)動(dòng),并且最終誘導(dǎo)系統(tǒng)混沌激變的發(fā)生，與圖5所示結(jié)果相吻合。

(a) C點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)條件

(b) D點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)條件—— 相圖；· 截面圖圖 8 系統(tǒng)(2)的相圖及Poincare截面圖Fig.8 Phase diagram Poincare cross-section diagram of system

5 結(jié) 語

研究了具有非對稱結(jié)構(gòu)的形狀記憶合金梁模型的混沌運(yùn)動(dòng),分別推導(dǎo)出該系統(tǒng)光滑同宿分叉與非光滑同宿分叉出現(xiàn)Smale馬蹄混沌的必要條件,并通過Poincare截面圖、相圖及最大Lyapunov指數(shù)進(jìn)行了驗(yàn)證分析。結(jié)果表明：臨界值之下的區(qū)域,系統(tǒng)為非混沌狀態(tài),臨界值之上系統(tǒng)逐漸進(jìn)入混沌狀態(tài),證實(shí)了Melnikov方法對于該系統(tǒng)的有效性和普適性。研究還表明：h越大,系統(tǒng)右側(cè)越容易產(chǎn)生混沌; 諧和激勵(lì)幅值的增大有利于促進(jìn)系統(tǒng)左右兩側(cè)產(chǎn)生局部小混沌,并最終導(dǎo)致混沌的合并。本文的研究推廣了Melnikov方法在碰撞振動(dòng)系統(tǒng)中的應(yīng)用,研究結(jié)果也可用與工程中形狀記憶合金梁模型的混沌控制。